Υπερβολικό ημίτονο

Στα μαθηματικά, το υπερβολικό ημίτονο είναι μία συνάρτηση που ορίζεται ως

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$,

όπου $e^{x}$ είναι η εκθετική συνάρτηση.

Όπως το ημίτονο και το συνημίτονο παραμετροποιούν τον κύκλο, έτσι και το υπερβολικό ημίτονο και συνημίτονο παραμετροποιούν μία υπερβολή.

Ισοδύναμοι ορισμοί

(Δυναμοσειρά) Το υπερβολικό ημίτονο μπορεί να οριστεί ως η δυναμοσειρά

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$.

(Διαφορική εξίσωση) Το υπερβολικό ημίτονο μπορεί να οριστεί επίσης ως δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση που ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση

$f(x)=f''(x)$,

με αρχικές τιμές $f(0)=0$ και $f'(0)=1$.

(Ημίτονο) Το υπερβολικό ημίτονο μπορεί επίσης να οριστεί μέσω του μιγαδικού ημιτόνου, ως

$\sinh(x)=-i\sin(ix)$,

όπου $i$ η φανταστική μονάδα.

Απόδειξη ισοδυναμίας ορισμών  

(Εκθ $\Leftrightarrow$ Δυν)  

Αυτό προκύπτει άμεσα από τις δυναμοσειρές για την εκθετική συνάρτηση. Για την ακρίβεια,

$e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots$,

και

$e^{-x}=1-{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots$.

Αφαιρώντας αυτές τις δύο λαμβάνουμε, απαλοίφονται οι όροι με άρτιες δυνάμεις και διαιρώντας δια δύο λαμβάνουμε την ζητούμενο.

(Εκθ $\Leftrightarrow$ Ημ)  

Το ημίτονο μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της εκθετικής συνάρτησης ως

${\frac {1}{2i}}(e^{ix}-e^{-ix})$.

Επομένως,

$-i\sin(ix)=-i\cdot {\frac {1}{2i}}(e^{i(ix)}-e^{-i(ix)})=-{\frac {1}{2}}(e^{-x}-e^{x})=\sinh(x)$.

Ιδιότητες

Βασικές

• (Περιττή συνάρτηση) Για κάθε $x\in \mathbb {C}$,

$\sinh(-x)=-\sinh(x)$.

• (Ημίτονο αθροίσματος) Για κάθε $x,y\in \mathbb {C}$, ισχύει ότι

$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$,

$\sinh(x-y)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y$.

• (Άθροισμα ημιτόνων) Για κάθε $x,y\in \mathbb {C}$, ισχύει ότι

$\sinh x+\sinh y=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\sinh x-\sinh y=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

• (Γινόμενο ημιτόνων) Για κάθε $x,y\in \mathbb {C}$, ισχύει ότι

$\sinh x\,\sinh y={\tfrac {1}{2}}\left(\cosh(x+y)-\cosh(x-y)\right)$.

• (Πυθαγόρεια ταυτότητα) Για κάθε $x\in \mathbb {C}$, ισχύει ότι

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$.

• (Ταυτότητα του Όιλερ) Για κάθε $x\in \mathbb {C}$

${\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}.\end{aligned}}$

• (Ασύμπτωτες) Η συνάρτηση έχει ασύμπτωτη την ${\textstyle {\frac {1}{2}}e^{x}}$ καθώς $x\to +\infty$ και την ${\textstyle -{\frac {1}{2}}e^{-x}}$ καθώς $x\to -\infty$.

Απόδειξη  

Αυτές προκύπτουν από τον ορισμό μέσω της εκθετικής συνάρτησης και τα όρια

$\lim _{x\to +\infty }e^{-x}=0$

και

$\lim {x\to -\infty }e^{x}=0$.

Ως πραγματική συνάρτηση

Υπερβολικό ημίτονο

Ιδιότητες
συμβολισμός	$\sinh x$
πεδίο ορισμού	$\mathbb {R}$
σύνολο τιμών	$\mathbb {R}$
μονοτονία	γνησίως αύξουσα
ακρότατα	δεν έχει
συμμετρία	περιττή
συνέχεια	$\mathbb {R}$
κυρτότητα	κοίλη στο $(-\infty ,0]$ κυρτή στο $[0,+\infty )$
παράγωγος	$\cosh x$
ολοκλήρωμα	$\cosh x$
ρίζες	$x=0$
Σχετικές συναρτήσεις
αντίστροφη	$\operatorname {arcsinh} x$

• (Πεδίο ορισμού) Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb {R}$.
• (Σύνολο τιμών) Το σύνολο τιμών είναι το σύνολο των πραγματικών $\mathbb {R}$.

Απόδειξη  

Από τα όρια της εκθετικής συνάρτησης έχουμε ότι

$\lim _{x\to +\infty }\sinh x=\infty$

και

$\lim _{x\to -\infty }\sinh x=-\infty$.

Η συνάρτηση είναι συνεχής, επομένως από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών λαμβάνει όλες τις πραγματικές τιμές.

• (Συνέχεια) Η συνάρτησης είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.

