Τοπολογία Étale

Στην αλγεβρική γεωμετρία, η τοπολογία Étale είναι μια τοπολογία Γκρότεντικ στην κατηγορία των σχημάτων, η οποία έχει ιδιότητες παρόμοιες με την ευκλείδεια τοπολογία, αλλά σε αντίθεση με την ευκλείδεια τοπολογία, ορίζεται επίσης σε θετική χαρακτηριστική. Η étale^[1] τοπολογία εισήχθη αρχικά από τον Αλεξάντερ Γκρότεντικ για να ορίσει την étale συνομολογία^[2], και αυτή εξακολουθεί να είναι η πιο γνωστή χρήση της étale τοπολογίας.

Ορισμός

Για κάθε σχήμα X, έστω Ét(X') η κατηγορία όλων των étale μορφισμών από ένα σχήμα στο X. Πρόκειται για το ανάλογο της κατηγορίας των ανοικτών υποσυνόλων του X (δηλαδή της κατηγορίας της οποίας τα αντικείμενα είναι ποικιλίες και οι μορφισμοί της είναι ανοικτές εμβαπτίσεις). Τα αντικείμενά της μπορούν άτυπα να θεωρηθούν ως étale ανοικτά υποσύνολα της X. Η τομή δύο αντικειμένων αντιστοιχεί στο γινόμενο των ινών τους επί της X. Η Ét(X) είναι μια μεγάλη κατηγορία, που σημαίνει ότι τα αντικείμενά της δεν αποτελούν σύνολο.

Ένα étale presheaf^[3] στο X είναι ένας αντεστραμμένος συναρτησιακός συναρτητής από το Ét(X) στην κατηγορία των συνόλων. Ένα presheaf F καλείται étale δεμάτιο (sheaf) αν ικανοποιεί την ανάλογη της συνήθους συνθήκης συγκόλλησης για δεμάτια σε τοπολογικούς χώρους. Δηλαδή, η F είναι étale δεμάτιο αν και μόνο αν ισχύει η ακόλουθη συνθήκη. Ας υποθέσουμε ότι το U → X είναι ένα αντικείμενο του Ét(X) και ότι το U_i → U είναι μια από κοινού υποχωρητική οικογένεια étale μορφισμών πάνω στο X. Για κάθε i, επιλέξτε ένα τμήμα x_i της F πάνω στο U_i. Ο χάρτης προβολής U_i × U_j → U_i, ο οποίος είναι χαλαρά μιλώντας η συμπερίληψη της τομής των U_i και U_j στο U_i, επάγει έναν χάρτη περιορισμού F(U_i) → F(U_i × U_j). Αν για όλα τα i και j οι περιορισμοί των x_i και x_j στο U_i × U_j είναι ίσοι, τότε πρέπει να υπάρχει ένα μοναδικό τμήμα x της F πάνω στο U που να περιορίζεται στο x_i για όλα τα i.

Ας υποθέσουμε ότι το X είναι ένα Ναιτεριανό σχήμα. Μια αβελιανή étale sheaf F στο X ονομάζεται πεπερασμένη τοπικά σταθερή αν είναι ένας αναπαραστάσιμος συναρτητής που μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα étale κάλυμμα του X. Ονομάζεται κατασκευάσιμος αν το X μπορεί να καλυφθεί από μια πεπερασμένη οικογένεια υποσχημάτων σε καθένα από τα οποία ο περιορισμός του F είναι πεπερασμένα τοπικά σταθερός. Ονομάζεται στρεπτική αν η F(U) είναι ομάδα στρέψης για όλα τα étale^[1] καλύμματα U της X. Τα πεπερασμένα τοπικά σταθερά δεμάτια είναι κατασκευάσιμα και τα κατασκευάσιμα δεμάτια είναι στρέψη. Κάθε στρεπτικό δεμάτιο είναι ένα φιλτραρισμένο επαγωγικό όριο κατασκευάσιμων δεματίων.

Ο Γκρότεντικ εισήγαγε αρχικά τον μηχανισμό των τοπολογιών και των τόπων του Γκρότεντιεκ^[2] για να ορίσει την τοπολογία étale^[1]. Σε αυτή τη γλώσσα, ο ορισμός της étale τοπολογίας είναι συνοπτικός αλλά αφηρημένος: Είναι η τοπολογία που παράγεται από την προ-τοπολογία, της οποίας οι οικογένειες κάλυψης είναι από κοινού επιρριπτικές οικογένειες étale μορφισμών. Ο μικρός étale τόπος του X είναι η κατηγορία O(X_ét) της οποίας τα αντικείμενα είναι σχήματα U με σταθερό étale μορφισμό U → X. Οι μορφισμοί είναι μορφισμοί σχημάτων συμβατών με τους σταθερούς χάρτες προς τον U. Ο μεγάλος étale τόπος του X είναι η κατηγορία Ét/X, δηλαδή η κατηγορία των σχημάτων με σταθερό χάρτη προς τον X, εξεταζόμενη με την étale τοπολογία.

