Μ-αναδρομική συνάρτηση

Στη μαθηματική λογική και την επιστήμη των υπολογιστών, οι μ-αναδρομικές συναρτήσεις είναι μια κατηγορία μερικών συναρτήσεων από φυσικούς αριθμούς σε φυσικούς αριθμούς που είναι "υπολογίσιμη" σε μια διαισθητική αίσθηση. Στην πραγματικότητα, στη θεωρία υπολογισιμότητας έχει αποδειχθεί ότι οι μ-αναδρομικές συναρτήσεις είναι ακριβώς οι συναρτήσεις που μπορούν να υπολογιστούν από μηχανές Τιούρινγκ. Οι μ-αναδρομικές συναρτήσεις συνδέονται στενά με πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις, και ο επαγωγικός ορισμός τους (κάτω) βασίζεται σε αυτές τις πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις. Ωστόσο, κάθε μ-αναδρομική συνάρτηση δεν είναι μια πρωτόγονη αναδρομική συνάρτηση—το πιο διάσημο παράδειγμα είναι η συνάρτηση Άκερμαν.

Άλλες ισοδύναμες κατηγορίες συναρτήσεων είναι οι λ-αναδρομικές συναρτήσεις και οι συναρτήσεις που μπορούν να υπολογιστούν από τους Μαρκοβιανούς αλγορίθμους.

Το σύνολο όλων των αναδρομικών συναρτήσεων είναι γνωστό ως R στην θεωρία υπολογιστικής πολυπλοκότητας .

Ορισμός

Οι μ-αναδρομικές συναρτήσεις (ή μερικές μ-αναδρομικές συναρτήσεις) είναι μερικές συναρτήσεις που λαμβάνουν πεπερασμένες πλειάδες φυσικών αριθμών και επιστρέφουν έναν φυσικό αριθμό. Είναι η μικρότερη κατηγορία των μερικών συναρτήσεων που περιλαμβάνει τις αρχικές συναρτήσεις και είναι κλειστές κάτω από τη σύνθεση, την πρωτόγονη αναδρομή, και το μ-χειριστή.

Η μικρότερη κλάση των συναρτήσεων, συμπεριλαμβανομένων των αρχικών συναρτήσεων και κλειστές κάτω από τη σύνθεση και πρωτόγονη αναδρομή (δηλαδή χωρίς ελαχιστοποίηση) είναι η τάξη των πρωτόγονων αναδρομικών συναρτήσεων. Ενώ όλες οι πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις είναι συνολικές, αυτό δεν είναι αλήθεια για τις μερικές αναδρομικές συναρτήσεις, για παράδειγμα, η ελαχιστοποίηση των διαδοχικών συναρτήσεων είναι απροσδιόριστη. Οι πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις είναι ένα υποσύνολο του συνόλου των αναδρομικών συναρτήσεων, οι οποίες είναι ένα υποσύνολο των μερικών αναδρομικών συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση Άκερμαν μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι ολικά αναδρομική, αλλά όχι πρωτόγονη.

Αρχικές ή "βασικές" συναρτήσεις: (Στο εξής τα παρακάτω αναφέρονται στον Κλιν (1952), σελ. 219. Για περισσότερα σχετικά με ορισμένους από τους ποικίλους συμβολισμούς που βρέθηκαν στη βιβλιογραφία δείτε το Συμβολισμό παρακάτω.)

1. Συνεχής συνάρτηση: Για κάθε φυσικό αριθμό $n\,$ και κάθε $k\,$:

   $f(x_{1},\ldots ,x_{k})=n\,$.

   Εναλλακτικοί ορισμοί χρησιμοποιούν συνθέσεις της διαδοχικής συνάρτησης και μία μηδενική συνάρτηση, που πάντα επιστρέφει μηδέν, αντί για συνεχή συνάρτηση.
   

