Χρήστης:Maria Koletsi Sampsonidou

1. Τετραγωνική Αμοιβαιότητα
   1. --Maria Koletsi Sampsonidou (συζήτηση) 21:36, 27 Μαΐου 2015 (UTC)

Άλλοι δακτύλιοι

Υπάρχουν, επίσης,νόμοι τετραγωνικής αμοιβαιότητας σε δακτυλίους, εκτός από τους ακέραιους αριθμούς.

Ακέραιοι Gaussian

Στη δεύτερη μονογραφία του για τεταρτοβάθμια αμοιβαιότητα Ο Gauss ανέφερε νόμο τετραγωνικής αμοιβαιότητας για τον δακτύλιο Z[i] του Gaussian ακέραιοι, λέγοντας ότι είναι απόρροια της του νόμου τετραγωνισμού Z[i], αλλά δεν παρείχε αποδείξεις είτε θεώρημα . Peter Gustav Lejeune Dirichlet έδειξε ότι η νομοθεσία Z[i] μπορεί να συναχθεί από το νόμο για το Z, χωρίς τη χρήση διτετράγωνης αμοιβαιότητας.

Για ένα περιττό, Gaussian πρώτο π και έναν Gaussian ακέραιο α, gcd (α, π) = 1, καθορίζουν το τετραγωνικό χαρακτήρα για 'Ζ' [ i '] από τον τύπο

${\begin{aligned}\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}&=\pm 1\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\pmod {\pi }}\\&={\begin{cases}+1{\text{ if }}\gcd(\alpha ,\pi )=1{\text{ and there is a Gaussian integer }}\eta {\text{ such that }}\alpha \equiv \eta ^{2}{\pmod {\pi }}\\-1{\text{ if }}\gcd(\alpha ,\pi )=1{\text{ and there is no such }}\eta .\end{cases}}\end{aligned}}$

Έστω λ = a + b i και μ = c + di να είναι διακριτοί Gaussian πρώτοι, όπου a και c είναι περιττοί και bκαι d είναι ακόμα. τότε

${\Bigg [}{\frac {\lambda }{\mu }}{\Bigg ]}_{2}={\Bigg [}{\frac {\mu }{\lambda }}{\Bigg ]}_{2},\;\;\;\;{\Bigg [}{\frac {i}{\lambda }}{\Bigg ]}_{2}=(-1)^{\frac {b}{2}},\;\;{\text{ and }}\;\;{\Bigg [}{\frac {1+i}{\lambda }}{\Bigg ]}_{2}={\Bigg (}{\frac {2}{a+b}}{\Bigg )},$

όπου $({\tfrac {a}{b}})$είναι το σύμβολο Jacobi για Ζ.

Eisenstein ακέραιοι

Ο δακτύλιος των Αϊνστάιν ακεραίων Ζ [ω], όπου $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi i}{3}}$ είναι μια κυβική ρίζα του 1. (Δείτε τα άρθρα σχετικά με Eisenstein ακέραιος και κυβικά αμοιβαιότητας για τους ορισμούς και συμβολισμούς).

Για Eisenstein πρώτο π, nπ ≠ 3 και ένα Eisenstein ακέραιο α, gcd (α, π) = 1, καθορίζουν το τετραγωνικό χαρακτήρα για Ζ [ω] από τον τύπο

${\begin{aligned}\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}&=\pm 1\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\pmod {\pi }}\\&={\begin{cases}+1{\text{ if }}\gcd(\alpha ,\pi )=1{\text{ and there is an Eisenstein integer }}\eta {\text{ such that }}\alpha \equiv \eta ^{2}{\pmod {\pi }}\\-1{\text{ if }}\gcd(\alpha ,\pi )=1{\text{ and there is no such }}\eta .\end{cases}}\end{aligned}}$

Έστω λ = a + b ω και μ = c + d ω να είναι διακριτοί Eisenstein πρώτοι, όπου a και c δεν είναι διαιρετοί από 3 και b και d διαιρείται με το 3.Ο Αϊνστάιν απέδειξε

$\left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}{\bigg [}{\frac {\mu }{\lambda }}{\bigg ]}_{2}=(-1)^{{\frac {\mathrm {N} \lambda -1}{2}}{\frac {\mathrm {N} \mu -1}{2}}},\;\;\;\;{\bigg [}{\frac {1-\omega }{\lambda }}{\bigg ]}_{2}={\bigg (}{\frac {a}{3}}{\bigg )},\;\;{\text{ and }}\;\;{\bigg [}{\frac {2}{\lambda }}{\bigg ]}_{2}={\bigg (}{\frac {2}{\mathrm {N} \lambda }}{\bigg )},$

όπου$({\tfrac {a}{b}})$είναι το σύμβολο Jacobi για Ζ.