Η τοπολογία étale^[1] μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας ελαφρώς λιγότερα δεδομένα. Πρώτον, ας σημειωθεί ότι η τοπολογία étale είναι λεπτότερη από την τοπολογία Ζαρίσκι. Κατά συνέπεια, για να ορίσουμε ένα étale κάλυμμα ενός σχήματος X, αρκεί πρώτα να καλύψουμε το X με ανοικτά αφινικά υποσχήματα, δηλαδή να πάρουμε ένα κάλυμμα Ζαρίσκι, και στη συνέχεια να ορίσουμε ένα étale κάλυμμα ενός αφινικού σχήματος. Μια étale κάλυψη ενός αφινικού σχήματος X μπορεί να οριστεί ως μια από κοινού υποτακτική οικογένεια {u_α : X_α → X} τέτοια ώστε το σύνολο όλων των α να είναι πεπερασμένο, κάθε X_α να είναι αφινικό και κάθε u_α να είναι étale. Τότε ένα étale κάλυμμα του X είναι μια οικογένεια {u_α : X_α → X} η οποία γίνεται ένα étale κάλυμμα μετά από αλλαγή βάσης σε οποιοδήποτε ανοικτό αφινικό υποσύστημα του X.

Τοπικοί δακτύλιοι

Έστω X ένα σχήμα με την étale τοπολογία του, και ορίζουμε ένα σημείο x του X^[4]. Στην τοπολογία Ζαρίσκι, ο στέλεχος του X στο x υπολογίζεται παίρνοντας ένα άμεσο όριο των τμημάτων της δομής sheaf πάνω σε όλες τις ανοικτές γειτονιές Ζαρίσκι του x. Στην étale τοπολογία, υπάρχουν αυστηρά περισσότερες ανοικτές γειτονιές του x, οπότε το σωστό ανάλογο του τοπικού δακτυλίου στο x σχηματίζεται παίρνοντας το όριο πάνω σε μια αυστηρά μεγαλύτερη οικογένεια. Το σωστό ανάλογο του τοπικού δακτυλίου στο x για την étale τοπολογία αποδεικνύεται ότι είναι η αυστηρή χενσελοποίηση^[5] του τοπικού δακτυλίου ${\mathcal {O}}_{X,x}$ . Συνήθως συμβολίζεται ως ${\mathcal {O}}_{X,x}^{\text{sh}}$ .

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck· Jean-Louis Verdier, επιμ. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 2. Lecture notes in mathematics (στα French). 270. Berlin; New York: Springer-Verlag. σελίδες iv+418. doi:10.1007/BFb0061319. ISBN 978-3-540-06012-3. CS1 maint: Μη αναγνωρίσιμη γλώσσα (link)
Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck· Jean-Louis Verdier, επιμ. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 3. Lecture notes in mathematics (στα French). 305. Berlin; New York: Springer-Verlag. σελίδες vi+640. doi:10.1007/BFb0070714. ISBN 978-3-540-06118-2. CS1 maint: Μη αναγνωρίσιμη γλώσσα (link)
Deligne, Pierre (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – Cohomologie étale – (SGA 4½). Lecture notes in mathematics (στα French). 569. Berlin; New York: Springer-Verlag. σελίδες iv+312. doi:10.1007/BFb0091516. ISBN 978-3-540-08066-4. CS1 maint: Μη αναγνωρίσιμη γλώσσα (link)
J. S. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln
J. S. Milne (2008). Lectures on Étale Cohomology

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 «Συνομολογία συναφών δεματιών & Etale συνομολογία - Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών». η λέξη «étale» είναι επίθετο (στα γαλλικά) και αναφέρεται στη θάλασσα όταν αυτή είναι ήρεμη μεταξύ των δύο σταδίων του φαινομένου της παλίρροιας (πλημμυρίδας και άμπωτης). Η ελληνική λέξη γι' αυτό το φαινόμενο είναι παλιρροιοστάσιο, ωστόσο δεν υπάρχει κάποιο επίθετο στα ελληνικά που να χαρακτηρίζει κατά αντίστοιχο τρόπο τη θάλασσα, έτσι χρησιμοποιούμε τη γαλλική λέξη αυτούσια ως επιθετικό προσδιορισμό.
↑ ^2,0 ^2,1 «Grothendieck topologies and étale cohomology» (PDF).
↑ «Sheafification of a presheaf through the etale space». MathOverflow (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 24 Ιουνίου 2024.
↑ Dieudonné, Jean (30 Μαΐου 1985). History Algebraic Geometry. CRC Press. ISBN 978-0-412-99371-8.
↑ «Henselian Rings - Universiteit Leiden» (PDF).

[:0-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 «Συνομολογία συναφών δεματιών & Etale συνομολογία - Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών». η λέξη «étale» είναι επίθετο (στα γαλλικά) και αναφέρεται στη θάλασσα όταν αυτή είναι ήρεμη μεταξύ των δύο σταδίων του φαινομένου της παλίρροιας (πλημμυρίδας και άμπωτης). Η ελληνική λέξη γι' αυτό το φαινόμενο είναι παλιρροιοστάσιο, ωστόσο δεν υπάρχει κάποιο επίθετο στα ελληνικά που να χαρακτηρίζει κατά αντίστοιχο τρόπο τη θάλασσα, έτσι χρησιμοποιούμε τη γαλλική λέξη αυτούσια ως επιθετικό προσδιορισμό.

[:1-2] 2,0 ^2,1 «Grothendieck topologies and étale cohomology» (PDF).

[3] «Sheafification of a presheaf through the etale space». MathOverflow (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 24 Ιουνίου 2024.

[4] Dieudonné, Jean (30 Μαΐου 1985). History Algebraic Geometry. CRC Press. ISBN 978-0-412-99371-8.

[5] «Henselian Rings - Universiteit Leiden» (PDF).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]