Ομάδα Πικάρ

Στα μαθηματικά, η ομάδα Πικάρ ενός δακτυλιοειδούς χώρου Χ, που συμβολίζεται με Pic(X), είναι η ομάδα των κλάσεων ισομορφισμού αντιστρέψιμων δεματίων (ή δέσμες γραμμών) στον Χ, με την πράξη της ομάδας να είναι το τανυστικό γινόμενο. Αυτή η κατασκευή είναι μια σφαιρική εκδοχή της κατασκευής της ομάδας κλάσεων διαιρέτη ή της ομάδας ιδεωδών κλάσεων και χρησιμοποιείται πολύ στην αλγεβρική γεωμετρία και στη θεωρία των μιγαδικών πολλαπλοτήτων.

Εναλλακτικά, η ομάδα του Πικάρ μπορεί να οριστεί ως η ομάδα συνομολογίας των δεματίων

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,$

Για ολοκληρωτικά σχήματα η ομάδα του Πικάρ είναι ισομορφική με την ομάδα τάξης των διαιρετών Καρτιέ. Για μιγαδικές πολλαπλότητες η εκθετική ακολουθία δεματίων δίνει βασικές πληροφορίες για την ομάδα Πικάρ.

Το όνομα είναι προς τιμήν των θεωριών του Εμίλ Πικάρ, ιδίως των διαιρετών σε αλγεβρικές επιφάνειες.

Παραδείγματα

• Η ομάδα Πικάρ του φάσματος ενός τομέα Ντέντεκιντ είναι η ομάδα της ιδεώδους κλάσης του.
• Οι αντιστρέψιμες δέσμες στον προβολικό χώρο Pⁿ(k) για k πεδίο, είναι οι στρεπτικές δέσμες ${\mathcal {O}}(m),\,$ οπότε η ομάδα Πικάρ του Pⁿ(k) είναι ισόμορφη με την Z.
• Η ομάδα Πικάρ της αφινικής γραμμής με δύο αφετηρίες πάνω από το k είναι ισομορφική με το Z'.
• Η ομάδα Πικάρ του $n$-διάστατου μιγαδικού αφινικού χώρου: $\operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0$, μάλιστα η εκθετική ακολουθία δίνει την ακόλουθη μακρά ακριβή ακολουθία στη συνομολογία

  $\dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots$

και δεδομένου ότι $H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )$ έχουμε $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0$ επειδή $\mathbb {C} ^{n}$ είναι συρρικνούμενη, τότε$H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })$ και μπορούμε να εφαρμόσουμε τον ισομορφισμό Ντολμπό για να υπολογίσουμε $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0$ με το λήμμα των Ντολμπό-Γκρότεντικ.

Σχήμα Πικάρ

Η κατασκευή μιας δομής σχήματος στην ομάδα Πικάρ (αναπαραστάσιμη εκδοχή της ομάδας Πικάρ), το σχήμα Πικάρ, αποτελεί σημαντικό βήμα στην αλγεβρική γεωμετρία, ιδίως στη θεωρία δυαδικότητας των αβελιανών ποικιλιών. Κατασκευάστηκε από τον Γκρότεντικ (Grothendieck (1962)) και περιγράφηκε επίσης από τους Μάμφορντ (Mumford (1966)) και Κλίμαν (Kleiman (2005)).

Στις περιπτώσεις που έχουν τη μεγαλύτερη σημασία για την κλασική αλγεβρική γεωμετρία, για μια μη ιδιάζουσα πλήρη ποικιλία V σε ένα πεδίο χαρακτηριστικού μηδέν, η συνδεδεμένη συνιστώσα της ταυτότητας στο σχήμα Πικάρ είναι μια αβελιανή ποικιλία που ονομάζεται ποικιλία Πικάρ και συμβολίζεται ως Pic⁰(V). Η διπλή της ποικιλίας Πικάρ είναι η ποικιλία Αλμπανέζ, και στην ειδική περίπτωση όπου η V είναι καμπύλη, η ποικιλία Πικάρ είναι φυσικά ισομορφική με την ιακωβιανή ποικιλία της V. Για σώματα θετικής χαρακτηριστικής, ωστόσο, ο Ιγκούσα κατασκεύασε ένα παράδειγμα ομαλής προβολικής επιφάνειας S με την Pic⁰(S) μη αναγωγική, και επομένως όχι αβελιανή ποικιλία.

