Παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων

Παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Το παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων αποτελεί μία γενίκευση η οποία εμπεριέχει το κλασικό Καρτεσιανό σύστημα.
Είναι δυνατόν να εφαρμοστεί σε αυτό ο απειροστικός λογισμός.
Επίσης είναι δυνατόν να υπολογιστεί το μήκος καμπυλόγραμμου τμήματος στόν τρισδιάστατο χώρο , το εμβαδό κλπ.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
Ορίζουμε το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με άξονες Χ(τ),Υ(τ).
Κάθε σημείο Μ στο επίπεδο,ορίζεται απο το ζεύγος (Χ(τ),Υ(τ)) γιά την ίδια τιμή της μεταβλητής τ.
Ετσι έχουμε το σημείο Μ(Χ(τ),Υ(τ)). Το τ είναι πραγματικός αριθμός.
Πρόκειται γιά γεωμετρική απεικόνιση της αντιστοιχίας του πεδίου των τιμών της συνάρτησης Υ(τ) ως προς το πεδίο των τιμών της συνάρτησης Χ(τ).
Αν Χ(τ)= τ τότε συμπίπτει με το κλασικό ζεύγος (Υ=φ(χ)).
Γενικότερα αν Υ(τ)=φ(τ) καί Υ(τ)=Υ(φ(τ)) καί πάλι συμπίπτει με το κλασικό σύστημα.

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
1) Παραμετρικές μίας μεταβλητής
Ορίζουμε το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με άξονες Χ(τ),Υ(τ),Ζ(τ).
Κάθε σημείο Μ στο χώρο ορίζεται απο την τριάδα ( Χ(τ),Υ(τ),Ζ(τ)) γιά την ίδια τιμή της μεταβλητής τ.
Ετσι έχουμε το σημείο Μ ( Χ(τ),Υ(τ),Ζ(τ)).
Το τ είναι πραγματικός αριθμός.
Πρόκειται γιά γεωμετρική απεικόνιση της αντιστοιχίας του πεδίου των τιμών της συνάρτησης Ζ(τ)
ως προς το πεδίο των τιμών της συνάρτησης Υ(τ) και ως προς το πεδίο των τιμών της συνάρτησης Χ(τ).
Οι συναρτήσεις μίας μεταβλητής ορίζουν καμπύλες στον τρισδιάστατο χώρο.
2) Παραμετρικές δύο μεταβλητών
Ορίζουμε το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με άξονες Χ(θ,ω),Υ(θ,ω),Ζ(θ,ω).
Κάθε σημείο Μ στο χώρο ορίζεται απο την τριάδα ( Χ(θ,ω),Υ(θ,ω),Ζ(θ,ω)) γιά την ίδια τιμή των μεταβλητών θ,ω .
Ετσι έχουμε το σημείο Μ ( Χ(θ,ω),Υ(θ,ω),Ζ(θ,ω)).
Οι αριθμοί θ,ω είναι πραγματικοί .
θ=u ,ω=v
Οι συναρτήσεις δύο μεταβλητών ορίζουν επιφάνειες.
3)Παραμετρικές τριών μεταβλητών (Συμπαγή στερεά)
Ορίζουμε το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με άξονες Χ(u,v,w),Υ(u,v,w),Ζ(u,v,w).
Κάθε σημείο Μ στο χώρο ορίζεται απο την τριάδα ( Χ(u,v,w),Υ(u,v,w),Ζ(u,v,w)) γιά την ίδια τιμή των μεταβλητών u,v,w .
Ετσι έχουμε το σημείο Μ ( Χ(u,v,w),Υ(u,v,w),Ζ(u,v,w)).
Οι αριθμοί u,v,w είναι πραγματικοί .
Οι συναρτήσεις τριών μεταβλητών ορίζουν συμπαγή στερεά.