Χρήστης:Vasileiaz
 | Ο χρήστης συμμετέχει σε δραστηριότητα μετάφρασης λημμάτων, ως φοιτητής του τμήματος Μαθηματικών του ΑΠΘ (πληροφορίες). Ο Α.Μ. του είναι 15345. |
Κίνητρο : η ακαταλληλότητα των συντεταγμένων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Εξετάστε το ακόλουθο πρόβλημα. Ας υποθέσουμε ότι ένας φορέας που εφάπτεται στη σφαίρα S δίνεται στο βόρειο πόλο, και θέλουμε να ορίσετε ένα τρόπο αυτό το διάνυσμα να κινείται συνεχώς σε άλλα σημεία της σφαίρας: ένα μέσο για την παράλληλη μεταφορά. Αφελώς, αυτό θα μπορούσε να γίνει με ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Ωστόσο, αν δεν δοθεί ιδιαίτερη προσοχή, η παράλληλη μεταφορά που ορίζεται σε ένα σύστημα συντεταγμένων δεν θα συμφωνεί με εκείνη ενός άλλου συστήματος συντεταγμένων. Ένα πιο κατάλληλο παράλληλο σύστημα μεταφοράς εκμεταλλεύεται την συμμετρία της σφαίρας υπό περιστροφή. Λαμβάνοντας υπόψη ένα διάνυσμα στο βόρειο πόλο, μπορεί κανείς να μεταφέρει αυτόν τον φορέα κατά μήκος μιας καμπύλης με περιστροφή της σφαίρας κατά τέτοιο τρόπο ώστε ο βόρειος πόλος να κινείται κατά μήκος της καμπύλης χωρίς αξονική έλαση. Αυτός ο τελευταίος τρόπος παράλληλης μεταφοράς είναι η σύνδεση Levi-Civita στην σφαίρα. Εάν δύο διαφορετικές καμπύλες δίνονται με το ίδιο αρχικό και τελιικό σημείο, και ένα διάνυσμα v κινείται σταθερά κατά μήκος της πρώτης καμπύλης από μια περιστροφή, το διάνυσμα που προκύπτει στο τελικό σημείο θα είναι διαφορετικό από τον φορέα που προκύπτει από άκαμπτη κίνηση κατά μήκος της δεύτερης καμπύλης. Το φαινόμενο αυτό αντανακλά την καμπυλότητα της σφαίρας. Μια απλή μηχανική συσκευή που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απεικόνιση της παράλληλης μεταφοράς είναι το south-pointing chariot .
Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι στην S δίνονται συντεταγμένες από το στερεογραφική προβολή. Θεωρούμε την S ως αποτελείται από φορείς μονάδων στον R3. Τότε η S φέρει ένα ζεύγος συντεταγμένων περιοχών: η μία θα καλύπτει μια γειτονιά του βόρειου πόλου, και η άλλη του νότιου πόλου. Οι συναρτήσεις
φ0(x,y)=(2x|1+x²+y²,2y|1+x²+y²,1-x²-y²|1+x²+y²)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
φ1(x,y)=(2x|1+x²+y²,2y|1+x²+y²,x²+y²-1|1+x²+y²)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
καλύπτουν μια γειτονιά U0 του βόρειου πόλου και U1 του νότιου πόλου , αντίστοιχα . Έστω X , Y, Z είναι οι συντεταγμένες του περιβάλλοντος στο R3 . Στη συνέχεια, φ0 και φ1 έχουν αντίστροφες
φ0-1=(X|Z+1,Y|Z+1)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
φ0-1=(-Χ|Ζ-1,-Υ|Ζ-1)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
έτσι ώστε η συντεταγμένη λειτουργία μετάβασης είναι αντιστροφή στον κύκλο:
φ01(x,y)=φ0-1oφ1(x,y)=(x|x²+y²,y|x²+y²)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ας παρουσιάσουμε τώρα ένα διανυσματικό πεδίο όσον αφορά τα συστατικά του σε σχέση με τα συντεταγμένα παράγωγα . Αν Ρ είναι ένα σημείο του U0 ⊂ S, τότε ένας φορέας πεδίου μπορεί να αντιπροσωπεύεται από τον pushforward
u(P)=Jφ0(φ0-1(P))·ν0(φ0-1(P)) (1)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
όπου Jφ0 συμβολίζει την Ιακωβιανή μήτρα του φ0 και v0 = v0 (x, y) είναι ένας φορέας πεδίου στο R2 που καθορίζεται μοναδικά από ν. Επιπλέον, για την επικάλυψη μεταξύ των συντεταγμένων διαγραμμάτων U0 ∩ U1, είναι δυνατόν να αντιπροσωπεύουν τον ίδιο φορέα πεδίου σε σχέση με τις συντεταγμένες φ1:
