Κυρτότητα (αλγεβρική γεωμετρία)

Στην αλγεβρική γεωμετρία, η κυρτότητα είναι μια περιοριστική τεχνική συνθήκη για τις αλγεβρικές ποικιλίες που εισήχθη αρχικά για την ανάλυση των χώρων του Κοντσέβιτς ${\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )$ στην κβαντική συνομολογία. Αυτοί οι χώροι moduli είναι λείες τροχιές (orbifolds) όποτε ο χώρος-στόχος είναι κυρτός. Μια ποικιλία $X$ καλείται κυρτή αν η επαναφορά της εφαπτόμενης δέσμης σε μια σταθερή ρητή καμπύλη $f:C\to X$ έχει σφαιρικά παραγόμενα τμήματα. Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι η καμπύλη είναι ελεύθερη να κινηθεί γύρω από την $X$ απειροελάχιστα χωρίς κανένα εμπόδιο. Η κυρτότητα γενικά διατυπώνεται ως η τεχνική συνθήκη

$H^{1}(C,f^{*}T_{X})=0$

αφού το θεώρημα εξάλειψης του Σερ εγγυάται ότι αυτή η σφαίρα έχει καθολικά παραγόμενα τμήματα. Διαισθητικά αυτό σημαίνει ότι σε μια γειτονιά ενός σημείου, με ένα διανυσματικό σώμα σε αυτή τη γειτονιά, η τοπική παράλληλη μεταφορά μπορεί να επεκταθεί πλήρως. Αυτό γενικεύει την ιδέα της κυρτότητας στην Ευκλείδεια γεωμετρία, όπου δοθέντων δύο σημείων $p,q$ σε ένα κυρτό σύνολο $C\subset \mathbb {R} ^{n}$, όλα τα σημεία $tp+(1-t)q$ περιέχονται σε αυτό το σύνολο. Υπάρχει ένα διανυσματικό πεδίο ${\mathcal {X}}_{U_{p}}$ σε μια γειτονιά $U_{p}$ του $p$ που μεταφέρει το $p$ σε κάθε σημείο $p'\in \{tp+(1-t)q:t\in [0,1]\}\cap U_{p}$. Δεδομένου ότι η διανυσματική δέσμη του $\mathbb {R} ^{n}$ είναι τετριμμένη, άρα σφαιρικά παραγόμενη, υπάρχει ένα διανυσματικό σώμα ${\mathcal {X}}$ στο $\mathbb {R} ^{n}$ τέτοιο ώστε η ισότητα ${\mathcal {X}}|_{U_{p}}={\mathcal {X}}_{U_{p}}$ να ισχύει στον περιορισμό.

Παραδείγματα

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα κυρτών χώρων, όπως τα ακόλουθα.

Χώροι με τετριμμένες ρητές καμπύλες

Αν οι μόνοι χάρτες από μια ρητή καμπύλη προς τον $X$ είναι χάρτες σταθερών, τότε η επαναφορά του εφαπτόμενου δεματίου είναι το ελέυθερο δεμάτιο ${\mathcal {O}}_{C}^{\oplus n}$ όπου $n=\dim(X)$. Αυτά τα δεμάτια έχουν τετριμμένη μη μηδενική συνομολογία και επομένως είναι πάντα κυρτά. Ειδικότερα, οι Αβελιανές ποικιλίες έχουν αυτή την ιδιότητα, αφού η ποικιλία Αλμπανέζ μιας ρητής καμπύλης $C$ είναι τετριμμένη, και κάθε χάρτης από μια ποικιλία σε μια Αβελιανή ποικιλία παραγοντοποιεί την Αλμπανέζ.

Προβολικοί χώροι

Οι προβολικοί χώροι είναι παραδείγματα ομογενών χώρων, αλλά η κυρτότητα τους μπορεί επίσης να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας έναν υπολογισμό συνομολογίας του δεματίου. Υπενθυμίζουμε ότι η ακολουθία Όιλερ συσχετίζει τον εφαπτόμενο χώρο μέσω μιας σύντομης ακριβούς ακολουθίας

$0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0$

Εάν χρειαστεί να εξετάσουμε μόνο ενσωματώσεις βαθμού $d$, υπάρχει μια σύντομη ακριβής ακολουθία

$0\to {\mathcal {O}}_{C}\to {\mathcal {O}}_{C}(d)^{\oplus (n+1)}\to f^{*}{\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0$

με αποτέλεσμα μια μακρά ακριβή ακολουθία

${\begin{aligned}0&\to H^{0}(C,{\mathcal {O}})\to H^{0}(C,{\mathcal {O}}(d)^{\oplus (n+1)})\to H^{0}(C,f^{*}{\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}})\\&\to H^{1}(C,{\mathcal {O}})\to H^{1}(C,{\mathcal {O}}(d)^{\oplus (n+1)})\to H^{1}(C,f^{*}{\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}})\to 0\end{aligned}}$

δεδομένου ότι οι δύο πρώτοι $H^{1}$-όροι είναι μηδενικοί, πράγμα που προκύπτει από το ότι το $C$ είναι γένους $0$, και ο δεύτερος υπολογισμός προκύπτει από το θεώρημα Ρίμαν-Ροχ, έχουμε κυρτότητα του $\mathbb {P} ^{n}$. Τότε, οποιοσδήποτε κομβικός χάρτης μπορεί να αναχθεί σε αυτή την περίπτωση θεωρώντας μία από τις συνιστώσες $C_{i}$ του $C$.

