Προσθετική συνάρτηση

Στη θεωρία των αριθμών, μια προσθετική συνάρτηση^[1] είναι μια αριθμητική συνάρτηση f(n) της θετικής ακέραιης μεταβλητής n, τέτοια ώστε κάθε φορά που τα a και b είναι πρώτοι προς αλλήλους, η συνάρτηση που εφαρμόζεται στο γινόμενο ab είναι το άθροισμα των τιμών της συνάρτησης που εφαρμόζεται στα a και b:^[2] $f(ab)=f(a)+f(b).$

Πλήρως προσθετική

Μια προσθετική συνάρτηση f(n) λέγεται πλήρως προσθετική αν $f(ab)=f(a)+f(b)$ ισχύει για όλους τους θετικούς ακέραιους a και b, ακόμα και όταν δεν είναι σχετικά πρώτοι. Η ολικά προσθετική χρησιμοποιείται επίσης με αυτή την έννοια κατ' αναλογία με τις ολικά πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις. Αν η f είναι μια πλήρως προσθετική συνάρτηση τότε f(1) = 0.

Κάθε πλήρως προσθετική συνάρτηση είναι προσθετική, αλλά όχι το αντίστροφο.^[3]

Παραδείγματα

Παραδείγματα αριθμητικών συναρτήσεων που είναι πλήρως προσθετικές είναι:

Ο περιορισμός της λογαριθμικής συνάρτησης στο $\mathbb {N} .$
Η πολλαπλότητα ενός πρώτου παράγοντα p στο n, δηλαδή ο μεγαλύτερος εκθέτης m για τον οποίο p^m διαιρεί το n.
a₀(n) - το άθροισμα των πρώτων αριθμών που διαιρούν το n μετρώντας την πολλαπλότητα, μερικές φορές ονομάζεται sopfr(n), η ισχύς του n ή ο ακέραιος λογάριθμος του n (ακολουθία A001414 στην OEIS). Παραδείγματος χάριν:

a₀(4) = 2 + 2 = 4

a₀(20) = a₀(2² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a₀(27) = 3 + 3 + 3 = 9

a₀(144) = a₀(2⁴ · 3²) = a₀(2⁴) + a₀(3²) = 8 + 6 = 14

a₀(2000) = a₀(2⁴ · 5³) = a₀(2⁴) + a₀(5³) = 8 + 15 = 23

a₀(2003) = 2003

a₀(54,032,858,972,279) = 1240658

a₀(54,032,858,972,302) = 1780417

a₀(20,802,650,704,327,415) = 1240681

Η συνάρτηση Ω(n'), που ορίζεται ως ο συνολικός αριθμός των πρώτων παραγόντων του n, μετρώντας πολλαπλούς παράγοντες πολλές φορές, μερικές φορές ονομάζεται «συνάρτηση του Μεγάλου Ωμέγα» (ακολουθία A001222 στην OEIS). Παραδείγματος χάριν,

Ω(1) = 0, δεδομένου ότι το 1 δεν έχει πρώτους παράγοντες

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2⁴ · 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2⁴ · 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54,032,858,972,279) = Ω(11 ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 4 ;

Ω(54,032,858,972,302) = Ω(2 ⋅ 7² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6

Ω(20,802,650,704,327,415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11² ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 7.

Παραδείγματα αριθμητικών συναρτήσεων που είναι προσθετικές αλλά όχι πλήρως προσθετικές είναι:

ω(n'), που ορίζεται ως ο συνολικός αριθμός των διακριτών πρώτων παραγόντων του n (ακολουθία A001221 στην OEIS). Παραδείγματος χάριν:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2⁴) = 1

ω(20) = ω(2² · 5) = 2

ω(27) = ω(3³) = 1

ω(144) = ω(2⁴ · 3²) = ω(2⁴) + ω(3²) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2⁴ · 5³) = ω(2⁴) + ω(5³) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54,032,858,972,279) = 3

