Ταυτότητα Κασίνι

Στα μαθηματικά, η ταυτότητα Κασίνι λέει ότι για τον $n$-οστό αριθμό Φιμπονάτσι $F_{n}$ ισχύει ότι

$F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$.

Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Τζοβάνι Ντομένικο Κασίνι.

Παραδείγματα

Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε την ταυτότητα για τους πρώτους αριθμούς Φιμπονάτσι:

• Για $n=1$, $F_{0}\cdot F_{2}-F_{1}^{2}=0\cdot 1-1^{2}=-1=(-1)^{1}$.
• Για $n=2$, $F_{1}\cdot F_{3}-F_{2}^{2}=1\cdot 2-1^{2}=+1=(-1)^{2}$.
• Για $n=3$, $F_{2}\cdot F_{4}-F_{3}^{2}=1\cdot 3-2^{2}=-1=(-1)^{3}$.
• Για $n=4$, $F_{3}\cdot F_{5}-F_{4}^{2}=2\cdot 5-3^{2}=+1=(-1)^{4}$.
• Για $n=5$, $F_{4}\cdot F_{6}-F_{5}^{2}=3\cdot 8-5^{2}=-1=(-1)^{5}$.

Αποδείξεις

Με χρήση πινάκων

Για κάθε $n\in \mathbb {N} _{+}$ οι αριθμοί Φιμπονάτσι ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα πινάκων:

${\begin{bmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}.$

Παίρνοντας την ορίζουσα και στα δύο μέλη, από τις ιδιότητες της ορίζουσας έχουμε ότι

$\operatorname {det} {\begin{bmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{bmatrix}}=\operatorname {det} {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}=\left(\operatorname {det} {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}\right)^{n}=(-1)^{n}.$

Επομένως,

$F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$.

Με μαθηματική επαγωγή

Θα χρησιμοποιήσουμε την μαθηματική επαγωγή για να αποδείξουμε ότι:

$F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$.

Βάση: Για $n=1$, έχουμε ότι

$F_{0}\cdot F_{2}-F_{1}^{2}=0\cdot 1-1^{2}=-1=(-1)^{1}=(-1)^{n}$.

Επαγωγικό βήμα: Ας υποθέσουμε ότι η σχέση ισχύει για $n=k$, τότε

$F_{k-1}\cdot F_{k+1}-F_{k}^{2}=(-1)^{k}$.

Από την αναδρομική σχέση των αριθμών Φιμπονάτσι έχουμε ότι

$F_{k+1}=F_{k-1}+F_{k}$.

Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση, λαμβάνουμε ότι

${\begin{aligned}&(F_{k+1}-F_{k})\cdot F_{k+1}-F_{k}^{2}=(-1)^{k}\Rightarrow \\&F_{k+1}^{2}-F_{k}\cdot F_{k+1}-F_{k}^{2}=(-1)^{k}\Rightarrow \\&F_{k+1}^{2}-F_{k}\cdot (F_{k+1}+F_{k})=(-1)^{k}\Rightarrow \\&F_{k+1}^{2}-F_{k}\cdot F_{k+2}=(-1)^{k}\Rightarrow \\&F_{k}\cdot F_{k+2}-F_{k+1}^{2}=(-1)^{k+1},\end{aligned}}$

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Γενικεύσεις

Η ταυτότητα Catalan είναι μία γενίκευση της ταυτότητας Κασίνι όπου για κάθε $n,r\in \mathbb {N} _{+}$ με $n\geq r$ έχουμε ότι

$F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}.$

Η ταυτότητα Vajda γενικεύει ακόμα περισσότερο αυτήν την ταυτότητα δίνοντας ότι για κάθε $n,i,j\in \mathbb {N} _{+}$ ισχύει ότι

$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.$

Δείτε επίσης

• Ακολουθία Φιμπονάτσι