Παράγωγος φράκταλ

Στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και τη μαθηματική ανάλυση, η παράγωγος φράκταλ ή παράγωγος Χάουσντορφ είναι μια μη-Νευτώνεια γενίκευση της παραγώγου που αφορά το μέτρο των φράκταλ, η οποία ορίζεται στη μορφοκλασματική γεωμετρία. Οι φράκταλ παράγωγοι δημιουργήθηκαν για τη μελέτη της ανώμαλης διάχυσης, όπου οι παραδοσιακές προσεγγίσεις δεν λαμβάνουν υπόψη τη μορφοκλασματική φύση του μέσου. Ένα μέτρο φράκταλ t κλιμακώνεται ως συνάρτηση του t^α. Μια τέτοια παράγωγος είναι τοπική, σε αντίθεση με την ομοίως εφαρμοζόμενη μορφοκλασματική παράγωγο. Ο μορφοκλασματικός λογισμός διατυπώνεται ως γενίκευση του καθιερωμένου λογισμού .

Φυσικό πλαίσιο

Τα πορώδη μέσα, οι υδροφόροι ορίζοντες, οι αναταράξεις και άλλα πεδία παρουσιάζουν συνήθως μορφοκλασματικές ιδιότητες. Οι κλασικοί νόμοι διάχυσης ή διασποράς που βασίζονται σε τυχαίους περιπάτους στον ελεύθερο χώρο (στην ουσία το ίδιο αποτέλεσμα γνωστό ως νόμοι διάχυσης του Φικ, ο νόμος του Ντάρσι και ο νόμος του Φουριέ) δεν είναι εφαρμόσιμοι στα μορφοκλασματικά μέσα. Για να ξεπεραστεί αυτό, έννοιες όπως η απόσταση και η ταχύτητα πρέπει να επαναπροσδιοριστούν για τα μορφοκλασματικά μέσα- ειδικότερα, οι κλίμακες χώρου και χρόνου πρέπει να μετασχηματιστούν ως συναρτήσεις του (x^β, t^α). Οι στοιχειώδεις φυσικές έννοιες όπως η ταχύτητα επαναπροσδιορίζονται ως εξής για τον μορφοκλασματικό χωροχρόνο (x^β, t^α):

$v'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx^{\beta }}{dt^{\alpha }}}\,,\quad \alpha ,\beta >0$,

όπου το S^α,β αντιπροσωπεύει τον μορφοκλασματικό χωροχρόνο με δείκτες κλιμάκωσης α και β. Ο παραδοσιακός ορισμός της ταχύτητας δεν έχει νόημα στον μη διαφοροποιήσιμο φράκταλ χωροχρόνο.

Ορισμός

Με βάση τον παραπάνω προβληματισμό, η έννοια της φράκταλ παραγώγου μιας συνάρτησης u(t) ως προς ένα φράκταλ μέτρο t εισάγεται ως εξής:

${\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0$,

Ένας πιο γενικός ορισμός δίνεται από τον ακόλουθο ορισμό

${\frac {\partial ^{\beta }f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f^{\beta }(t_{1})-f^{\beta }(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0,\beta >0$.

Για μια συνάρτηση y(t) στο $F^{\alpha }$-τέλειο μορφοκλασματικό σύνολο F η φράκταλ παράγωγος ή $F^{\alpha }$-παράγωγος της στο t, ορίζεται ως εξής

$D_{F}^{\alpha }y(t)=\left\{{\begin{array}{ll}{\underset {x\rightarrow t}{F_{-}lim}}~{\frac {y(x)-y(t)}{S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t)}},&if~t\in F;\\0,&otherwise.\end{array}}\right.$.

Κίνητρο

Οι παράγωγοι μιας συνάρτησης f μπορούν να οριστούν ως προς τους συντελεστές a_k στο ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ:

$f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cdot (x-x_{0})^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k!}{d^{k}f \over dx^{k}}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k}=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0})$

Από αυτή την προσέγγιση μπορεί κανείς να λάβει άμεσα:

$f'(x_{0})={f(x)-f(x_{0})-o(x-x_{0}) \over x-x_{0}}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}$

Αυτό μπορεί να γενικευτεί προσεγγίζοντας την f με συναρτήσεις (x^α-(x₀)^α)^k:

$f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{k}=f(x_{0})+b_{1}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })+o(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })$

Σημείωση: ο συντελεστής χαμηλότερης τάξης πρέπει να εξακολουθεί να είναι b₀=f(x₀) αφού εξακολουθεί να είναι η σταθερή προσέγγιση της συνάρτησης f στο x₀.