Το πηλίκο Pic(V)/Pic⁰(V) είναι μια αβελιανή ομάδα πεπερασμένης γενιάς που συμβολίζεται NS(V), η ομάδα Νέρον-Σέβερι του V. Με άλλα λόγια, η ομάδα Πικάρ ταιριάζει σε μια ακριβή ακολουθία

$1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 1.\,$

Το γεγονός ότι ο βαθμός της NS(V) είναι πεπερασμένος είναι το θεώρημα της βάσης του Φραντσέσκο Σεβέρι- ο βαθμός είναι ο αριθμός Πικάρ του V, που συχνά συμβολίζεται με ρ(V). Γεωμετρικά η NS(V) περιγράφει τις κλάσεις αλγεβρικής ισοδυναμίας των διαιρετών στο V- δηλαδή, χρησιμοποιώντας μια ισχυρότερη, μη γραμμική σχέση ισοδυναμίας στη θέση της γραμμικής ισοδυναμίας των διαιρετών, η ταξινόμηση γίνεται προσιτή σε διακριτές αναλλοίωτες. Η αλγεβρική ισοδυναμία σχετίζεται στενά με την αριθμητική ισοδυναμία, μια ουσιαστικά τοπολογική ταξινόμηση μέσω αριθμών τομής.

Σχετικό σχήμα Πικάρ

Έστω f: X →S ένας μορφισμός σχημάτων. Ο σχετικός συναρτητής Πικάρ (ή το σχετικό σχήμα Πικάρ αν είναι σχήμα) δίνεται από: για κάθε S-σχήμα T,

$\operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))$

όπου $f_{T}:X_{T}\to T$ είναι η αλλαγή βάσης του f και f_T ^* είναι η επαναφορά.

Λέμε ότι ένα L στο $\operatorname {Pic} _{X/S}(T)$ έχει βαθμό r αν για κάθε γεωμετρικό σημείο s → T η επαναφορά $s^{*}L$ του L κατά μήκος του s έχει βαθμό r ως αντιστρέψιμο δεμάτιο πάνω από την ίνα X_s (όταν ο βαθμός ορίζεται για την ομάδα Πικάρ του X_s).

Δημοσιεύσεις

• Grothendieck, A. (1962), V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 232, σελ. 143–161, http://www.numdam.org/item?id=SB_1961-1962__7__143_0 
• Grothendieck, A. (1962), VI. Les schémas de Picard. Propriétés générales, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 236, σελ. 221–243, http://www.numdam.org/item?id=SB_1961-1962__7__221_0 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, OCLC 13348052 
• Igusa, Jun-Ichi (1955), «On some problems in abstract algebraic geometry», Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 41 (11): 964–967, doi:10.1073/pnas.41.11.964, PMID 16589782 
• Kleiman, Steven L. (2005), «The Picard scheme», Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr., 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society, σελ. 235–321 
• Mumford, David (1966), Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies, 59, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07993-6, OCLC 171541070 
• Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290 

Δείτε επίσης

• p-adic Hodge Theory
• Αλγεβρική ποικιλία
• Τοπολογία
• Διόφαντος

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Regular scheme - Encyclopedia of Math
• Crystalline Cohomology of Superschemes
• Group and Semigroup Rings
• Class Groups and Picard Groups of Group Rings and Orders, Τεύχος 26
• Noether-Lefschetz Theory and the Picard Group of Projective Surfaces