Χρήστης:Kic16087/πρόχειρο/
Ricci flow με χειρουργική επέμβαση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Το πρόγραμμα του Χάμιλτον για την απόδειξη της εικασίας του Πουανκαρέ, περιλαμβάνει αρχικά την τοποθέτηση ενός μετρικού Ρίμαν σε άγνωστη απλά συνδεδεμένη κλειστή 3-πολλαπλότητα/τρισδιάστατη πολλαπλότητα. Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε να βελτιώσουμε αυτό το μετρικό* για παράδειγμα, εάν το μετρικό μπορεί να βελτιωθεί αρκετά, έτσι ώστε να έχει σταθερή καμπυλότητα, τότε θα πρέπει να είναι η 3-σφαίρα. Το μετρικό βελτιώνεται μέσω της ακόλουθης ροής Ρίτσι εξίσωσης:
όπου g είναι το μετρικό και R η Ρίτσι καμπυλότητά του, και αναμένεται ότι καθώς ο χρόνος t αυξάνεται, η πολλαπλότητα γίνεται ευκολότερα κατανοητή. Η ροή Ρίτσι επεκτείνει το αρνητικό μέρος καμπυλότητας της πολλαπλότητας και περιορίζει το θετικό μέρος καμπυλότητας.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο Χάμιλτον ήταν σε θέση να αποδείξει ότι αυτό ισχύει: για παράδειγμα, έδειξε ότι αν η πολλαπλότητα έχει θετική καμπυλότητα Ρίτσι παντού, τότε τείνει να εξαφανίζεται σε πεπερασμένο χρόνο υπό τη ροή Ρίτσι, χωρίς οποιαδήποτε άλλη ιδιομορφία. (Με άλλα λόγια, η πολλαπλότητα καταρρεει σε ένα σημείο σε πεπερασμένο χρόνο, είναι εύκολο να περιγράψουμε τη δομή λίγο πριν την πολλαπλότητα καταρρεύσει.) Αυτό εύκολα συνεπάγεται την ισχύ της εικασίας του Πουανκαρέ σε περίπτωση θετικής Ρίτσι καμπυλότητα. Ωστόσο, σε γενικές γραμμές οι εξισώσεις ροής Ρίτσι οδηγούν σε ιδιομορφίες του μετρικού μετά από ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Ο Πέρελμαν έδειξε πώς να συνεχίσουμε πέρα από αυτές τις ιδιομορφίες: σε πολύ αδρές γραμμές, τέμνει την πολλαπλότητα κατά μήκος αυτών των ιδιομορφιών, χωρίζοντας την πολλαπλότητα σε πολλά κομμάτια, και μετά συνεχίζει με την ροή Ρίτσι σε κάθε ένα από αυτά τα κομμάτια. Αυτή η διαδικασία είναι γνωστή ως Ricci flow με χειρουργική επέμβαση.
Μια ειδική περίπτωση των θεωρημάτων του Πέρελμαν περί της ροής Ρίτσι με χειρουργική επέμβαση δίνεται ως ακολούθως.
Αυτό το αποτέλεσμα συνεπάγεται την εικασία του Πουανκαρέ, επειδή είναι εύκολο να το επαληθεύσουμε για τις δυνατές πολλαπλότητες που αναφέρονται σε αυτό το συμπέρασμα.
Η συνθήκη για τη βασική ομάδα φαίνεται να είναι αναγκαία (και ικανή) για πεπερασμένο χρόνο με εξαφάνιση, και, ειδικότερα, περιλαμβάνει την περίπτωση μηδαμινής βασικής ομάδας. Αυτό είναι ισοδύναμο με το να λέμε ότι η πρώτη διάσπαση της πολλαπλότητας δεν έχει καθόλου άκυκλες συνιστώσες, και αποδεικνύεται ότι είναι ισοδύναμη με την συνθήκη όλα τα γεωμετρικά μέρη της πολλαπλότητας να έχουν γεωμετρίες με βάση τις δύο γεωμετρίες του Θέρστον S2×R και S3. Μελετώντας το όριο της πολλαπλότητας για μεγάλο χρονικό διάστημα, ο Πέρελμαν απέδειξε την εικασία της γεωμετρικοποίησης του Θέρστον για οποιαδήποτε βασική ομάδα: σε μεγάλα διαστήματα η πολλαπλότητα έχει πυκνή-αραιά διάσπαση, της οποίας το πυκνό τμήμα έχει μία δομή υπερβολική, και της οποίας το αραιό τμήμα είναι μια γραφική πολλαπλότητα, αλλά η συγκεκριμένη επικουρική περιπλοκή δεν είναι απαραίτητη για να αποδείξουμε μόνο την εικασία του Πουανκαρέ.[1]
Μερικές φορές, μια κατά τα άλλα πολύπλοκη πράξη απλοποιείται σε πολλαπλασιασμό με ένα βαθμωτό (ένας αριθμός). Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται ιδιοτιμές της πράξης. Οι ιδιοτιμές είναι στενά συνδεδεμένες με τις συχνότητες δόνησης και χρησιμοποιούνται στην ανάλυση ενός διάσημου προβλήματος: μπορείς να ακούσεις το σχήμα ενός τυμπάνου;. Ουσιαστικά, μία ιδιοτιμή είναι σαν μία νότα παιγμένη από την πολλαπλότητα. Ο Πέρελμαν απέδειξ ότι αυτή η νότα αγγίζει υψηλότερους τόνους, καθώς η πολλαπλότητα παραμορφώνεται από τη ροή Ρίτσι. Αυτό τον βοήθησε στο να εξαλειφθούν ορισμένες από τις πιο ενοχλητικές ιδιομορφίες που είχαν απασχολήσει τον Χάμιλτον, ιδιαίτερα η λύση που αφορούσε το κυλινδρικό σολιτόνιο, στο οποίο φαινόταν σαν ένα νήμα να εξέχει της πολλαπλότητας δίχως τίποτε από την άλλη πλευρά. Στην ουσία, ο Πέρελμαν έδειξε ότι όλα τα σκέλη αυτά μπορούν να κοπούν και να καλυφθούν και κανένα να μην προεξέχει σε μια πλευρά μόνο.