Απόδειξη  

Προκύπτει καθώς η εκθετική συνάρτηση είναι συνεχής και από την ιδιότητα των συνεχών συναρτήσεων ότι ο γραμμμικός τους συνδυασμός έιναι συνεχής.

• (Παράγωγος) Το ημίτονο είναι παραγωγίσιμο σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της και η παράγωγος είναι ίση με

$(\sinh )'(x)=\cosh x$.

Απόδειξη  

Από την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης έχουμε ότι

$(\sinh )'(x)=\left({\frac {1}{2}}(e^{x}-e^{-x})\right)'={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x})=\cosh x$.

• (Ανώτερη παράγωγος) Το ημίτονο είναι $\kappa \in \mathbb {N} _{+}$ φορές παραγωγίσιμο και

${\begin{aligned}(\sinh )^{(\kappa )}(x)&={\begin{cases}\sinh x&{\text{αν }}\kappa {\text{ άρτιος}},\\\cosh x&{\text{αν }}\kappa {\text{ περιττός}}.\end{cases}}\end{aligned}}$

• (Ολοκλήρωμα)

$\int \sinh(x)=\cosh(x)+C$.

• (Μονοτονία) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Απόδειξη  

Η παράγωγος είναι ίση με

$\cosh x\geq 0$

για κάθε $x\in \mathbb {R}$.

• (Ρίζες) Έχει μοναδική ρίζα στο $x=0$.

Απόδειξη  

Για $x=0$, έχουμε ότι

$\sinh(0)={\frac {1}{2}}(e^{0}-e^{-0})=0$.

Αφού είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα αυτή είναι μοναδική.

• (Κυρτότητα) Η συνάρτηση είναι κοίλη για $x\in (-\infty ,0]$ και κυρτή για $x\in [0,\infty )$.

Απόδειξη  

Η δεύτερη παράγωγος είναι ίση με τον εαυτό της. Επομένως, $\sinh(x)\leq 0$ για $x\in (-\infty ,0]$ (και η συνάρτηση είναι κοίλη) και $\sinh(x)\geq 0$ για $x\in [0,+\infty )$ (και η συνάρτηση είναι κυρτή).

Αντίστροφη συνάρτηση

Αντίστροφη υπερβολικού ημιτόνου

Ιδιότητες
συμβολισμός	$\sinh ^{-1}x$ ή $\operatorname {arcsinh} x$
πεδίο ορισμού	$\mathbb {R}$
σύνολο τιμών	$\mathbb {R}$
μονοτονία	γνησίως αύξουσα
ακρότατα	δεν έχει
συμμετρία	περιττή
συνέχεια	$\mathbb {R}$
κυρτότητα	κυρτή στο $(-\infty ,0]$ κοίλη στο $[0,+\infty )$
παράγωγος	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$
ολοκλήρωμα	$x\operatorname {arcsinh} (x)-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$
ρίζες	$x=0$
Σχετικές συναρτήσεις
αντίστροφη	$\sinh x$

Η αντίστροφη του υπερβολικού ημιτόνου είναι η

$\sinh ^{-1}(x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$.

Η συνάρτηση συμβολίζεται επίσης ως $\operatorname {arcsinh} x$.

Απόδειξη  

Θέτοντας $w=e^{x}$ έχουμε ότι

$2y=w-w^{-1}$

ή ισοδύναμα

$w^{2}-2yw-1=0$.

Λύνοντας το τριώνυμο λαμβάνουμε

$w_{1,2}={\frac {1}{2}}(2y\pm {\sqrt {4y^{2}+4}})=y\pm {\sqrt {y^{2}+1}}$.

Καθώς $w=e^{x}\geq 0$ έχουμε ότι

$x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$.

Οι ιδιότητές της προκύπτουν από τις σχέσεις μεταξύ αρχικής και αντίστροφης συνάρτησης.

• (Παράγωγος) Η παράγωγος είναι ίση με

$(\operatorname {arcsinh} )'(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$.

Απόδειξη  

Από την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης, έχουμε ότι

${\begin{aligned}(\operatorname {arcsinh} )'(x)&={\frac {1}{(\sinh )'(\operatorname {arcsinh} x)}}\\&={\frac {1}{\cosh(\operatorname {arcsinh} x)}}.\end{aligned}}$.

Από την ιδιότητα

$\cosh ^{2}y-\sinh ^{2}y=1$

για $y=\operatorname {arcsinh} x$, έχουμε

$\cosh(\operatorname {arcsinh} x)={\sqrt {x^{2}+1}}$.

• (Ολοκλήρωμα) Το ολοκλήρωμα είναι ίσο με

$\int \operatorname {arcsinh} (t)\,dt=x\operatorname {arcsinh} (x)-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$.

Απόδειξη  

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsinh} t\,dt&=x\operatorname {arcsinh} x-\int {\frac {t}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt\\&=x\arcsin x+\int -{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt\\&=x\arcsin x-{\sqrt {x^{2}+1}}.\end{aligned}}$

Δείτε επίσης

• Υπερβολικό συνημίτονο
• Ημίτονο
• Εκθετική συνάρτηση