ω(54,032,858,972,302) = 5

ω(20,802,650,704,327,415) = 5

a₁(n) - το άθροισμα των διακριτών πρώτων αριθμών που διαιρούν το n, μερικές φορές ονομάζεται sopf(n) (ακολουθία A008472 στην OEIS). Παραδείγματος χάριν:

a₁(1) = 0

a₁(4) = 2

a₁(20) = 2 + 5 = 7

a₁(27) = 3

a₁(144) = a₁(2⁴ · 3²) = a₁(2⁴) + a₁(3²) = 2 + 3 = 5

a₁(2000) = a₁(2⁴ · 5³) = a₁(2⁴) + a₁(5³) = 2 + 5 = 7

a₁(2001) = 55

a₁(2002) = 33

a₁(2003) = 2003

a₁(54,032,858,972,279) = 1238665

a₁(54,032,858,972,302) = 1780410

a₁(20,802,650,704,327,415) = 1238677

Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις

Από οποιαδήποτε προσθετική συνάρτηση $f(n)$ είναι δυνατόν να δημιουργηθεί μια σχετική πολλαπλασιαστική συνάρτηση $g(n),$ η οποία είναι μια συνάρτηση με την ιδιότητα ότι όποτε $a$ και $b$ είναι συνομήλικοι τότε:

$g(ab)=g(a)\times g(b).$

Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι $g(n)=2^{f(n)}.$

Αθροιστικές συναρτήσεις

Δοθείσας μιας προσθετικής συνάρτησης $f$ , έστω ότι η αθροιστική της συνάρτηση ορίζεται από τη σχέση ${\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)$ . Ο μέσος όρος της $f$ δίνεται ακριβώς ως εξής^[4]

${\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).$

Οι αθροιστικές συναρτήσεις επί του $f$ μπορούν να αναπτυχθούν ως ${\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))$ όπου

${\begin{aligned}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^{-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{-\alpha }.\end{aligned}}$

Ο μέσος όρος της συνάρτησης $f^{2}$ εκφράζεται επίσης από αυτές τις συναρτήσεις ως εξής

${\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).$

Υπάρχει πάντα μια απόλυτη σταθερά $C_{f}>0$ τέτοια ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς $x\geq 1$ ,

$\sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).$

Έστω

$\nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\!\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{B(x)}}\leq z\right\}\!.$

Ας υποθέσουμε ότι $f$ είναι μια προσθετική συνάρτηση με $-1\leq f(p^{\alpha })=f(p)\leq 1$ έτσι ώστε ως $x\rightarrow \infty$ ,

$B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty .$

Τότε $\nu (x;z)\sim G(z)$ όπου $G(z)$ είναι η γκαουσιανή συνάρτηση κατανομής

$G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt.$

Παραδείγματα αυτού του αποτελέσματος που σχετίζονται με τη συνάρτηση πρώτων ωμέγα και τους αριθμούς των πρώτων διαιρετών των μετατοπισμένων πρώτων αριθμών περιλαμβάνουν τα ακόλουθα για σταθερό $z\in \mathbb {R}$ όπου οι σχέσεις ισχύουν για $x\gg 1$ :

$\#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),$

$\#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x)G(z).$

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375
Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd έκδοση). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
Hardy, G.H.; Wright, E.M. (2008), An Introduction to the Theory of Numbers (6th έκδοση), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5
Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S. (1966), An Introduction to the Theory of Numbers (2nd έκδοση), John Wiley & Sons
Ore, Oystein (1988), Number Theory and Its History, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
Rosen, Kenneth H. (1992), Elementary Number Theory and its Applications (3rd έκδοση), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-57889-8

Παραπομπές

↑ «Additive arithmetic function - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 20 Ιουλίου 2024.
↑ Erdös, P., and M. Kac. On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 April; 25(4): 206–207. online
↑ «On additive functions with additional derivation properties - Cornell University».
↑ Elliott, P. D. T. A. (6 Δεκεμβρίου 2012). Arithmetic Functions and Integer Products. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-8548-6.

Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).

[1] «Additive arithmetic function - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 20 Ιουλίου 2024.

[Erdos1939-2] Erdös, P., and M. Kac. On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 April; 25(4): 206–207. online

[3] «On additive functions with additional derivation properties - Cornell University».

[4] Elliott, P. D. T. A. (6 Δεκεμβρίου 2012). Arithmetic Functions and Integer Products. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-8548-6.

[1]

[2]

[3]

[4]