2. Διαδοχική συνάρτηση S:

   $S(x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x)=x+1\,$

3. Προβολική συνάρτηση $P_{i}^{k}$ (που ονομάζεται επίσης η Ταυτότητα λειτουργία $I_{i}^{k}$): Για όλους τους φυσικούς αριθμούς $i,k\,$ , όπως ότι $1$ ≤ $i$ ≤ $k$:

   $P_{i}^{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x_{1},\ldots ,x_{k})=x_{i}\,.$

Φορείς:

1. Σύνθεση φορέα $\circ \,$ (που ονομάζεται επίσης η υποκατάσταση του φορέα): Δεδομένου μίας m-οστής συνάρτησης $h(x_{1},\ldots ,x_{m})\,$ και m-οστών συναρτήσεων $g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{k}),\ldots ,g_{m}(x_{1},\ldots ,x_{k})$:

   $h\circ (g_{1},\ldots ,g_{m}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x_{1},\ldots ,x_{k})=h(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{k}),\ldots ,g_{m}(x_{1},\ldots ,x_{k}))\,.$

2. Πρωτόγονος αναδρομικός φορέας $\rho \,$: Δεδομένης της k-οστής συνάρτησης $g(x_{1},\ldots ,x_{k})\,$ και k+2 -οστής συνάρτησης $h(y,z,x_{1},\ldots ,x_{k})\,$:

   ${\begin{aligned}\rho (g,h)&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(y,x_{1},\ldots ,x_{k})\quad {\rm {where}}\\f(0,x_{1},\ldots ,x_{k})&=g(x_{1},\ldots ,x_{k})\\f(y+1,x_{1},\ldots ,x_{k})&=h(y,f(y,x_{1},\ldots ,x_{k}),x_{1},\ldots ,x_{k})\,.\end{aligned}}$

3. Ελάχιστος φορέας $\mu \,$: Δίνεται μια (k+1)-οστή συνολική συνάρτηση $f(y,x_{1},\ldots ,x_{k})\,$:

   ${\begin{aligned}\mu (f)(x_{1},\ldots ,x_{k})=z{\stackrel {\mathrm {def} }{\iff }}\ f(z,x_{1},\ldots ,x_{k})&=0\quad {\text{and}}\\f(i,x_{1},\ldots ,x_{k})&>0\quad {\text{for}}\ i=0,\ldots ,z-1.\end{aligned}}$

   Διαισθητικά,η ελαχιστοποίηση επιδιώκει—ξεκινώντας την αναζήτηση από το 0 και προχωρώντας προς τα πάνω—το μικρότερο επιχείρημα που προκαλεί τη συνάρτηση  να επιστρέφει μηδέν, αν δεν υπάρχει τέτοιο επιχείρημα, η αναζήτηση ποτέ δεν τερματίζει.

Ο ισχυρής ισότητας φορέας εκμετάλλευσης $\simeq$ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συγκρίνουμε μερικές μ-αναδρομικές συναρτήσεις. Αυτό ορίζεται, για όλες τις μερικές συναρτήσεις f  και g έτσι ώστε

$f(x_{1},\ldots ,x_{k})\simeq g(x_{1},\ldots ,x_{l})$

ισχύει αν και μόνο αν για κάθε επιλογή των επιχειρημάτων, είτε και οι δύο συναρτήσεις ορίζονται και οι τιμές τους είναι ίσες ή και οι δύο συναρτήσεις είναι απροσδιόριστες.

Ισοδυναμία με άλλα μοντέλα της υπολογισιμότητας

Στην ισοδυναμία των μοντέλων της υπολογισιμότητας, μία παραλληλία έχει σχηματιστεί ανάμεσα στις μηχανές Τιούρινγκ που δεν τερματίζουν για ορισμένες εισροές και για ένα απροσδιόριστο αποτέλεσμα που προκύπτει από την εισαγωγή στην αντίστοιχη μερική αναδρομική συνάρτηση. Ο απεριόριστης αναζήτησης φορέας δεν ορίζεται από τους κανόνες της πρωτόγονης αναδρομής που δεν παρέχουν ένα μηχανισμό για  "άπειρους βρόχους" (μη καθορισμένες τιμές).

