Διακρίνουσα βάσης

Ορισμός

Έστω $K=\mathbb {Q} (\theta )$ αριθμητικό σώμα βαθμού n και $a_{1},..a_{n}$ μια βάση αυτού ως $\mathbb {Q}$ διανυσματικός χώρος.Ακόμα έστω $r_{1},..,r_{n}r_{i}\neq r_{j}$ οι ρίζες του $Irr(\theta ,\mathbb {Q} )$ στο $\mathbb {C}$ και $\sigma _{i}:K\rightarrow \mathbb {C}$ οι n διακεκριμένοι μονομορφισμοί απο το Κ στο $\mathbb {C}$ όπου $\sigma _{i}(\theta )=r_{i}$.Ακολούθως φτιάχνουμε τον εξής πίνακα :

$A={\begin{bmatrix}\sigma _{1}(a_{1})&...&\sigma _{1}(a_{n})\\\sigma _{2}(a_{1})&...&\sigma _{2}(a_{n})\\...&...&...\\\sigma _{n}(a_{1})&...&\sigma _{n}(a_{n})\end{bmatrix}}$

Ως διακρίνουσα της βάσης (Basis discriminant) $a_{1},..a_{n}$ του αριθμητικού σώματος Κ ορίζουμε το μιγαδικό αριθμό $\Delta (a_{1},..,a_{n})=(det(A))^{2}$.

Παράδειγματα

• Έστω $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ και η $\{1,{\sqrt {2}}\}$ μια βάση αυτού.Οι ρίζες του $Irr({\sqrt {2}},\mathbb {Q} )=x^{2}-2$ είναι οι $\pm {\sqrt {2}}$ οπότε οι δύο μονομορφισμοί απο το $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ στο $\mathbb {C}$ είναι οι

$\sigma _{1}({\sqrt {2}})={\sqrt {2}}$ και $\sigma _{2}({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}}$

οπότε είμαστε πλέον σε θέση να υπολογίσουμε την διακρίνουσα της βάσης $\{1,{\sqrt {2}}\}$ του αριθμητικού σώματος $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$.Έχουμε λοιπόν $\Delta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}(1,{\sqrt {2}})={\Big (}det{\begin{bmatrix}\sigma _{1}(1)&\sigma _{1}({\sqrt {2}})\\\sigma _{2}(1)&\sigma _{2}({\sqrt {2}})\end{bmatrix}}{\Big )}^{2}={\Big (}det{\begin{bmatrix}1&{\sqrt {2}}\\1&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\Big )}^{2}=(-2{\sqrt {2}})^{2}=8$