Και πάλι μπορεί κανείς να λάβει άμεσα:

$b_{1}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{df \over dx^{\alpha }}(x_{0})$

• Το φράκταλ της σειράς Μακλάουριν της f(t) με φράκταλ υποστήριξη F έχει ως εξής:

$f(t)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(D_{F}^{\alpha })^{m}f(t)|_{t=0}}{m!}}(S_{F}^{\alpha }(t))^{m}$

Ιδιότητες

Συντελεστές διαστολής

Όπως συμβαίνει και στο ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ, οι συντελεστές b_k μπορούν να εκφραστούν ως προς τις κλασματικές παραγώγους τάξης k της f:

$b_{k}={1 \over k!}{\biggl (}{d \over dx^{\alpha }}{\biggr )}^{k}f(x=x_{0})$

Ιδέα απόδειξης: υποθέτοντας ότι ${\textstyle ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})}$ υπάρχει, b_k μπορεί να γραφτεί ως εξής ${\textstyle b_{k}=a_{k}\cdot ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})}$

μπορεί κανείς πλέον να χρησιμοποιήσει ${\textstyle f(x)=(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{n}\Rightarrow ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})=n!\delta _{n}^{k}}$ και αφού ${\textstyle b_{n}{\overset {\underset {\mathrm {!} }{}}{=}}1\Rightarrow a_{n}={1 \over n!}}$

Σύνδεση με παράγωγο

Αν για μια δεδομένη συνάρτηση f υπάρχουν τόσο η παράγωγος Df όσο και η φράκταλ παράγωγος D_αf, μπορεί κανείς να βρει ένα ανάλογο του κανόνα της αλυσίδας:

${df \over dx^{\alpha }}={df \over dx}{dx \over dx^{\alpha }}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }{df \over dx}$

Το τελευταίο βήμα αιτιολογείται από το θεώρημα της εμπρόθετης συνάρτησης το οποίο, υπό κατάλληλες συνθήκες, μας δίνει dx/dx^α = (dx^α/dx)⁻¹

Ομοίως για τον γενικότερο ορισμό:

${d^{\beta }f \over d^{\alpha }x}={d(f^{\beta }) \over d^{\alpha }x}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }\beta f^{\beta -1}(x)f'(x)$

Μορφοκλασματική παράγωγος για τη συνάρτηση f(t) = t, με τάξη παραγώγου είναι α ∈ (0,1]

Εφαρμογή σε ανώμαλη διάχυση

Ως εναλλακτική προσέγγιση μοντελοποίησης του κλασικού δεύτερου νόμου του Φικ, η φράκταλ παράγωγος χρησιμοποιείται για την εξαγωγή μιας γραμμικής εξίσωσης ανώμαλης μεταφοράς-διάχυσης που διέπει τη διαδικασία ανώμαλης διάχυσης,

${\frac {du(x,t)}{dt^{\alpha }}}=D{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial u(x,t)}{\partial x^{\beta }}}\right),-\infty <x<+\infty \,,\quad (1)$

$u(x,0)=\delta (x).$

όπου 0 < α < 2, 0 < β < 1, και δ'(x) είναι η συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ.

Για να προκύψει η θεμελιώδης λύση, εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό των μεταβλητών

$t'=t^{\alpha }\,,\quad x'=x^{\beta }.$

τότε η εξίσωση (1) γίνεται η εξίσωση κανονικής μορφής διάχυσης, η λύση της (1) έχει την τεντωμένη Γκαουσιανή μορφή:

$u(x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi t^{\alpha }}}}}e^{-{\frac {x^{2\beta }}{4t^{\alpha }}}}$

Η μέση τετραγωνική μετατόπιση της παραπάνω εξίσωσης διάχυσης με παράγωγο φράκταλ έχει την ασύμπτωτη:

$\left\langle x^{2}(t)\right\rangle \propto t^{(3\alpha -\alpha \beta )/2\beta }.$

Φράκταλ-κλασματικός λογισμός

Η φράκταλ παράγωγος συνδέεται με την κλασική παράγωγο αν υπάρχει η πρώτη παράγωγος της υπό εξέταση συνάρτησης. Στην περίπτωση αυτή,

${\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\ ={\frac {df(t)}{dt}}{\frac {1}{\alpha t^{\alpha -1}}},\quad \alpha >0$.

Ωστόσο, λόγω της ιδιότητας διαφοροποιησιμότητας ενός ολοκληρώματος, οι κλασματικές παράγωγοι είναι διαφοροποιήσιμες. Ως εκ τούτου, η ακόλουθη νέα έννοια εισήχθη από τον καθηγητή Αμπντον Ατανγκάνα από τη Νότια Αφρική.