Κανονική μορφή, θεώρημα

Μια κανονική μορφή, θεώρημα λόγω του Κλιν λέει ότι για κάθε k υπάρχουν πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις $U(y)\!$ και $T(y,e,x_{1},\ldots ,x_{k})\!$ τέτοιες, ώστε για οποιανδήποτε μ-αναδρομική συνάρτηση $f(x_{1},\ldots ,x_{k})\!$ με k ελεύθερες μεταβλητέςυπάρχει ένα e τέτοιο ώστε

$f(x_{1},\ldots ,x_{k})\simeq U(\mu y\,T(y,e,x_{1},\ldots ,x_{k}))$.

Ο αριθμός e ονομάζεται δείκτης ή αριθμός Γκέντελ για τη συνάρτηση  f. Συνέπεια αυτού του αποτελέσματος είναι ότι κάθε μ-αναδρομική συνάρτηση μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας ένα μόνο παράδειγμα του μ τελεστή που εφαρμόζεται σε μία (συνολική) πρωτόγονη αναδρομική συνάρτηση.

Ο Μίνσκι (1967) παρατηρεί (όπως και οι Μπούλος-Μπέργκες-Τζέφρι (2002), σελ. 94-95) ότι η U που ορίζεται ανωτέρω, είναι στην ουσία το μ-αναδρομικό ισοδύναμο με την καθολική μηχανή Τιούρινγκ:

Για την κατασκευή του U χρειάζεται να γράψουμε τον ορισμό της γενικής αναδρομικής συνάρτησης U(n, x) που ερμηνεύει σωστά τον αριθμό ν και υπολογίζει την κατάλληλη συνάρτηση του x, για την κατασκευή του U άμεσα θα περιλαμβάνει ουσιαστικά το ίδιο ποσό της προσπάθειας, και ουσιαστικά τις ίδιες ιδέες, όπως έχουμε επενδύσει στην κατασκευή της καθολικής μηχανής Τιούρινγκ (η πλάγια γραφή στο πρωτότυπο, Μίνσκι (1967), σελ. 189)

Συμβολισμός

Μια σειρά από διαφορετικούς συμβολισμούς που χρησιμοποιούνται στη βιβλιογραφία. Ένα πλεονέκτημα στη χρήση του συμβολισμού είναι η παράγωγος της συνάρτησης "φωλιάζοντας" τους φορείς, τον ένα μέσα στον άλλο, είναι πιο εύκολο να γράψει κανείς σε μια συμπαγή μορφή. Στο εξής θα βραχύνουμε τη σειρά των παραμέτρων x₁, ..., x_n ως x:

• Συνεχής συνάρτηση: Ο Κλιν χρησιμοποιεί "C_qⁿ(x) = q" και την Boolos-Burgess-Jeffry (2002) (Β-Β-Ι) χρήση με συντομογραφία " const_n( x) = n ":

π. χ. C₁₃⁷ ( r, s, t, u, v, w, x ) = 13

π. χ. const₁₃ ( r, s, t, u, v, w, x ) = 13Διαδοχική συνάρτηση: Ο Κλιν χρησιμοποιεί το x και το S για το "Διάδοχο". Ως "διάδοχος" θεωρείται η  πρωτόγονη συνάρτηση, τα περισσότερα κείμενα χρησιμοποιούν την απόστροφο ως εξής:

S(a) = a +1 =_def a', όπου 1 =_def 0', 2 =_def 0 ' ', κλπ.