Φανταστικά τετραγωνικά πεδία

Οι νόμοι Ζ [εγώ] και Ζ [ω] είναι ειδικές περιπτώσεις των πιο γενικών νόμων που ισχύουν και για τον δακτύλιο των ακεραίων σε οποιοδήποτε φανταστικό τετραγωνικό πεδίο αριθμού.

Ας είναι k ένα πεδίο φανταστικών τετραγωνικών αριθμών με δακτύλιο των ακεραίων${\mathcal {O}}_{k}.$ Για έναν πρώτο φανταστικό ${\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}$ με περιττό κανόνα $\mathrm {N} {\mathfrak {p}}$ & nbsp? και $\alpha \in {\mathcal {O}}_{k},\;\;$  define the quadratic character for ${\mathcal {O}}_{k}$ & nbsp; καθορίζει το τετραγωνικό χαρακτήρα για ${\mathcal {O}}_{k}$ από τον τύπο

${\begin{aligned}\left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right]_{2}&\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{2}}{\pmod {\mathfrak {p}}}\\&={\begin{cases}+1{\text{ if }}\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is an }}\eta \in {\mathcal {O}}_{k}{\text{ such that }}\alpha -\eta ^{2}\in {\mathfrak {p}}\\-1{\text{ if }}\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is no such }}\eta \\\;\;\;0{\text{ if }}\alpha \in {\mathfrak {p}},\end{cases}}\end{aligned}}$

για ένα αυθαίρετο φανταστικό ${\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}$ συνυπολογίζονται πρώτοι φανταστικοί ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}{\mathfrak {p}}_{2}\dots {\mathfrak {p}}_{n}$ define

${\bigg [}{\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}{\bigg ]}_{2}=\left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right]_{2}\left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{2}}}\right]_{2}\dots \left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{n}}}\right]_{2},$

και για το $\beta \in {\mathcal {O}}_{k}$ καθορίζει

${\bigg [}{\frac {\alpha }{\beta }}{\bigg ]}_{2}={\bigg [}{\frac {\alpha }{\beta {\mathcal {O}}_{k}}}{\bigg ]}_{2}.$

Άς $\left\{\omega _{1},\omega _{2}\right\}$ είναι μία ολοκλήρωμα βάση του ${\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2}.$ Για $\nu \in {\mathcal {O}}_{k}$ με τύπο περιττών Nν, καθορισμένων (κοινών) ακέραιων a, b, c, d'»από τις εξισώσεις,

${\begin{aligned}\nu \omega _{1}&=a\omega _{1}+b\omega _{2}\\\nu \omega _{2}&=c\omega _{1}+d\omega _{2}\end{aligned}}$

και καθορισμένη συνάρτηση χ(ν) όπου ν είναι ένας τύπος περιττού αριθμού με

$\chi (\nu )=i^{(b^{2}-a+2)c+(a^{2}-b+2)d+ad}.$

Αν m = Nμ και Β = Nν είναι αμφότεροι περιττοί, Herglotz απέδειξε

${\begin{aligned}\nu \omega _{1}&=a\omega _{1}+b\omega _{2}\\\nu \omega _{2}&=c\omega _{1}+d\omega _{2}\end{aligned}}$

και καθορισμένη συνάρτηση χ(ν) όπου ν είναι ένας τύπος περιττού αριθμού με

$\chi (\nu )=i^{(b^{2}-a+2)c+(a^{2}-b+2)d+ad}.$

Επίσης αν, $\mu \equiv \mu '{\pmod {4}}{\text{ and }}\nu \equiv \nu '{\pmod {4}}$

${\Bigg [}{\frac {\mu }{\nu }}{\Bigg ]}_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}={\Bigg [}{\frac {\mu '}{\nu '}}{\Bigg ]}_{2}\left[{\frac {\nu '}{\mu '}}\right]_{2}.$

Πολυώνυμα πάνω από ένα πεπερασμένο πεδίο

Ας είναι F ένα πεπερασμένο πεδίο με q = p ⁿ n </ sup> στοιχεία, όπου p είναι ένας περιττός πρώτος αριθμός και το n είναι θετικό, και ας είναι F [x] το δακτύλιος πολυωνύμων σε μια μεταβλητή με συντελεστές στο 'F '. Εάν $f,g\in \mathrm {F} [x]$ και f είναι αμείωτη, monic, και έχει θετικό βαθμό, καθορίζουν τον τετραγωνικό χαρακτήρα $({\tfrac {g}{f}})$ για f [x] κατά τον συνήθη τρόπο

