Χρήστης:Elli Mour/πρόχειρο

Ο πολλαπλασιασμός και η κυκλική μετάθεση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο άρθρο: κυκλική μετάθεση του ακεραίου Η κυκλική συμπεριφορά των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών σε πολλαπλασιασμό οδηγεί επίσης στην κατασκευή των ακεραίων που είναι κυκλικά Μετατεθειμένο όταν πολλαπλασιάζεται με συγκεκριμένους αριθμούς. Για παράδειγμα, 102564 x 4 = 410256. Σημειώνεται ότι 102.564 είναι η repetend της 4/39 και 410.256 το repetend της 16/39.

Άλλες ιδιότητες των μηκών repetend[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι διάφορες ιδιότητες των μηκών repetend (περιόδους) δίνεται από τον Μίτσελ [7] και τον Dickson. [8] Η περίοδος 1 / k για k ακέραιος είναι πάντα ≤ k - 1. Αν p είναι πρώτος, το χρονικό διάστημα από 1 / p διαιρεί ομοιόμορφα σε p - 1. Αν k είναι σύνθετο, το διάστημα 1 / k είναι αυστηρά μικρότερο από k - 1. Η περίοδος του c / k, για το c coprime έως k, ισούται με την περίοδο 1 / k. Αν k =2^{a}5^{b}n όταν n> 1 και το n δεν είναι διαιρετό από το 2 ή το 5, τότε το μήκος της παροδικής του 1/k είναι max (a, b), και οι ισούται με περίοδος r, όπου r είναι ο μικρότερος ακέραιος τέτοιος ώστε 10^r\equiv1\pmodn. Αν p, p ', σ ", ... είναι διαφορετικοί πρώτοι, τότε η περίοδος 1/(pp'p" ...) ισούται με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των περιόδων 1/p, 1/σ, 1/σ ",.... Αν k και k' δεν έχουν κοινούς τους πρώτους παράγοντες, εκτός από το 2 ή/και το 5, τότε, η περίοδος της 1/kk' ισούται με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των περιόδων 1/k και1/k'. για έναν πρώτο p, αν period(1/p)=period(1/p^2)=...=period(1/p^m) αλλά period(1/p^m)=/period(1/p^m+1)τότε για c>=0 έχουμε period(1/p^m+c)=(p^c) * period(1/p) Εάν το p είναι ένας κατάλληλος πρώτος που καταλήγει σε 1-δηλαδή, εάν ο repetend του 1 / p είναι ένας κυκλικός αριθμός μήκους p - 1 και ρ = 10h + 1 για κάποιο h - τότε κάθε ψηφίο 0, 1, ..., 9 εμφανίζεται στην repetend ακριβώς h =(p-1)/10 φορές.

Για ορισμένες άλλες ιδιότητες της repetends, βλέπε επίσης. [9]

Επέκταση σε άλλες βάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Διάφορα χαρακτηριστικά των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών επεκτείνει την εκπροσώπηση των αριθμών σε όλες τις άλλες βάσεις ακεραίων, όχι μόνο με βάση το 10:

Κάθε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συστατικό ακεραίου που ακολουθείται από ένα σημείο radix (η γενίκευση της υποδιαστολής στα συστήματα μη-ψηφία) που ακολουθείται από ένα πεπερασμένο ή άπειρο αριθμό ψηφίων.
Ένας ρητός αριθμός έχει μια σειρά τερματισμού μετά το σημείο radix αν όλοι οι πρώτοι παράγοντες του παρονομαστή είναι σε πλήρως μειωμένη κλασματική μορφή και είναι επίσης παράγοντες της βάσης. Αυτή η αναπαράσταση τερματισμού είναι ισοδύναμη με μια παράσταση με μια επαναλαμβανόμενη ακολουθία που μπορεί να κατασκευαστεί από τη μορφή τερματισμού μειώνοντας το τελευταίο ψηφίο από 1 και προσαρτώντας μια άπειρη αλληλουχία ενός ψηφίου που αντιπροσωπεύει έναν αριθμό που είναι ένα λιγότερο από τη βάση.
Ένας ρητός αριθμός έχει απείρως επαναλαμβανόμενη ακολουθία πεπερασμένου μήκους μικρότερη από την αξία του πλήρως μειωμένου παρονομαστή του κλάσματος εάν ο παρονομαστής του κλάσματος μειώνεται περιέχει έναν πρώτο παράγοντα που δεν είναι ένας παράγοντας της βάσης. Η επαναλαμβανόμενη ακολουθία προηγείται μετά το σημείο radix από μία παροδική πεπερασμένου μήκους αν το μειωμένο κλάσμα συμμερίζεται επίσης έναν πρώτο παράγοντα με τη βάση.
Ένας άρρητος αριθμός έχει μια αναπαράσταση του άπειρου μήκους που ποτέ δεν επαναλαμβάνεται.

Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Επαναλαμβάνοντας δεκαδικά ψηφία (που ονομάζονται επίσης δεκαδικές ακολουθίες) έχουν βρει κρυπτογραφήσεις και διορθώσεις σφαλμάτων κωδικοποίησης εφαρμογών.[10] Στις εφαρμογές αυτές επαναλαμβάνονται δεκαδικοί στην βάση 2 τα οποία χρησιμοποιούνται γενικά όπου δίνεται αφορμή για δυαδικές ακολουθίες. Το μέγιστο μήκος δυαδικής ακολουθίας για 1/p (όταν 2 είναι μια πρωτόγονη ρίζα του p) δίνεται από: [11] α(i)=(2^i)*modp*mod2 Αυτές οι αλληλουχίες της περιόδου ρ-1 έχουν μια συνάρτηση αυτοσυσχέτισης που έχει μια αρνητική κορυφή -1 για μετατόπιση του (ρ-1)/2. Η τυχαιότητα των σειρών αυτών έχει εξεταστεί από τις αδιάλλακτες δοκιμές. [12]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Courant, R. and Robbins, H. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1996: p. 67 .
Beswick, Kim (2004), "Why Does 0.999... = 1?: A Perennial Question and Number Sense", Australian Mathematics Teacher 60 (4): 7–9
Gray, Alexander J., "Digital roots and reciprocals of primes," Mathematical Gazette 84.09, March 2000, 86.
Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers, Volume 1, Chelsea Publishing Co., 1952.
William E. Heal Some Properties of Repetends Annals of Mathematics, Vol. 3, No. 4 (Aug., 1887), pp. 97-103
Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, p 79
Mitchell, Douglas W., "A nonlinear random number generator with known, long cycle length," Cryptologia 17, January 1993, 55–62.
Dickson, Leonard E., History of the Theory of Numbers, Vol. I, Chelsea Publ. Co., 1952 (orig. 1918), 164–173.
Armstrong, N. J., and Armstrong, R. J., "Some properties of repetends," Mathematical Gazette 87, November 2003, 437–443.
Kak, Subhash, Chatterjee, A. "On decimal sequences." IEEE Transactions on Information Theory, vol. IT-27, pp. 647-652, September 1981.
Kak, Subhash, "Encryption and error-correction using d-sequences." IEEE Trans. On Computers, vol. C-34, pp. 803-809, 1985.
Bellamy, J. "Randomness of D sequences via diehard testing." 2013. arXiv:1312.3618