Ομάδα Κρεμόνα

Στην αλγεβρική γεωμετρία, η ομάδα Κρεμόνα, η οποία εισήχθη από τον Κρεμόνα (1863, 1865), είναι η ομάδα των δίρρητων αυτομορφισμών του $n$-διάστατου προβολικού χώρου πάνω σε ένα πεδίο $k$. Συμβολίζεται με $Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))$ or $Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))$ ή $Cr_{n}(k)$.

Η ομάδα Κρεμόνα ταυτίζεται φυσικά με την ομάδα αυτομορφισμού $\mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))$ του πεδίου των ρητών συναρτήσεων σε $n$ απροσδιόριστες πάνω από $k$, ή με άλλα λόγια μια καθαρή υπερβατική επέκταση του $k$, με βαθμό υπερβατικότητας $n$.

Η προβολική γενική γραμμική ομάδα τάξης $n+1$, των προβολικών μετασχηματισμών, περιέχεται στην ομάδα Κρεμόνα τάξης $n$. Οι δύο ομάδες είναι ίσες μόνο όταν $n=0$ ή $n=1$, οπότε και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός μετασχηματισμού πρέπει να είναι γραμμικοί.

Ομάδα Κρεμόνα σε 2 διαστάσεις

Σε δύο διαστάσεις, ο Μαξ Νέτερ και ο Γκουίντο Καστελνούοβο έδειξαν ότι η σύνθετη ομάδα Κρεμόνα παράγεται από τον τυπικό τετραγωνικό μετασχηματισμό, μαζί με την $\mathrm {PGL} (3,k)$, αν και υπήρξε κάποια διαμάχη σχετικά με το αν οι αποδείξεις τους ήταν σωστές, και ο Γκιζατουλίν (1983) έδωσε ένα πλήρες σύνολο σχέσεων για αυτούς τους γεννήτορες. Η δομή αυτής της ομάδας δεν είναι ακόμα καλά κατανοητή, αν και έχει γίνει πολλή δουλειά για την εύρεση στοιχείων ή υποομάδων της.

• Οι Καντά & Λαμί (2010) έδειξαν ότι η ομάδα Κρεμόνα δεν είναι απλή ως αφηρημένη ομάδα,
• Ο Μπλαν έδειξε ότι δεν έχει μη τετριμμένες κανονικές υποομάδες που να είναι επίσης κλειστές σε μια φυσική τοπολογία.
• Για τις πεπερασμένες υποομάδες της ομάδας Κρεμόνα βλέπε Ντολγκάτσεφ & Ισκόφσκιχ (2009).

Ομάδα Κρεμόνα σε υψηλότερες διαστάσεις

Λίγα είναι γνωστά για τη δομή της ομάδας Κρεμόνα σε τρεις και περισσότερες διαστάσεις, αν και πολλά στοιχεία της έχουν περιγραφεί. Blanc (2010) έδειξε ότι είναι (γραμμικά) συνδεδεμένη, απαντώντας σε ένα ερώτημα του Σερ 2010. Δεν υπάρχει εύκολο ανάλογο του θεωρήματος Νέτερ-Καστελνούβο, καθώς η {Χάντσον (1927) έδειξε ότι η ομάδα Κρεμόνα σε διάσταση τουλάχιστον 3 δεν παράγεται από τα στοιχεία της με βαθμό που περιορίζεται από οποιοδήποτε σταθερό ακέραιο.

Ομάδες ντε Ζονκιέρ

Μια ομάδα ντε Ζονκιέρ είναι μια υποομάδα μιας ομάδας Κρεμόνα της ακόλουθης μορφής . Επιλέγουμε μια βάση υπερβατικότητας $x_{1},...,x_{n}$ για μια επέκταση του πεδίου $k$. Τότε μια ομάδα ντε Ζονκιέρ είναι η υποομάδα των αυτομορφισμών της $k(x_{1},...,x_{n})$ που απεικονίζει το υποπεδίο $k(x_{1},...,x_{r})$ στον εαυτό της για κάποιο $r\leq n$. Έχει μια κανονική υποομάδα που δίνεται από την ομάδα Κρεμόνα των αυτομορφισμών του $k(x_{1},...,x_{n})$ πάνω στο πεδίο $k(x_{1},...,x_{r})$, και η πηλίκο ομάδα είναι η ομάδα Κρεμόνα του $k(x_{1},...,x_{r})$ πάνω στο πεδίο $k$. Μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως η ομάδα των διρρητών αυτομορφισμών της δέσμης ινών $\mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{n-r}\to \mathbb {P} ^{r}$.