$\left({\frac {g}{f}}\right)={\begin{cases}+1{\text{ if }}\gcd(f,g)=1{\text{ and there are }}h,k\in \mathrm {F} [x]{\text{ such that }}g-h^{2}=kf\\-1{\text{ if }}\gcd(f,g)=1{\text{ and }}g{\text{ is not a square }}{\pmod {f}}\\\;\;\;0{\text{ if }}\gcd(f,g)\neq 1.\end{cases}}$

Εάν $f=f_{1}f_{2}\dots f_{n}$ είναι ένα προϊόν της αμείωτης, ας είναι

$\left({\frac {g}{f}}\right)=\left({\frac {g}{f_{1}}}\right)\left({\frac {g}{f_{2}}}\right)\dots \left({\frac {g}{f_{n}}}\right).$

Dedekind απέδειξε ότι $f,g\in \mathrm {F} [x]$ είναι monic και έχουν θετικό βαθμό,

$\left({\frac {g}{f}}\right)\left({\frac {f}{g}}\right)=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}(\deg f)(\deg g)}.$

Ανώτερες δυνάμεις

Η προσπάθεια γενίκευσης της τετραγωνικής αμοιβαιότητας για υψηλότερες δυνάμεις από το δεύτερο ήταν ένας από τους κύριους στόχους που οδήγησε τους μαθηματικούς του 19ου αιώνα, συμπεριλαμβανομένων των Καρλ Φρίντριχ Γκάους, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Καρλ Γκούσταβ Jakob Jacobi Gotthold Eisenstein, Richard Dedekind, Ernst Kummer και David Hilbert με τη μελέτη των γενικών πεδίων αλγεβρικού αριθμού και τους δακτυλίους των ακεραίων αριθμών; ειδικά Kummer εφεύρει ιδανικά την κατάσταση και να απέδειξε υψηλότερους νόμους της αμοιβαιότητας. Το ένατη στην λίστα των 23 άλυτα προβλήματα, το οποίο πρότεινε ο Ντάβιντ Χίλμπερτ για το Συνέδριο των Μαθηματικών το 1900 ζήτησε την "απόδειξη της πιο γενικής νομοθεσίας περί αμοιβαιότητας [f] ή ένα αυθαίρετο πεδίων αριθμών ". Το 1923 Artin, βάσει των εκτελούμενων εργασιών από Furtwängler, Takagi, Hasse και άλλους, ανακάλυψε ένα γενικό θεώρημα για το οποίο όλοι οι γνωστοί νόμοι της αμοιβαιότητας είναι ειδικές περιπτώσεις; το απέδειξε το 1927. Οι σύνδεσμοι που ακολουθούν παρέχουν πιο λεπτομερείς συζητήσεις αυτών των θεωρημάτων.

Δείτε επίσης

• Κριτήριο του Euler
• Λήμμα Zolotarev του
• Αποδείξεις της αμοιβαιότητας τετραγωνική
• Κυβικά αμοιβαιότητας
• Quartic αμοιβαιότητας
• Eisenstein αμοιβαιότητας
• Artin της αμοιβαιότητας

== == Σημειώσεις

Παραπομπές

Η Disquisitiones Arithmeticae έχει μεταφραστεί (από τα λατινικά) στα αγγλικά και στα γερμανικά. Η γερμανική έκδοση περιλαμβάνει όλα τα έγγραφα του Gauss σε θεωρία αριθμών: όλες οι αποδείξεις της τετραγωνικής αμοιβαιότητας, ο προσδιορισμός του σημείου του αθροίσματος Gauss, οι έρευνες διτετράγωνης αμοιβαιότητας, και ανέκδοτες σημειώσεις. Υποσημειώσεις που παραπέμπουν στο Disquisitiones Arithmeticae είναι της μορφής "Gauss, DA, Τέχνης. Ν ».

• {{παραπομπή

   | Last1 = Gauss | first1 = ο Carl Friedrich    | Last2 = Clarke | first2 = Arthur Α (μεταφραστής στα αγγλικά)    | Title = Disquisitiones Arithemeticae (Δεύτερον, διορθωμένη έκδοση)    | Εκδότης = Springer    | Θέση = Νέα Υόρκη    | Χρόνος = 1986    | ISBN 0-387-96254-9 =}}

• {{παραπομπή

   | Last1 = Gauss | first1 = ο Carl Friedrich    | Last2 = Maser | first2 = Hermann (μεταφραστής στα γερμανικά)    | Title = Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae και άλλα έγγραφα σχετικά με τον θεωρία αριθμών) (δεύτερη έκδοση)    | Εκδότης = Τσέλσι    | Θέση = Νέα Υόρκη    | Χρόνος = 1965    | ISBN 0-8284-0191-8 =}} Αυτά είναι σε Gauss 's Werke, Τόμος ΙΙ, pp. 65–92 and 93–148. Γερμανική μετάφραση είναι σε pp. 511–533 και 534–586 Untersuchungen über höhere Arithmetik.

