Εξισώσεις ρηχών υδάτων

Έξοδος από ένα μοντέλο εξισορρόπησης ρηχών υδάτων σε μπανιέρα. Το νερό δοκιμάζει 5 πιτσιλιές που δημιουργούν κύματα επιφανειακής βαρύτητας που εκπέμπονται μακριά από τις θέσεις εκτόξευσης και αντανακλούν τους τοίχους της μπανιέρας.

Οι εξισώσεις ρηχών υδάτων είναι μια σειρά εξισώσεων που περιγράφουν τη ροή κάτω από μια οριζόντια επιφάνεια πίεσης σε ένα υγρό. Η ροή που περιγράφουν αυτές οι εξισώσεις είναι η οριζόντια ροή που προκαλείται από μεταβολές στο ύψος της επιφάνειας πίεσης του υγρού. Οι εξισώσεις ρηχών υδάτων μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε ατμοσφαιρική και ωκεάνια μοντελοποίηση, αλλά είναι πολύ απλούστερες από τις πρωταρχικές εξισώσεις. Τα μοντέλα εξισώσεων ρηχών υδάτων έχουν μόνο ένα κατακόρυφο επίπεδο, οπότε δεν μπορούν να περιλαμβάνουν κανέναν παράγοντα που ποικίλλει ανάλογα με το ύψος.

Σε γενικές γραμμές, σχεδόν όλες οι μορφές των εξισώσεων ρηχών υδάτων σχετίζονται με τις τρεις μεταβλητές (u, v, η), και την εξέλιξή τους στο χώρο και το χρόνο.

Ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

$u$ είναι η ζωνική ταχύτητα (ή η ταχύτητα στην διάσταση x).
$v$ είναι η μεσημβρινή ταχύτητα (ή η ταχύτητα στην διάσταση y).
$H$ είναι το μέσο ύψος της οριζόντιας επιφάνειας πίεσης.
$\eta$ είναι η απόκλιση της οριζόντιας επιφάνειας πίεσης από τον μέσο όρο της.
$g$ είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας
$f$ είναι ο όρος που αντιστοιχεί στη δύναμη Coriolis και είναι ίσος με 2Ω sin (φ), όπου Ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης (π/12 ακτίνια/ώρα) και φ είναι το γεωγραφικό πλάτος.
$b$ είναι η παχύρευστη οπισθέλκουσα.

Οι εξισώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

{\begin{aligned}{\frac {Du}{Dt}}-fv&=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}-bu\\[3pt]{\frac {Dv}{Dt}}+fu&=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-bv\\[3pt]{\frac {\partial \eta }{\partial t}}&=-{\frac {\partial (u(H+\eta ))}{\partial x}}-{\frac {\partial (v(H+\eta ))}{\partial y}}\end{aligned}}

Μοντελοποίηση κύματος από εξισώσεις ρηχών υδάτων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι εξισώσεις των ρηχών υδάτων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να μοντελοποιηθούν τα κύματα Rossby και Kelvin στην ατμόσφαιρα και στους ωκεανούς καθώς και τα κύματα βαρύτητας σε μικρότερο πεδίο (π.χ. κύματα επιφανείας σε μπανιέρα). Για να είναι έγκυρες οι εξισώσεις των ρηχών υδάτων, το μήκος κύματος του φαινομένου που υποτίθεται ότι πρέπει να μοντελοποιήσουν πρέπει να είναι πολύ υψηλότερο από το βάθος της λεκάνης όπου συμβαίνει το φαινόμενο. Οι εξισώσεις των ρηχών υδάτων είναι ιδιαίτερα κατάλληλες για να σχηματίσουν παλίρροιες που έχουν πολύ μεγάλες κλίμακες μήκους (εκατοντάδες χιλιόμετρα). Για την παλιρροιακή κίνηση, ακόμη και ένας πολύ βαθύς ωκεανός μπορεί να θεωρηθεί ως ρηχός, καθώς το βάθος του θα είναι πάντοτε πολύ μικρότερο από το μήκος παλιρροιακού κύματος.

Η εικόνα στα δεξιά εξάγεται από ένα ρηχό μοντέλο εξισορρόπησης νερού σε μπανιέρα. Το νερό δοκιμάζει 5 πιτσιλιές που δημιουργούν κύματα επιφανειακής βαρύτητας που διαδίδονται μακριά από τις θέσεις εκτόξευσης και αντανακλούν τα τοιχώματα της μπανιέρας.