u(P)=Jφ1(φ1-1(P))·ν1(φ1-1(P)) (2)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Για τον συσχετισμό των στοιχείων v0 και v1, εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας στην ταυτότητα φ1 = φ0 o φ01: Εφαρμόζοντας τις δύο πλευρές της εξίσωσης αυτής μήτρας στον συστατικό φορέα v1 (φ1-1 (P)) και συμπεριλαμβάνοντας τις (1) και (2) προκύπτει
ν0(φ0-1(P))=Jφ01(φ1-1(P))·v1(φ1-1(P)) (3)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ερχόμαστε τώρα στο κύριο ερώτημα του ορισμού για το πώς να μεταφέρουμε ένα φορέα πεδίου παράλληλα κατά μήκος μιας καμπύλης. Ας υποθέσουμε ότι P (t) είναι μια καμπύλη S. αφελώς, μπορεί κανείς να εξετάσει ένα φορέα πεδίου παράλληλα αν οι συντεταγμένες του φορέα πεδίου είναι σταθερές κατά μήκος της καμπύλης. Ωστόσο, μια άμεση αμφιβολία που προκύπτει: σε ποιο σύστημα συντεταγμένων θα πρέπει αυτά τα στοιχεία να είναι σταθερά; Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι v (P (t)) έχει σταθερά συστατικά στο U1 σύστημα συντεταγμένων. Δηλαδή, οι λειτουργίες του v1(φ1-1 (P (t))) είναι σταθερές. Εντούτοις, η εφαρμογή του προϊόντος κανόνα στην (3) και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι dV1 / dt = 0 δίνει
d|dt·ν0(φ0-1(P(t)))=(d|dt·Jφ01(φ1-1(P(t)))·ν1(φ1-1(P(t)))[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Αλλά η (d|dt·Jφ01(φ1-1(P(t))) είναι πάντοτε μια μη μοναδική μήτρα (με την προϋπόθεση ότι η καμπύλη P (t) δεν είναι στάσιμη), έτσι ώστε v1 και v0 να μην μπορούν ποτέ να είναι ταυτοχρόνως σταθερά κατά μήκος της καμπύλης.
Ιστορική έρευνα των συνδέσεων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Τα δύο θέματα στη θεωρία των συνδέσμων συνεχίστηκαν μέχρι και σήμερα:ένας σύνδεσμος ως διαφορικός τελεστής, και ένας σύνδεσμος ως διαφορική μορφή. Το 1950, ο Jean-Louis Koszul (Koszul 1950) έδωσε ένα αλγεβρικό πλαίσιο σχετικά με ένα σύνδεσμο ως διαφορικό χειριστή μέσω του συνδέσμου Koszul.Ο σύνδεσμος Koszul ήταν ευρύτερος από αυτόν του Levi-Civita, και πιο εύκολο να εργασθείς με αυτόν, επειδή τελικά ήταν σε θέση να εξαλείψει (ή τουλάχιστον να αποκρύψει) τα αδέξια σύμβολα Christoffel από τον σύνδεσμο φορμαλισμού. Η συνοδική παράλληλη μετατόπιση της εργασίας είχε επίσης φυσικές αλγεβρικές ερμηνείες όσον αφορά τον σύνδεσμο.Ο ορισμό Koszul που εγκρίθηκε στη συνέχεια από το μεγαλύτερο μέρος της κοινότητας της Διαφορική Γεωμετρίας , αφού μετέτρεψε αποτελεσματικά την αναλυτική αλληλογραφία μεταξύ συναλλοίωτης διαφοροποίησης και παράλληλης μετάφραση σε κάτι αλγεβρικό.
Την ίδια χρονιά, ο Charles Ehresmann (Ehresmann 1950), μαθητής του Cartan, παρουσίασε μια παραλλαγή σχετικά με τον σύνδεσμο ως μια διαφορική μορφή, στο πλαίσιο του κεφαλαίου δέσμες και, γενικότερα, δέσμες ινών.Οι σύνδεσμοι Ehresmann ήταν, για να κυριολεκτήσουμε,όχι μια γενίκευση των συνδέσμων Cartan.Οι σύνδεσμοι Cartan ήταν αρκετά αυστηρά συνδεδεμένοι με την υποκείμενη διαφορική τοπολογία του συλλέκτη, λόγω της σχέσης τους με τη μέθοδο της ισοδυναμίας του Cartan.Οι σύνδεσμοι Ehresmann ήταν μάλλον ένα σταθερό πλαίσιο για την προβολή της θεμελιακής εργασίας άλλων Γεωμετρών της εποχής, όπως Shiing-Shen Chern, ο οποίος είχε ήδη αρχίσει να απομακρύνεται από τους συνδέσμους Cartan ώστε να μελετήσει αυτό που θα μπορούσε να ονομαστεί σύνδεσμοι μετρητή.Σύμφωνα με την άποψη του Ehresmann,ένας σύνδεσμος σε μια κύρια δέσμη αποτελείται από έναν καθορισμό του οριζόντιου και κάθετου πεδίου του φορέα σχετικά με το συνολικό χώρο της δέσμης. Μια παράλληλη μετάφραση είναι ότι μια ανύψωση της καμπύλης από τη βάση σε μια καμπύλη στην κύρια δέσμη η οποία είναι οριζόντια. Αυτή η άποψη έχει αποδειχθεί ιδιαίτερα πολύτιμη για τη μελέτη της ολονομίας.