Κάθε βιβλίο για την στοιχειώδη θεωρία αριθμών (και αρκετά στο Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών) έχει μια απόδειξη της τετραγωνικής αμοιβαιότητας. Δύο είναι ιδιαίτερα αξιοσημείωτες:

Ο Franz Lemmermeyer του Αμοιβαιότητα Νόμοι: Από Euler για Eisenstein έχει πολλές αποδείξεις (μερικές ασκήσεις) των δύο νόμων τετραγωνικής αμοιβαιότητας και μεγαλύτερη ισχύ και μια συζήτηση για την ιστορία τους . Τεράστια βιβλιογραφία του περιλαμβάνει βιβλιογραφικές αναφορές για 196 διαφορετικά.Δημοσιεύονται αποδείξεις για την τετραγωνική νόμο της αμοιβαιότητας.

Ο Ιρλανδός Kenneth και Michael Rosen ' s Μια κλασική Εισαγωγή στη Σύγχρονη Θεωρία Αριθμών έχει επίσης πολλές αποδείξεις της τετραγωνική; αμοιβαιότητας (και πολλές ασκήσεις) , και καλύπτει τις τρίτου και τέταρτου βαθμού περιπτώσεις. Άσκηση 13.26 (σελ.202) τα λέει όλα

Μετρήστε τον αριθμό των αποδείξεων με το νόμο της τετραγωνικής αμοιβαιότητας που έχει δώσει μέχρι τώρα αυτό το βιβλίο και να επινοήσετε ένα άλλο

.

• {{Παραπομπή

  | Last1 = Bach | first1 = Eric   | Last2 = Shallit | first2 = Jeffrey   | Title = Αλγοριθμική Θεωρία Αριθμών (Τόμος Ι: Αποδοτικοί Αλγόριθμοι)   | Εκδότης = Ο Τύπος MIT   | Θέση = Cambridge   | Χρόνος = 1966   | ISBN 0-262-02405-5 =}}

• {{Citation

  | Τελευταία = Edwards   | Πρώτες = Harold | authorlink = Harold Edwards (μαθηματικός)   | Τίτλος = Το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά   | Εκδότης = Springer   | Θέση = Νέα Υόρκη   | Χρόνος = 1977   | ISBN 0-387-90230-9 =}}

• {{Παραπομπή

  | Last1 = Lemmermeyer | first1 = Franz   | Title = Αμοιβαιότητα Νόμοι   | Εκδότης = Springer-Verlag   | Σειρά = Springer Μονογραφίες στα Μαθηματικά   | Θέση = Βερολίνο   | Mr = 1761696   | Χρόνος = 2000   | ISBN 3-540-66957-4 =   | Doi = 10,1007 / 978-3-662-12893-0}}

• {{Παραπομπή

  | Last1 = Ιρλανδία | first1 = Κένεθ   | Last2 = Rosen | first2 = Michael   | Title = ένα κλασικό Εισαγωγή στη Σύγχρονη Θεωρία Αριθμών (δεύτερη έκδοση)   | Εκδότης = Springer   | Θέση = Νέα Υόρκη   | Χρόνος = 1990   | Isbn = 0-387-97329-X}}

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), / q076130 «Τετραγωνική νόμο της αμοιβαιότητας», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p / q076130 
• τετραγωνική αμοιβαιότητας Θεώρημα από MathWorld
• Α παιχνίδι συγκρίνοντας δύο αποδείξεις του τετραγωνικού νόμου αμοιβαιότητας
• Μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος σε PlanetMath
• Μια διαφορετική απόδειξη σε MathPages
• χρονολόγιο και βιβλιογραφία των αποδείξεων της αμοιβαιότητας τετραγωνική Νόμου ΣΤ Lemmermeyer του (233 αποδείξεις)

Κατηγορία: Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών Κατηγορία: Modular αριθμητική Κατηγορία: Θεωρία των αριθμών Κατηγορία: τετραγωνικό υπόλοιπο Κατηγορία: Θεωρήματα στη θεωρία των αριθμών