Ταυτότητα του Πασκάλ
Στα μαθηματικά, η ταυτότητα του Πασκάλ είναι η εξής ταυτότητα που ισχύει για κάθε φυσικούς αριθμούς ,[1]
όπου είναι ο διωνυμικός συντελεστής.
Η ταυτότητα αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των διωνυμικών συντελεστών μέσω της κατασκευής του λεγόμενου τριγώνου του Πασκάλ. Ονομάζεται από τον μαθηματικό Μπλεζ Πασκάλ.
Αποδείξεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Αλγεβρική απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Υπενθυμίζουμε τον ορισμό του διωνυμικού συντελεστή,
όπου είναι το παραγοντικό του .
Από τον ορισμό του διωνυμικού συντελεστή, έχουμε ότι
Συνδυαστική απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/el/thumb/5/59/%CE%A4%CE%B1%CF%85%CF%84%CF%8C%CF%84%CE%B1_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CE%A0%CE%B1%CF%83%CE%BA%CE%AC%CE%BB_%CE%B3%CE%B9%CE%B1_n_%3D_5.svg/300px-%CE%A4%CE%B1%CF%85%CF%84%CF%8C%CF%84%CE%B1_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CE%A0%CE%B1%CF%83%CE%BA%CE%AC%CE%BB_%CE%B3%CE%B9%CE%B1_n_%3D_5.svg.png)
Υπενθυμίζουμε ότι ο διωνυμικός συντελεστής μετράει το πλήθος των συνδυασμών στοιχείων που μπορούν να επιλεχθούν από συνολικά στοιχεία.
Επομένως, ο συντελεστής μετράει το πλήθος των συνδυασμών για να διαλέξουμε από στοιχεία. Έστω ότι τα στοιχεία είναι , τότε διαχωρίζουμε τις εξής δύο περιπτώσεις σε αυτούς τους συνδυασμούς:
- Διαλέγουμε το και στοιχεία από τα .
- Διαλέγουμε στοιχεία από τα .
Για την πρώτη περίπτωση υπάρχουν τρόποι και για την δεύτερη τρόποι, άρα το άθροισμά τους μας δίνει το συνολικό πλήθος των συνδυασμών από στοιχεία, επομένως
Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- ↑ Παπαϊωάννου, Εύη. «Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές» (PDF). Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 31 Ιανουαρίου 2023. Ανακτήθηκε στις 31 Ιανουαρίου 2023.