• Ταυτοτική συνάρτηση: Ο Κλιν (1952) χρησιμοποιεί "U_iⁿ" για να δείξει  την ταυτοτική συνάρτηση πάνω  στις μεταβλητές x_i, η B-B-J χρήση την ταυτοτικής  συνάρτησης id_i ⁿ πάνω από τις μεταβλητές x₁ ,μέχρι x_n:

U_iⁿ( x ) = id_iⁿ( x ) = x_i

π. χ. U₃⁷ = id₃⁷ ( r, s, t, u, v, w, x ) = t

• Σύνθετος (Υποκατάστατος) φορέας: Ο Κλιν χρησιμοποιεί ένα τολμηρό πρόσωπο S_n^m (δεν πρέπει να συγχέεται με το " S " για "διάδοχο" ! ). Ο εκθέτης "μ" αναφέρεται στην m^ου της συνάρτησης "f_m", ενώ ο δείκτης "n" αναφέρεται στη ν^ου μεταβλητή "x_n":

Αν μας δοθεί h( x )= g( f₁(x), ... , f_m(x) )

h(x) = S_mⁿ(g, f₁, ... , f_m )

Με παρόμοιο τρόπο, αλλά χωρίς την υπο - εκθέτες, B-B-J γράψτε:

h(x")= Cn[g, f₁ ,..., f_m](x)

• Πρωτόγονη Αναδρομή:Ο Κλιν χρησιμοποιεί το σύμβολο "Rⁿ(βασικό βήμα, βήμα επαγωγής) "όπου το n δηλώνει τον αριθμό των μεταβλητών, Β-Β-J χρήση" Pr(βασικό βήμα, βήμα επαγωγής)(x)". Δίνονται:

• βασικό βήμα: h( 0, x )= f( x ), και
• επαγωγικό βήμα: h( y+1, x ) = g( y, h(y, x),x )

Παράδειγμα: πρωτόγονη αναδρομή ορισμός a + b:

• βασικό βήμα: f( 0,a ) = a = U₁¹(a)
• επαγωγή βήμα: f( b' , a ) = ( f ( b, a ) )' = g( b, f( b, a), a ) = g( b, c, a ) = c' = S(U₂³( b, c, α )

R² { U₁¹(α), S [ (U₂³( b, c, a ) ] }

Pr{ U₁¹(α), S[ (U₂³( b, c, a ) ] }

Παράδειγμα: Παράδειγμα: Ο Κλιν δίνει ένα παράδειγμα για το πώς να εκτελεστεί ο αναδρομικός υπολογισμός του f(b, a) = b + a (παρατηρήστε την αντιστροφή των μεταβλητών α και β). Ξεκινά με 3 αρχικές συναρτήσεις

1. S(a)=a'
2. U₁¹(a) = a
3. U₂³( b, c, a ) = c
4. g(b, c, α) = S(U₂³( b, c, a )) = c'
5. βασικό βήμα: h( 0, a ) = U₁¹(a)

επαγωγή βήμα: χ( β, α ) = g( b, h( b, a ), a )

Φτάνει σε:

a+b = R²[ U₁¹, S₁³(S, U₂³) ]

Παραδείγματα

• Ακολουθία Φιμπονάτσι
• Συνάρτηση Μακάρθι 91

Δείτε επίσης

• Θεωρία αναδρομής
• Αναδρομή
• Αναδρομή (επιστήμη των υπολογιστών)

Αναφορές

• Stephen Kleene (1952) Introduction to Metamathematics. Walters-Noordhoff & North-Holland, with corrections (6th imprint 1971); Tenth impression 1991, ISBN 0-7204-2103-9.
• Soare, R. Recursively enumerable sets and degrees. Springer-Verlag 1987.
• Marvin L. Minsky (1967), Computation: Finite and Infinite Machines, Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, N.J.

On pages 210-215 Minsky shows how to create the μ-operator using the register machine model, thus demonstrating its equivalence to the general recursive functions.

• George Boolos, John Burgess, Richard Jeffrey (2002), Computability and Logic: Fourth Edition, Cambridge University Press, Cambridge, UK. Cf pp. 70–71.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Stanford Encyclopedia of Philosophy εισόδου
• Ένας μεταγλωττιστής για μετατροπή μιας αναδρομικής συνάρτησης σε ισοδύναμη μηχανή Turing