Χρήστης:Froso1/Πρόχειρο

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο δεσμός εφαπτομένης με τη σφαίρα Riemann[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ας υποθέσουμε τη σφαίρα CP¹ είναι το ολοκλήρωμα Riemann σφαίρα: 1-διαστάσεων, συγκρότημα προβολικό χώρο. Ας υποθέσουμε ότι z είναι ένα holomorphic τοπικό συντονισμό για το ολοκλήρωμα Riemann σφαίρα. Αφήστε V = TCP¹ είναι η δέσμη συγκρότημα εφαπτομένη φορείς με τη μορφή ενός∂/∂z σε κάθε σημείο, όπου a είναι ένας μιγαδικός αριθμός. Θα αποδείξουμε το συγκρότημα έκδοση του τριχωτή μπάλα θεώρημα: V έχει το τμήμα που είναι παντού μηδέν.

Chern αριθμοί [Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν δουλεύουμε σε πολλαπλή διάσταση 2n , τότε κάθε γινόμενο των κατηγοριών Chern του συνόλου 2n βαθμού μπορεί να συνδυαστεί με τον ταξικό προσανατολισμό ( ή " ολοκληρωμένο πάνω στην πολλαπλότητα » ) για να δώσει έναν ακέραιο , έναν αριθμό Chern της δέσμης φορέα . Για παράδειγμα , αν ο συλλέκτης έχει διάσταση 6 , υπάρχουν τρείς γραμμικά ανεξάρτητοι Chern αριθμοί , που δίνονται από c₁³, c₁, c₂, c₃. Γενικά, αν ο συλλέκτης έχει διάσταση 2n , ο αριθμός των πιθανών ανεξάρτητων Chern αριθμών είναι ο αριθμός της διαμέρισης του n.

Οι αριθμοί Chern της δέσμης -εφαπτομένης ενός πολλαπλού συμπλόκου ( ή σχεδόν σύμπλεγμα) ονομάζονται Chern αριθμοί, και είναι σημαντικά σταθεροί.

Η Chern τάξη σε γενικευμένη συνομολογική θεωρία.[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχει μια γενίκευση της θεωρίας των τάξεων Chern , όπου οι συνήθεις cohomology αντικαθίσταται με μια γενικευμένη θεωρία cohomology . Οι θεωρίες για τις οποίες είναι δυνατή μια τέτοια γενίκευση ονομάζεται σύνθετη προσανατολίσιμου . Οι τυπικές ιδιότητες των Chern τάξεων παραμένουν οι ίδιες , με μια κρίσιμη διαφορά : ο κανόνας που υπολογίζει την πρώτη τάξη Chern ενός γινομένου τανυστή των δεσμών γραμμών όσον αφορά την πρώτη τάξη των Chern των παραγόντων δεν είναι κοινή άθροιση , αλλά μάλλον μια κύρια δυναμοσειρά

Η Chern κλάση στην αλγεβρική γεωμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην Αλγεβρική γεωμετρία υπάρχει μια παρόμοια θεωρία των τάξεων Chern δεσμίδων φορέων . Υπάρχουν διάφορες παραλλαγές ανάλογα με το που αναφέρονται οι τάξεις Chern:

Για πολύπλοκες ποικιλίες οι κατηγορίες Chern μπορoύν να πάρουν τιμές ομολογικές , όπως παραπάνω .
Για τις ποικιλίες πάνω από τους γενικούς τομείς , οι τάξεις Chern μπορούν να πάρουν τιμές σε θεωρίες cohomology όπως Etale ομολογία ή l - adic ομολογία.
Για τις ποικιλίες V πάνω σε γενικά πεδία οι τάξεις Chern μπορούν επίσης να λάβουν τιμές σε ομομορφικές ομάδες Chow CH ( V): για παράδειγμα , η πρώτη κατηγορία Chern μιας δέσμης γραμμής πάνω από μια ποικιλία V είναι ομομορφισμός από CH ( V) προς CH (V ) με μείωση μοιρών κατά 1. Αυτό αντιστοιχεί στο γεγονός ότι οι Chern ομάδες είναι ένα είδος ανάλογο των ομάδων cohomology , και τα στοιχεία των ομάδων cohomology μπορεί να θεωρηθούν ως ομομορφικές ομάδες ομολογίας χρησιμοποιώντας το γινόμενο.

Chern τάξεις σε πολλαπλές δομές [Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η θεωρία των τάξεων του Chern δημιουργεί σταθερές cobordism* για σχεδόν πολύπλοκες τάξεις .

Εάν Μ είναι ένας σχεδόν πολύπλοκος συλλέκτης , τότε η δέσμη εφαπτομένης της είναι μια πολύπλοκη δέσμη φορέα. Οι κατηγορίες Chern του M έτσι ορίζεται η τάξη της δέσμης εφαπτομένης. Αν Μ είναι επίσης συμπαγής και της διάστασης 2d , τότε κάθε μονώνυμος των συνολικών 2d βαθμών των τάξεων Chern μπορεί να συνδυαστεί με τη βασική κατηγορία Μ , δίνοντας έναν ακέραιο αριθμό , έναν Chern αριθμός M. Αν Μ ' είναι ένας σύνθετος πολλαπλός συλλέκτης ίδιας διάστασης , τότε είναι cobordant* σε Μ αν και μόνο αν οι αριθμοί Chern του Μ ' συμπίπτουν με αυτές του Μ.

Η θεωρία επεκτείνεται και σε πραγματικές δέσμες συμπλεκτικού φορέα, με τη διαμεσολάβηση των συμβατών σχεδόν πολύπλοκων δομών . Ειδικότερα , συμπλεκτικΠολλαπλότητες έχουν μια καλά καθορισμένη Chern τάξη .

Οι Chern κατηγορίες σε αριθμητικά συστήματα και Diophantine εξισώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

(See Arakelov geometry)

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Pontryagin class
Stiefel–Whitney class
Euler class
Segre class

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Chern, S. S. (1946), «Characteristic classes of Hermitian Manifolds», Annals of Mathematics. Second Series (The Annals of Mathematics, Vol. 47, No. 1) 47 (1): 85–121, doi:10.2307/1969037, ISSN 0003-486X
Grothendieck, Alexander (1958), «La théorie des classes de Chern», Bulletin de la Société Mathématique de France 86: 137–154, ISSN 0037-9484, http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1958__86__137_0
Jost, Jürgen (2005), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (4th έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-25907-7 (Provides a very short, introductory review of Chern classes).
J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, 1999.
Milnor, John Willard; Stasheff, James D. (1974), Characteristic classes, Annals of Mathematics Studies, 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9
Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3

Εξωτερικές συνδέσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Vector Bundles & K-Θεωρία – Ένα βιβλίο που μπορείς να κατεβάσεις σε εξέλιξη από Allen Χάτσερ. Περιέχει ένα κεφάλαιο σχετικά με χαρακτηριστικές τάξεις.
Dieter Kotschick, Chern numbers of algebraic varieties