Πολυώνυμο Μπέρνσταϊν

Στο τομέα της αριθμητικής ανάλυσης των μαθηματικών, ένα πολυώνυμο Μπέρνσταϊν (Bernstein polynomial), που παίρνει το όνομά του από τον ρωσοεβραίο μαθηματικό Σεργκέι Νατάνοβιτς Μπέρνσταϊν (ή Μπέρνστεϊν) είναι ένα πολυώνυμο, το οποίο αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των πολυωνύμων βάσεων Μπέρνσταϊν.

Η βασική μέθοδος εκτίμησης των πολυωνύμων μορφής Μπέρνσταϊν είναι ο αλγόριθμος του ντε Καστελζώ. Τα πολυώνυμα Μπέρνσταϊν χρησιμοποιήθηκαν αρχικά σε μία κατασκευαστική απόδειξη για το θεώρημα Στόουν–Βάιερστρας (Stone-Weierstrass Theorem). Με την ανάπτυξη του τομέα των γραφικών υπολογιστών (computer graphics) και του υπολογιστικά βοηθούμενου σχεδιασμού (computer-aided design), τα πολυώνυμα Μπέρνσταιν, περιορισμένα στο διάστημα x ∈ [0, 1], αποτέλεσαν τη βάση στο σχηματισμό των καμπυλών Μπεζιέ (Bézier Curves).

Ορισμός

Η n + 1 βάση πολυωνύμων Μπέρνσταϊν βαθμού n ορίζεται ως

b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n.

όπου ${n \choose \nu }$ είναι διωνυμικός συντελεστής.

Τα βασικά πολυώνυμα Μπέρνσταϊν βαθμού n σχηματίζουν μία βάση του διανυσματικού χώρου Π_n των πολυωνύμων βαθμού n.

Ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών πολυωνύμων Μπέρνσταϊν

B(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)

καλείται πολυώνυμο Μπέρνσταϊν ή πολυώνυμο μορφής Μπέρνσταϊν βαθμού n. Οι συντελεστές $\beta _{\nu }$ ονομάζονται συντελεστές Μπέρνσταϊν ή συντελεστές Μπεζιέ .

Με έναν άλλο συμβολισμό έχουμε:

Ένα πολυώνυμο Μπέρνσταϊν $P(x)$ βαθμού n δίνεται από τον τύπο:

P(x)=\sum _{k=0}^{n}{c_{k}B_{k}^{n}(x)}

Όπου τα $B_{k}^{n}(\cdot )$ είναι στοιχεία της βάσης των πολυωνύμων Μπέρνσταϊν, που ορίζονται από:

B_{i}^{n}(x)={n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}

αν

x\in [0,1];

ή γενικότερα:

B_{i}^{n}(x)={n \choose i}{(b-x)^{n-i}(x-a)^{i} \over (b-a)^{n}}

αν

x\in [a,b];

(εδώ ${n \choose i}$ είναι ο διωνυμικός συντελεστής.

Ιδιότητες

Τα βασικά πολυώνυμα Μπέρνσταϊν έχουν τις εξής ιδιότητες:

$b_{\nu ,n}(x)=0$ , αν $\nu <0$ ή $\nu >n$ .
$b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}$ και $b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}$ όπου $\delta$ είναι το δέλτα του Κρόνεκερ της αντίστοιχης συνάρτησης.
$b_{\nu ,n}(x)$ έχει ρίζα πολλαπλότητας $\nu$ στο σημείο $x=0$ (προσοχή: αν $\nu =0$ , δεν υπάρχει ρίζα στο 0).
$b_{\nu ,n}(x)$ έχει ρίζα πολλαπλότητας $\left(n-\nu \right)$ στο σημείο $x=1$ (προσοχή: αν $\nu =n$ , δεν υπάρχει ρίζα στο 1).
$b_{\nu ,n}(x)\geq 0$ για $x\in [0,\ 1]$ .
$b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x)$ . Συμμετρία ως προς τα $x$ και $1-x$ .

Η παράγωγος μπορεί να γραφεί ως συνδυασμός δύο πολυωνύμων μικρότερου βαθμού:
$b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).$

Το ολοκλήρωμα είναι σταθερό για συγκεκριμένο $n$
$\int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)dx={\frac {1}{n+1}}\forall \nu =0,1\dots n$

Αν $n\neq 0$ , τότε $b_{\nu ,n}(x)$ έχει μοναδικό τοπικό μέγιστο στο διάστημα $[0,\ 1]$ στο $x={\frac {\nu }{n}}$ . Το μέγιστο αυτό έχει τιμή:
$\nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.$

Η βάση πολυωνύμων Μπέρνσταϊν βαθμού $n$ σχηματίζουν μία κατάτμηση της μονάδας:
$\sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.$

Παίρνοντας την πρώτη παράγωγο της $(x+y)^{n}$ όπου $y=1-x$ , μπορεί να δειχθεί ότι:
$\sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx$

Η δεύτερη παράγωγος της $(x+y)^{n}$ όπου $y=1-x$ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι:
$\sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}$

Ένα πολυώνυμο Μπέρνσταϊν μπορεί να γραφεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός πολυωνύμων μεγαλύτερου βαθμού:
$b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).$