Ολοκληρώνοντας τη απόδειξη, ο Πέρελμαν λαμβάνει κάθε συμπαγή, απλά συνδεδεμένη, τρισδιάστατη πολλαπλότητα χωρίς όριο και αρχίζει να εφαρμόζει τη ροή Ρίτσι σε αυτή. Αυτό παραμορφώνει την πολλαπλότητα σε κυκλικά κομμάτια με νήματα δράμοντα μεταξύ τους. Τέμνει τα νήματα και συνεχίζει παραμορφώνοντας την πολλαπλότητα μέχρι που τελικά του απομένει μια συλλογή από στρογγυλές τρισδιάστατες σφαίρες. Τότε αναδομεί την αρχική πολλαπλότητα συνδέοντας τις σφαίρες μαζί με τρισδιάστατους κυλίνδρους, τις μεταμορφώνει σε ένα στρογγυλό σχήμα και βλέπει ότι, παρά την αρχική σύγχυση, η πολλαπλότητα ήταν στην πραγματικότητα ομοιομορφική σε μια σφαίρα.
Ένα άμεσο ερώτημα ήταν πώς μπορεί κανείς να είναι σίγουρος ότι δεν υπάρχουν άπειρες το πλήθος αναγκαίες περικοπές; Διαφορετικά, η κοπή μπορεί να συνεχίζεται επ' άπειρον. Ο Πέρελμαν απέδειξε ότι αυτό δεν μπορεί να συμβαίνει, με τη χρήση ελάχιστων επιφανειών στην πολλαπλότητα. Η ελάχιστη επιφάνεια είναι κατ' ουσίαν μία ταινία σαπουνιού. Ο Χάμιλτον είχε δείξει ότι το εμβαδόν της ελάχιστης επιφάνειας μειώνεται καθώς η πολλαπλότητα υποβάλλεται ροή Ρίτσι. Ο Πέρελμαν επαλήθευσε αυτό που συμβαίνει στο εμβαδόν της ελάχιστης επιφάνειας όταν η πολλαπλότητα είναι κομμένη σε φέτες. Απέδειξε ότι, εν τέλει,το εμβαδόν είναι τόσο μικρό ώστε οποιοδήποτε κόψιμο πέρα από αυτό το εμβαδόν είναι τόσο μικρό που μπορεί να κοπεί μόνο σε τρισδιάστατες σφαίρες και όχι σε πιο περίπλοκα κομμάτια. Αυτό περιγράφεται ως μια μάχη με μια λερναία Ύδρα από την Σορμάνι στο βιβλίο του Σπίρο το οποίο αναφέρεται παρακάτω. Αυτό το τελευταίο μέρος της απόδειξης παρουσιάστηκε στην τρίτη και τελευταία εργασία του Πέρελμαν σχετικά με το θέμα.
Το σχήμα του σύμπαντος μέσα από τη εικασία του Πουανκαρέ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Το σύμπαν Φρήντμαν-Λεμέτρ-Ρόμπερτσον-Γουόκερ αντιστοιχεί σε μια χρονικώς εξελισσόμενη ακτίνα του χώρου S3. Υποστηρίζει ότι αν αυτό το σύμπαν τροποποιείται σε M3, στο τέλος η επιτάχυνση μπορεί να παράγει μια μετάπτωση φάσης μετατρέποντας τη M3 σε ένα χώρο σταθερής καμπυλότητας που αντιστοιχεί ακριβώς σε μία φάση ντε Σίτερ σχετική με τον S3. Μια άλλη άποψη είναι ότι από την Είκασία της γεωμετρικοποίησης (μια γενίκευση της εικασίας του Πουανκαρέ) απαιτεί να κατανοήσει όλες τις τοπικά ομοιογενείς γεωμετρίες σε κλειστές τρισδιάστατες πολλαπλότητες, χρησιμοποιώντας ροή Ρίτσι μπορεί κανείς να θεωρήσει ότι η ταξινόμηση Μπιάνκι χρησιμοποιείται για τη μελέτη κοσμολογικών μοντέλων. Αυτό που μπορεί κανείς να προσθέσει σε αυτό το σενάριο είναι ότι μια τέτοια μετάβαση μπορεί να απαιτήσει μια συστροφή, προκειμένου να γίνει ο S3 (ή άλλα κοσμολογικά μοντέλα Μπιάνκι) παραλληλίσιμα.[2]
References[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- ↑ Terence Tao wrote an exposition of Ricci flow with surgery in: Tao, Terence (2006). «Perelman's proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective». arXiv:math.DG/0610903 [math.DG].
- ↑ http://arxiv.org/pdf/1303.2673.pdf DIVISION-ALGEBRAS/POINCARE-COJECTURE CORRESPONDENCE
[[Κατηγορία:Γεωμετρική τοπολογία]]