Ομογενείς χώροι

Μια άλλη μεγάλη κατηγορία παραδειγμάτων είναι οι ομογενείς χώροι $G/P$ όπου $P$ είναι μια παραβολική υποομάδα του $G$. Αυτοί έχουν σφαιρικά παραγόμενα τμήματα αφού η $G$ δρα μεταβατικά στο $X$, δηλαδή μπορεί να μεταφέρει μια βάση στο $T_{x}X$ σε μια βάση σε οποιοδήποτε άλλο σημείο $T_{y}X$, άρα έχει σφαιρικά παραγόμενα τμήματα. Τότε, η επαναφορά παράγεται πάντα σε συνολικό επίπεδο. Αυτή η κατηγορία παραδειγμάτων περιλαμβάνει τα Γκρασμανικά, τους προβολικούς χώρους και τις ποικιλίες σημαίας.

Χώροι παραγωγής

Επίσης, τα γινόμενα κυρτών χώρων εξακολουθούν να είναι κυρτά. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα του Κανέθ στη συνεκτική συνολολογία των δεματίων.

Προβολικές δέσμες πάνω σε καμπύλες

Μια ακόμη μη τετριμμένη κατηγορία παραδειγμάτων κυρτών ποικιλιών είναι οι προβολικές δέσμες $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$ για μια αλγεβρική διανυσματική δέσμη ${\mathcal {E}}\to C$ πάνω από μια ομαλή αλγεβρική καμπύλη ^{pg 6}.

Εφαρμογές

Υπάρχουν πολλά χρήσιμα τεχνικά πλεονεκτήματα από την εξέταση των χώρων moduli των σταθερών καμπυλών που αντιστοιχούν σε κυρτούς χώρους. Δηλαδή, οι χώροι moduli του Κοντσέβιτς ${\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )$ έχουν ωραίες γεωμετρικές και παραμορφο-θεωρητικές ιδιότητες.

Θεωρία παραμόρφωσης

Οι παραμορφώσεις του $f:C\to X$ στο σχήμα Χίλμπερτ των γραφημάτων $\operatorname {Hom} (C,X)\subset \operatorname {Hilb} _{C\times X/\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$ έχει εφαπτόμενο χώρο

$T_{\operatorname {Hom} (C,X)}([f])\cong H^{0}(C,f^{*}T_{X})$  

όπου $[f]\in \operatorname {Hom} (C,X)$ είναι το σημείο του σχήματος που αναπαριστά τον χάρτη. Η κυρτότητα του $X$ δίνει τον παρακάτω τύπο διάστασης. Επιπλέον, η κυρτότητα συνεπάγεται ότι όλες οι απειροελάχιστες παραμορφώσεις είναι ανεμπόδιστες.

Δομή

Οι χώροι αυτοί είναι κανονικές προβολικές ποικιλίες καθαρής διάστασης

$\dim({\overline {M}}_{0,n}(X,\beta ))=\dim(X)+\int _{\beta }c_{1}(T_{X})+n-3$  

οι οποίες είναι τοπικά το πηλίκο μιας ομαλής ποικιλίας από μια πεπερασμένη ομάδα. Επίσης, η ανοικτή υποποικιλία ${\overline {M}}_{0,n}^{*}(X,\beta )$ που παραμετροποιεί τους μη-ιδιάζοντες χάρτες είναι ένας λείος λεπτός χώρος moduli. Συγκεκριμένα, αυτό συνεπάγεται ότι οι στοίβες ${\overline {\mathcal {M}}}_{0,n}(X,\beta )$ είναι orbifolds (orbit "τροχιά"  -manifold "πολλαπλότητα").

Οριακοί διαιρέτες

Οι χώροι moduli ${\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )$ έχουν ωραίους συνοριακούς διαιρέτες για κυρτές ποικιλίες $X$ που δίνονται από

$D(A,B;\beta _{1},\beta _{2})={\overline {M}}_{0,A\cup \{\bullet \}}(X,\beta _{1})\times _{X}{\overline {M}}_{0,B\cup \{\bullet \}}(X,\beta _{2})$  

για μια διαμέριση $A\cup B$ του $[n]$ και $\{\bullet \}$ το σημείο που βρίσκεται κατά μήκος της τομής δύο ορθολογικών καμπυλών $C=C_{1}\cup C_{2}$.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Έμι Νέτερ
• Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
• Τοπολογία Ζαρίσκι

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Algebraic Geometry II: Cohomology of Schemes: With Examples and Exercises
• Κυρτότητα περιορισμένου προσανατολισμού
• Αναλυτικές όψεις της κυρτότητας
• Topics in Cohomological Studies of Algebraic Varieties: Impanga Lecture Notes
• p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

Δημοσιεύσεις

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck· Jean-Louis Verdier, επιμ. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 2. Lecture notes in mathematics (στα French). 270. Berlin; New York: Springer-Verlag. σελίδες iv+418. doi:10.1007/BFb0061319. ISBN 978-3-540-06012-3. 
• Alexandrov, Pavel S. (1981), «In Memory of Emmy Noether», στο: Brewer, James W; Smith, Martha K, επιμ., Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, σελ. 99–111, ISBN 0-8247-1550-0 .
• Blue, Meredith (2001), Galois Theory and Noether's Problem, Thirty-Fourth Annual Meeting: Florida Section of The Mathematical Association of America, http://mcc1.mccfl.edu/fl_maa/proceedings/2001/blue.pdf, ανακτήθηκε στις 2013-06-10 .
• Byers, Nina (2–4 December 1996), «E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws», Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, IL: Bar-Ilan University, http://arxiv.org/abs/physics/9807044 .