Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Τύπος του Όιλερ»

Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
καμία σύνοψη επεξεργασίας
 
==Εφαρμογές στη θεωρία μιγαδικών αριθμών==
Ο συγκεκριμένος τύπος μπορεί να ερμηνευτεί λέγοντας ότι η συνάρτηση {{Math|''e<sup>i&phi;</sup>''}} είναι ένας μοναδιαίος μιγαδικός αριθμός, δηλαδή διαγράφει το μοναδιαίο κύκλο καθώς το {{Math|''&phi;''}} παίρνει τιμές στους πραγματικούς αριθμούς. Εδώ το {{Math|''&phi;''}} είναι η γωνία που σχηματίζει η γραμμήευθεία που ενώνει την αρχή των αξόνων με ένα σημείο του μοναδιαίου κύκλου και τουο θετικούθετικός πραγματικούπραγματικός ημιάξοναημιάξονας, μετρημένη σε ακτίνια και αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού.
 
Η αρχική απόδειξη βασίζεται στα αναπτύγματα της εκθετικής συνάρτησης {{Math|''e<sup>z</sup>''}} σε σειρά Taylor (όπου {{Math|''z''}} είναι ένας μιγαδικός αριθμός) και των συναρτήσεων {{Math|sin ''x''}} και {{Math|cos ''x''}} για πραγματικούς αριθμούς {{Math|''x''}}. Στην πραγματικότητα, η ίδια απόδειξη δείχνει ότι ο τύπος του Euler ισχύει ακόμα και για μιγαδικούς αριθμούς {{Math|''x''}}.
:<math> r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}</math> το μέτρο του ''z''
:<math>\phi = \arg z = \,</math> [[atan2]](''y'', ''x'') .
{{Math|''ϕ''}} είναι το όρισμα του ''z'', δηλαδή η γωνία μεταξύ του άξονα x και του διανύσματος ''z'' μετρημένης σε ακτίνια αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού σε ακτίνια και μπορεί να διαφέρει κατά ακέραια πολλαπλάσια του {{Math|2π}}. Πολλά μαθηματικά κείμενα γράφουν θ = tan<sup>−1</sup>(''y''/''x'') αντί για θ = atan2(''y'',''x''), αλλά η πρώτη εξίσωση απαίτει περαιτέρω προσδιορισμό όταν ''x''&nbsp;≤&nbsp;0. Αυτό συμβαίνει επειδή για πραγματικούς x, y που δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν, οι γωνίες των διανυσμάτων (x,y) και (-x,-y) διαφέρουν μεταξύ τους κατά {{Math|π}} ακτίνια, αλλά έχουν την ίδια τιμή της tan(θ) = y/x.
 
Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Euler για να ορίσουμε το [[Λογάριθμος|λογάριθμο]] ενός μιγαδικού αριθμού. Για να το κάνουμε αυτό θα χρησιμοποιήσουμε επίσης τον ορισμό του λογαρίθμου (ως αντίστροφης συνάρτησης της εκθετικής) που λέει ότι
18

επεξεργασίες

Μενού πλοήγησης