Οι ακόλουθοι διαφορικοί τελεστές εισήχθησαν και εφαρμόστηκαν πολύ πρόσφατα. Υποθέτοντας ότι η y(t) είναι συνεχής και κλασματική διαφορίσιμη στο (α, β) με τάξη β, ισχύουν διάφοροι ορισμοί μιας κλασματικής-κλασματικής παραγώγου της y(t) με τάξη α κατά Ρίμαν-Λιουβίλ:

• Να διαθέτουν πυρήνα τύπου νόμου ισχύος:

$^{FFP}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {1}{\Gamma (m-\alpha )}}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}(t-s)^{m-\alpha -1}y(s)ds$

• Να διαθέτουν πυρήνα εκθετικά φθίνοντος τύπου:

$^{FFE}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {M(\alpha )}{1-\alpha }}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}\exp {\Big (}-{\dfrac {\alpha }{1-\alpha }}(t-s){\Big )}y(s)ds$,

• Να διαθέτουν γενικευμένο πυρήνα τύπου Mittag-Λέφλερ:

${}_{a}^{FFM}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt^{\beta }}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.$

Οι παραπάνω διαφορικοί τελεστές έχουν ο καθένας από έναν σχετικό τελεστή φράκταλ-κλασματικού ολοκληρώματος, ως εξής:

• Πυρήνας τύπου δυναμικού νόμου:

$^{FFP}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\beta }{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-s)^{\alpha -1}s^{\beta -1}y(s)ds$

• Τύπος πυρήνα εκθετικά φθίνοντος :

$^{FFE}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{M(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{M(\alpha )}}$.

• Γενικός πυρήνας Μιταγκ-Λεφλέρ:

$^{FFM}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{AB(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)(t-s)^{\alpha -1}ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{AB(\alpha )}}$. Το FFM αναφέρεται ως φράκταλ-κλασματικό με τον γενικευμένο πυρήνα Μιταγκ-Λεφλέρ.

Μορφολασματικός μη-τοπικός λογισμός

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο του δεξιόστροφου κλασματικού ολοκληρώματος Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης $\beta \in \mathbb {R}$ της f ορίζεται από:

${x}{\mathcal {I}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{1-\beta }}}d_{F}^{\alpha }t$.

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο του αριστερόπλευρου κλασματικού ολοκληρώματος Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης $\beta \in \mathbb {R}$ της f ορίζεται από:

${a}{\mathcal {I}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{1-\beta }}}d_{F}^{\alpha }t.$

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο της δεξιόστροφης κλασματικής παραγώγου Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης $\beta \in \mathbb {R}$ της f ορίζεται από:

${x}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(-D_{F}^{\alpha })^{n}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t$

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο της αριστερόπλευρης κλασματικής παραγώγου Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης $\beta \in \mathbb {R}$ της f ορίζεται από:

${a}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(D_{F}^{\alpha })^{n}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t$

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο της δεξιόστροφης κλασματικής παραγώγου Καπούτο τάξης $\beta \in \mathbb {R}$ της f ορίζεται από:

${x}^{C}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{x}^{b}(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{n-\beta -1}(-D_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t$

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο της αριστερόπλευρης κλασματικής παραγώγου Καπούτο τάξης $\beta \in \mathbb {R}$ της f ορίζεται από:

${a}^{C}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{a}^{x}(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{n-\beta -1}(D_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• «FracLac User's Guide». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 16 Απριλίου 2014. Ανακτήθηκε στις 21 Δεκεμβρίου 2023.  An online guide to lacunarity theory and analysis using free, open source biological imaging software.

Βιβλιογραφία

• Chen, W. (2006). «Time–space fabric underlying anomalous diffusion». Chaos, Solitons and Fractals 28 (4): 923–929. doi:10.1016/j.chaos.2005.08.199. Bibcode: 2006CSF....28..923C. 
• Kanno, R. (1998). «Representation of random walk in fractal space-time». Physica A 248 (1–2): 165–175. doi:10.1016/S0378-4371(97)00422-6. Bibcode: 1998PhyA..248..165K. 
• Chen, W.; Sun, H.G.; Zhang, X.; Korosak, D. (2010). «Anomalous diffusion modeling by fractal and fractional derivatives». Computers and Mathematics with Applications 59 (5): 1754–8. doi:10.1016/j.camwa.2009.08.020. 
• Sun, H.G.; Meerschaert, M.M.; Zhang, Y.; Zhu, J.; Chen, W. (2013). «A fractal Richards' equation to capture the non-Boltzmann scaling of water transport in unsaturated media». Advances in Water Resources 52 (52): 292–5. doi:10.1016/j.advwatres.2012.11.005. PMID 23794783. Bibcode: 2013AdWR...52..292S. 
• Cushman, J.H.; O'Malley, D.; Park, M. (2009). «Anomalous diffusion as modeled by a nonstationary extension of Brownian motion». Phys. Rev. E 79 (3): 032101. doi:10.1103/PhysRevE.79.032101. PMID 19391995. Bibcode: 2009PhRvE..79c2101C. 
• Mainardi, F.; Mura, A.; Pagnini, G. (2010). «The M-Wright Function in Time-Fractional Diffusion Processes: A Tutorial Survey». International Journal of Differential Equations 2010: 104505. doi:10.1155/2010/104505. Bibcode: 2010arXiv1004.2950M. 

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Σύνολο Κάντορ
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν