Φάσμα Μάρκοφ

Στα μαθηματικά, το Φάσμα Μάρκοφ επινοήθηκε από τον Αντρέι Μάρκοφ, είναι ένα περίπλοκο σύνολο πραγματικών αριθμών που προκύπτουν στη θεωρία της διοφαντικής προσέγγισης, και περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από τη σταθερά του Φράιμαν.

Περιεχόμενο

Αρχίζοντας από το θεώρημα του Χούρβιτς στη διοφαντική προσέγγιση, ότι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός $\xi$ έχει μια αλληλουχία ορθολογικών προσεγγίσεων m/n με την τάση

$\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}$

είναι δυνατόν να ζητηθεί η κάθε τιμή 1/c όπου 1/c ≥ √5 με την ύπαρξη κάποιου $\xi$ για τον οποίο ισχύει

$\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {c}{n^{2}}}$

ως μια ακολουθία, για την οποία το c είναι η καλύτερη δυνατή (μέγιστη) τιμή. Παρόμοια 1/c συνθέτουν το φάσμα του Λαγκράνζ, ένα σύνολο πραγματικών αριθμών με τιμή τουλάχιστον √5 (η οποία είναι η μικρότερη τιμή του φάσματος). Ο υπολογισμός είναι δύσκολος, αλλά παρατηρώντας το σύνολο των c βλέπουμε ότι μπορεί να οριστεί ένα όριο ακολουθίας. Για το οποίο, θεωρούμε

$\liminf _{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|$

όπου το m, σε συνάρτηση με το n, επιλέγεται ως ένας ακέραιος τέτοιος ώστε να κάνει τη διαφορά ελάχιστη. Αυτή είναι μια συνάρτηση του $\xi$, όπου το αντίστροφο του φάσματος Λαγκράνζ είναι το εύρος των τιμών που παίρνει σε άρρητους αριθμούς.

Το αρχικό μέρος του φάσματος Λαγκράνζ, δηλαδή το μέρος που βρίσκεται στο διάστημα [√5, 3), συνδέεται με κάποιες δυαδικές τετραγωνικές μορφές που είναι αόριστες (έτσι παράγεται εντός δύο πραγματικών γραμμικών μορφών). Οι πρώτες τιμές είναι √5, √8, √221/5, √1517/13, ... . Το φάσμα Μάρκοφ ασχολείται άμεσα με τα φαινόμενα που συνδέονται με αυτές τις τετραγωνικές μορφές.

Σταθερά του Φράιμαν είναι το όνομα που δίνεται στο τέλος του τελευταίου διακένου στο φάσμα Λαγκράνζ, δηλαδή:

$F={\frac {2\,221\,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4.5278295661\dots .$

Οι πραγματικοί αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το F είναι επίσης μέλη του φάσματος Μάρκοφ.

Περαιτέρω ανάγνωση

• Αριθμός Μάρκοφ
• Αριθμός Λαγκράνζ
• Φάσμα Λαγκράνζ

Βιβλιογραφία

• Cassels, J. W. S. (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45. Cambridge University Press. Zbl 0077.04801. 
• Conway, John H.· Guy, Richard K. (1995). The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag. σελίδες 188–189. ISBN 0-3879-7993-X. 
• Cusick, Thomas· Flahive, Mari (1989). The Markoff and Lagrange spectra. Math. Surveys and Monographs. 30. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023. 

Εξωτερικοί συνδέσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Markov spectrum problem», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=m/m062540