Αλυσοειδής δακτύλιος

Στα μαθηματικά, ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος R είναι αλυσοειδής αν για κάθε ζεύγος πρώτων ιδεωδών p, q, για κάθε δύο αυστηρά αυξανόμενες αλυσίδες

p = p₀ ⊂ p₁ ⊂ ... ⊂ p_n = q

πρώτων ιδεωδών περιέχονται σε μέγιστες αυστηρά αυξανόμενες αλυσίδες από p έως q του ίδιου (πεπερασμένου) μήκους. Σε μια γεωμετρική κατάσταση, στην οποία η διάσταση μιας αλγεβρικής ποικιλίας που συνδέεται με ένα πρωταρχικό ιδεώδες μειώνεται όσο το πρωταρχικό ιδεώδες γίνεται μεγαλύτερο, το μήκος μιας τέτοιας αλυσίδας n είναι συνήθως η διαφορά των διαστάσεων.

Ένας δακτύλιος ονομάζεται καθολικά Αλυσοειδής αν όλες οι πεπερασμένα παραγόμενες άλγεβρες πάνω του είναι Αλυσοειδείς δακτύλιοι.

Η λέξη catenary στα αγγλικά προέρχεται από τη λατινική λέξη catena, που σημαίνει αλυσίδα.

Υπάρχει η ακόλουθη αλυσίδα εγκλεισμάτων:

   Καθολικά Αλυσοειδής δακτύλιος ⊃ δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ ⊃ δακτύλιοι Γκόρενσταϊν ⊃ πλήρεις δακτύλιοι διατομής ⊃ κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι

Τύπος διάστασης

Ας υποθέσουμε ότι το A είναι ένας Ναιτεριανός τομέας και το B είναι ένας τομέας που περιέχει το A και παράγεται πεπερασμένα πάνω από το A. Αν P είναι ένα πρώτο ιδεώδες του B και p η τομή του με το A, τότε

${\text{height}}(P)\leq {\text{height}}(p)+{\text{tr.deg.}}_{A}(B)-{\text{tr.deg.}}_{\kappa (p)}(\kappa (P)).$

Ο τύπος διάστασης για καθολικά Αλυσοειδείς δακτύλιοι ορίζει ότι η ισότητα ισχύει αν ο Α είναι καθολικά Αλυσοειδής. Εδώ κ(P) είναι το πεδίο καταλοίπων του P και tr.deg. εννοεί τον βαθμό υπερβατικότητας (των πηλίκων πεδίων). Στην πραγματικότητα, όταν το A δεν είναι καθολικά αλυσοειδής, αλλά $B=A[x_{1},\dots ,x_{n}]$, τότε ισχύει επίσης η ισότητα.

Παραδείγματα

Σχεδόν όλοι οι δακτύλιοι της Nέτερ που εμφανίζονται στην αλγεβρική γεωμετρία είναι καθολικά αλυσοειδείς. Ειδικότερα, οι ακόλουθοι δακτύλιοι είναι καθολικά αλυσοειδείς:

• Πλήρεις τοπικοί Ναιτεριανοί δακτύλιοι
• Περιοχές (και πεδία) Ντέντεκιντ
• δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ (και κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι)
• Οποιαδήποτε εντοπισμός ενός καθολικά αλυσοειδούς δακτυλίου
• Οποιαδήποτε πεπερασμένα παραγόμενη άλγεβρα πάνω σε καθολικά αλυσοειδής δακτύλιο.

Ένας δακτύλιος που είναι Αλυσοειδής αλλά όχι καθολικά Αλυσοειδής

Είναι λεπτό να κατασκευάσουμε παραδείγματα δακτυλίων Ναιτεριανών που δεν είναι καθολικά Ναιτεριανοί. Το πρώτο παράδειγμα βρέθηκε από τον Μασαγιόσι Ναγκάτα (1956, 1962, σελίδα 203 παράδειγμα 2), ο οποίος βρήκε έναν 2-διάστατο τοπικό τομέα του Ναιτεριανού

Το παράδειγμα του Ναγκάτα έχει ως εξής. Επιλέγουμε ένα πεδίο k και μια τυπική δυναμοσειρά z=Σ_i>0a_ixⁱ στον δακτύλιο S των τυπικών δυναμοσειρών στο x πάνω από το k, έτσι ώστε τα z και x να είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα. που είναι Αλυσοειδής αλλά όχι καθολικά

Ορίζουμε z₁ = z και z_i+1=z_i/x–a_i.

Έστω R ο (μη-Ναιτεριανός) δακτύλιος που παράγεται από το x και όλα τα στοιχεία z_i.

Έστω m το ιδεώδες (x), και έστω n το ιδεώδες που παράγεται από το x-1 και όλα τα στοιχεία z_i.

Και τα δύο είναι μέγιστα ιδανικά του R, με υπολειμματικά πεδία ισόμορφα με το k. Ο τοπικός δακτύλιος R_m είναι ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος διάστασης 1 (η απόδειξη αυτού χρησιμοποιεί το γεγονός ότι τα z και x είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα) και ο τοπικός δακτύλιος R_n είναι ένας κανονικός Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος διάστασης 2.

Έστω B ο εντοπισμός του R ως προς όλα τα στοιχεία που δεν ανήκουν ούτε στο m ούτε στο n. Τότε ο B είναι ένας 2-διάστατος Ναιτεριανός ημι-τοπικός δακτύλιος με 2 μέγιστα ιδανικά, το mB (ύψους 1) και το nB (ύψους 2).

Έστω I η ρίζα Τζέικομπσον του B, και έστω A = k+I. Ο δακτύλιος A είναι μια τοπική περιοχή διάστασης 2 με μέγιστο ιδεώδες I, άρα είναι κατιόν, επειδή όλες οι 2-διάστατες τοπικές περιοχές είναι αλυσοειδείς. Ο δακτύλιος A είναι Ναιτεριανός επειδή ο B είναι Ναιτεριανός και είναι πεπερασμένο A-module. Ωστόσο, ο Α δεν είναι καθολικά Αλυσοειδής, διότι αν ήταν τότε το ιδανικό mB του Β θα είχε το ίδιο ύψος με το mB∩Α σύμφωνα με τον τύπο της διάστασης για καθολικά Αλυσοειδείς δακτυλίους, αλλά το τελευταίο ιδεώδες έχει ύψος ίσο με dim(Α)=2.

Το παράδειγμα του Ναγκάτα είναι επίσης ένας οιονεί άριστος δακτύλιος, οπότε δίνει ένα παράδειγμα ενός οιονεί άριστου δακτυλίου που δεν είναι άριστος δακτύλιος.

Δημοσιεύσεις

• Michael F. Atiyah, Ian G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading MA 1969, ISBN 0-201-00361-9.
• Rainer Brüske, Friedrich Ischebeck, Ferdinand Vogel: Kommutative Algebra. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-14041-0.
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics. 52). Springer, New York u. a. 1977, ISBN 3-540-90244-9.
• Ernst Kunz: Introduction to commutative algebra and algebraic geometry (= Vieweg-Studium. 46 Aufbaukurs Mathematik.). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6.
• Winfried Bruns, Jürgen Herzog: Cohen-Macaulay rings (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 39). Cambridge University Press, 1993.

Δείτε επίσης

• Regular ring (in commutative algebra)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Commutative Ring Theory
• Rings Close to Regular
• Modules over Commutative Regular Rings

Σημειώσεις

• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
• Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:10.1017/S0027763000000076, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769 
• Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, New York-London: Interscience Publishers, a division of John Wiley & Sons ; reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) (ISBN 0-88275-228-6)