Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Στα μαθηματικά , η ταυτότητα Σοφί Ζερμαίν αναφέρεται στην παραγοντοποίηση του πολυωνύμου [1]
x
4
+
y
4
=
(
(
x
+
y
)
2
+
y
2
)
⋅
(
(
x
−
y
)
2
+
y
2
)
=
(
x
2
+
2
x
y
+
2
y
2
)
⋅
(
x
2
−
2
x
y
+
2
y
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+y^{4}&=((x+y)^{2}+y^{2})\cdot ((x-y)^{2}+y^{2})\\&=(x^{2}+2xy+2y^{2})\cdot (x^{2}-2xy+2y^{2}).\end{aligned}}}
Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από την Σοφί Ζερμαίν .
Η απόδειξη ξεκινάει συμπληρώνοντας το τετράγωνο
x
4
+
4
y
4
=
x
4
+
4
y
4
+
4
x
2
y
2
−
4
x
2
y
2
=
(
x
2
+
2
y
2
)
2
−
4
x
2
y
2
=
(
x
2
+
2
y
2
)
2
−
(
2
x
y
)
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&=x^{4}+4y^{4}+4x^{2}y^{2}-4x^{2}y^{2}\\&=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}\\&=(x^{2}+2y^{2})^{2}-(2xy)^{2},\end{aligned}}}
έπειτα συνεχίζει χρησιμοποιώντας την διαφορά τετραγώνων
x
4
+
4
y
4
=
(
x
2
+
2
y
2
−
2
x
y
)
⋅
(
x
2
+
2
y
2
+
2
x
y
)
,
{\displaystyle {\phantom {x^{4}+4y^{4}}}=(x^{2}+2y^{2}-2xy)\cdot (x^{2}+2y^{2}+2xy),}
το οποίο είναι επίσης ίσο με
x
4
+
4
y
4
=
(
(
x
−
y
)
2
+
y
2
)
⋅
(
(
x
+
y
)
2
+
y
2
)
.
{\displaystyle {\phantom {x^{4}+4y^{4}}}=((x-y)^{2}+y^{2})\cdot ((x+y)^{2}+y^{2}).}
Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.