Όταν $n=2$ και $r=1$ η ομάδα ντε Ζονκιέρ είναι η ομάδα των μετασχηματισμών Κρεμόνα που καθορίζουν ένα δέσμημα γραμμών μέσω ενός δεδομένου σημείου και είναι το ημιάμμεσο γινόμενο των $\mathrm {PGL} _{2}(k)$ and $\mathrm {PGL} _{2}(k(t))$.

Δημοσιεύσεις

• Alberich-Carramiñana, Maria (2002), Geometry of the plane Cremona maps, Lecture Notes in Mathematics, 1769, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/b82933, ISBN 978-3-540-42816-9 
• Blanc, Jérémy (2010), «Groupes de Cremona, connexité et simplicité», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4 43 (2): 357–364, doi:10.24033/asens.2123, ISSN 0012-9593 
• Cantat, Serge; Lamy, Stéphane (2010). «Normal subgroups in the Cremona group». Acta Mathematica 210 (2013): 31–94. doi:10.1007/s11511-013-0090-1. Bibcode: 2010arXiv1007.0895C. 
• Coolidge, Julian Lowell (1931), A treatise on algebraic plane curves, Oxford University Press, ISBN 978-0-486-49576-7, https://books.google.com/books?id=Y7WEf6V0XwgC 
• Cremona, L. (1863), «Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane», Giornale di Matematiche di Battaglini 1: 305–311, http://it.wikisource.org/wiki/Sulle_trasformazioni_geometriche_delle_figure_piane_%28Cremona%29 
• Cremona, L. (1865), «Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane», Giornale di Matematiche di Battaglini 3: 269–280, 363–376, http://it.wikisource.org/wiki/Sulle_trasformazioni_geometriche_delle_figure_piane,_nota_II_%28Cremona%29 
• Demazure, Michel (1970), «Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4 3 (4): 507–588, doi:10.24033/asens.1201, ISSN 0012-9593, http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1970_4_3_4_507_0 
• Dolgachev, Igor V. (2012), Classical Algebraic Geometry: a modern view, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-01765-8, http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/CAG.pdf, ανακτήθηκε στις 2012-04-18 
• Dolgachev, Igor V.; Iskovskikh, Vasily A. (2009), «Finite subgroups of the plane Cremona group», Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. I, Progr. Math., 269, Boston, MA: Birkhäuser Boston, σελ. 443–548, doi:10.1007/978-0-8176-4745-2_11, ISBN 978-0-8176-4744-5 
• Gizatullin, M. Kh. (1983), «Defining relations for the Cremona group of the plane», Mathematics of the USSR-Izvestiya 21 (2): 211–268, doi:10.1070/IM1983v021n02ABEH001789, ISSN 0373-2436 
• Godeaux, Lucien (1927), Les transformations birationelles du plan, Mémorial des sciences mathématiques, 22, Gauthier-Villars et Cie 
• Hudson, Hilda Phoebe (1927), Cremona transformations in plane and space, Cambridge University Press, Reprinted 2012, ISBN 978-0-521-35882-8, http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/abstracts/hudson_cremona.htm 
• Semple, J. G.; Roth, L. (1985), Introduction to algebraic geometry, Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853363-4 
• Serre, Jean-Pierre (2009), «A Minkowski-style bound for the orders of the finite subgroups of the Cremona group of rank 2 over an arbitrary field», Moscow Mathematical Journal 9 (1): 193–208, doi:10.17323/1609-4514-2009-9-1-183-198, ISSN 1609-3321 
• Serre, Jean-Pierre (2010), «Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis», Astérisque, Seminaire Bourbaki 1000 (332): 75–100, ISBN 978-2-85629-291-4, ISSN 0303-1179, http://www.bourbaki.ens.fr/TEXTES/1000.pdf 

Δείτε επίσης

• Algebraic Geometry
• Ζαν-Πιερ Σερ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Worksheet on Affine Noetherian Schemes
• Algebraic Geometry
• Topology

Σημειώσεις

• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
• Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:10.1017/S0027763000000076, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157