Χρήστης:Themi97/πρόχειροDLH

Στον λογισμό, ο κανόνας De L'Hospital χρησιμοποιεί τις παραγώγους για να βοηθήσει να εκτιμήσετε τα όρια που περιλαμβάνουν αόριστες μορφές. Εφαρμογή (ή επαναλαμβανόμενη εφαρμογή) του κανόνα μετατρέπει συχνά μια απροσδιόριστη μορφή σε μια καθορισμένη μορφή, που επιτρέπει την εύκολη υπολογισμό του ορίου. Ο κανόνας πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Guillaume de l'Hôpital (επίσης γράφετε l'Hospital^[1]) του 17ου αιώνα, ο οποίος δημοσίευσε τον κανόνα το 1696 στο βιβλίο του Analyse des Petits Infiniment pour l'Intelligence des Lignes courbes (κυριολεκτική μετάφραση: Ανάλυση του απειροελάχιστου για την Κατανόηση των Καμπύλων), το πρώτο βιβλίο για διαφορικό λογισμό.^[2]^[3] Ωστόσο, πιστεύεται ότι ο κανόνας ανακαλύφθηκε από τον Ελβετός μαθηματικό Johann Bernoulli.^[4]

Στην απλούστερη μορφή του, κανόνας l'Hôpital αναφέρει ότι για τις λειτουργίες $f$ και $g$ , που είναι διαφορίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα $I$ , εκτός ίσως σε ένα σημείο $c$ περιέχεται στο $I$ :

Αν

\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty

, και

\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}

υπάρχει, και

g'(x)\neq 0

για κάθε

x

στο

I

με

x \neq c

,

τότε

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}

.

Η διαφοροποίηση του αριθμητή και του παρονομαστή απλοποιεί συχνά το πηλίκο και / ή το μετατρέπει σε μία καθορισμένη μορφή, επιτρέποντας το όριο να υπολογίζεται πιο εύκολα.

Το θεώρημα Stolz-Cesàro έχει ένα παρόμοιο αποτέλεσμα που περιλαμβάνουν τα όρια των ακολουθιών, αλλά χρησιμοποιεί πεπερασμένους φορείς διαφοράς και όχι τις παραγώγους.

↑ Το 17ο και 18ο αιώνα, το όνομα συνήθως γράφονται "l'Hospital", και ο ίδιος είναι γραμμένες όνομά του με αυτόν τον τρόπο. Ωστόσο, η γαλλική ορθογραφία έχει αλλάξει: το σιωπηλό «s» έχει αφαιρεθεί και αντικατασταθεί με την περισπωμένη πάνω από το προηγούμενο φωνήεν. Η πρώην ορθογραφία εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στην αγγλική γλώσσα, όπου δεν υπάρχει περισπωμένη.
↑ O'Connor, John J.· Robertson, Edmund F. «De L'Hopital biography». The MacTutor History of Mathematics archive. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. Ανακτήθηκε στις 21 Δεκεμβρίου 2008.
↑ l’Hospital, Analyse des infiniment petits... , pages 145–146: “Proposition I. Problême. Soit une ligne courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a [see Figure 130] ) telle que la valeur de l’appliquée y soit exprimée par une fraction, dont le numérateur & le dénominateur deviennent chacun zero lorsque x = a, c’est à dire lorsque le point P tombe sur le point donné B. On demande quelle doit être alors la valeur de l’appliquée BD. [Solution: ]...si l’on prend la difference du numérateur, & qu’on la divise par la difference du denominateur, apres avoir fait x = a = Ab ou AB, l’on aura la valeur cherchée de l’appliquée bd ou BD.” Μετάφραση: "Ας υπάρξει μια καμπύλη AMD (όπου AP = X, PM = y, AB = a) τέτοια ώστε η τιμή της τεταγμένης y να εκφράζεται από ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής το καθένα γίνεται μηδέν όταν x = a? Δηλαδή, όταν το σημείο P πέφτει στο συγκεκριμένο σημείο B. Ένας ρωτά τι θα πρέπει τότε να είναι η τιμή της τεταγμένης BD. [Λύση:] ... αν λάβει κανείς τη διαφορά του αριθμητή και αν κάποιος χωρίζει από τη διαφορά του παρονομαστή, αφού οριστεί x = a = Ab ή AB, μία από αυτές θα έχει την τιμή [που είχε] ζητηθεί από την συντεταγμένη bd ή BD.”
↑ Weisstein, Eric W., "L'Hospital's Rule" από το MathWorld.

[1] Το 17ο και 18ο αιώνα, το όνομα συνήθως γράφονται "l'Hospital", και ο ίδιος είναι γραμμένες όνομά του με αυτόν τον τρόπο. Ωστόσο, η γαλλική ορθογραφία έχει αλλάξει: το σιωπηλό «s» έχει αφαιρεθεί και αντικατασταθεί με την περισπωμένη πάνω από το προηγούμενο φωνήεν. Η πρώην ορθογραφία εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στην αγγλική γλώσσα, όπου δεν υπάρχει περισπωμένη.

[2] O'Connor, John J.· Robertson, Edmund F. «De L'Hopital biography». The MacTutor History of Mathematics archive. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. Ανακτήθηκε στις 21 Δεκεμβρίου 2008.

[3] ’Hospital, Analyse des infiniment petits... , pages 145–146: “Proposition I. Problême. Soit une ligne courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a [see Figure 130] ) telle que la valeur de l’appliquée y soit exprimée par une fraction, dont le numérateur & le dénominateur deviennent chacun zero lorsque x = a, c’est à dire lorsque le point P tombe sur le point donné B. On demande quelle doit être alors la valeur de l’appliquée BD. [Solution: ]...si l’on prend la difference du numérateur, & qu’on la divise par la difference du denominateur, apres avoir fait x = a = Ab ou AB, l’on aura la valeur cherchée de l’appliquée bd ou BD.” Μετάφραση: "Ας υπάρξει μια καμπύλη AMD (όπου AP = X, PM = y, AB = a) τέτοια ώστε η τιμή της τεταγμένης y να εκφράζεται από ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής το καθένα γίνεται μηδέν όταν x = a? Δηλαδή, όταν το σημείο P πέφτει στο συγκεκριμένο σημείο B. Ένας ρωτά τι θα πρέπει τότε να είναι η τιμή της τεταγμένης BD. [Λύση:] ... αν λάβει κανείς τη διαφορά του αριθμητή και αν κάποιος χωρίζει από τη διαφορά του παρονομαστή, αφού οριστεί x = a = Ab ή AB, μία από αυτές θα έχει την τιμή [που είχε] ζητηθεί από την συντεταγμένη bd ή BD.”

[4] Weisstein, Eric W., "L'Hospital's Rule" από το MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]