Διάγραμμα Βεν

Διάγραμμα Βεν για δύο σύνολα 1 και 2, όπου το 1 περιέχει τα γράμματα Γ, Κ, Σ, Ε, και το 2 περιέχει τα γράμματα Κ, Α, Σ, Π

Το διάγραμμα Βεν (γνωστό στην βιβλιογραφία και ως διάγραμμα Venn) είναι ένα διάγραμμα που δείχνει όλες τις πιθανές λογικές σχέσεις ανάμεσα σε μια πεπερασμένη συλλογή από σύνολα. Το διάγραμμα Βεν αποτελείται από δύο ή περισσότερους κύκλους ή ελλείψεις και από τα εκάστοτε στοιχεία των συνόλων.

Τα διαγράμματα Βεν είναι ειδική μορφή των διαγραμμάτων του Όιλερ. Χρησιμοποιούνται στη διδασκαλία στοιχειωδών στοιχείων της θεωρίας συνόλων, στις πιθανότητες, τη λογική, τα στατιστικά στοιχεία, τη γλωσσολογία και την επιστήμη των υπολογιστών.

Παραδείγματα

Στα παρακάτω σχήματα φαίνεται ο τρόπος που βασικές δυαδικές πράξεις συνόλων αναπαρίστανται με διαγράμματα Βεν:

Τομή δύο συνόλων $~A\cap B$ Τομή δύο συνόλων $~A\cap B$   Ένωση δύο συνόλων $~A\cup B$ Ένωση δύο συνόλων $~A\cup B$   Συμμετρική διαφορά δύο συνόλων $A~\triangle ~B$ Συμμετρική διαφορά δύο συνόλων $A~\triangle ~B$   Διαφορά δύο συνόλων $A^{c}\cap B~=~B\setminus A$ Διαφορά δύο συνόλων $A^{c}\cap B~=~B\setminus A$

Ιστορία

Η χρήση των διαγραμμάτων Βεν προτάθηκε γύρω στο 1880 από τον Άγγλο μαθηματικό και φιλόσοφο Τζον Βενν σε ένα άρθρο σχετικά με τους διαφορετικούς τρόπους απεικόνισης προτάσεων μέσω διαγραμμάτων.

Η χρήση τέτοιων διαγραμμάτων στη φορμαλιστική λογική, σύμφωνα με τους Φρανκ Ράσκεϊ και Μαρκ Γουέστον, προϋπήρχε του Βεν, αλλά «δικαίως συνδέεται» με αυτόν, καθώς «διερεύνησε και τυποποίησε συνολικά τη χρήση τους και ήταν ο πρώτος που τα γενίκευσε».

Διαγράμματα με επικαλυπτόμενους κύκλους, που παριστάνουν ενώσεις και τομές, εισήχθησαν τον 13ο αιώνα από τον Καταλανό φιλόσοφο Ραϊμόν Λουλ (1232–1315/1316), ο οποίος τα χρησιμοποίησε για να απεικονίσει συνδυασμούς βασικών αρχών. Ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (1646–1716) παρήγαγε παρόμοια διαγράμματα τον 17ο αιώνα (αν και μεγάλο μέρος του έργου του έμεινε αδημοσίευτο), όπως και ο Γιοχάν Κρίστιαν Λάνγκε το 1712 περιγράφοντας τις συνεισφορές του Κρίστιαν Βάιζε στη λογική. Τα διαγράμματα Όιλερ, παρόμοια με τα διαγράμματα Venn αλλά χωρίς να περιέχουν απαραίτητα όλες τις δυνατές ενώσεις και τομές, καθιερώθηκαν από τον μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ τον 18ο αιώνα.

Ο Βεν δεν χρησιμοποίησε τον όρο «διάγραμμα Venn», αλλά αναφερόταν στην έννοια ως «Κύκλοι του Όιλερ». Γνώρισε τα διαγράμματα Όιλερ το 1862 και έγραψε ότι τα διαγράμματα Venn δεν του προέκυψαν «παρά πολύ αργότερα», ενώ προσπαθούσε να προσαρμόσει τα διαγράμματα Όιλερ στη λογική του Μπουλ. Στην αρχική πρόταση του άρθρου του το 1880, ο Βενν έγραψε ότι τα διαγράμματα Όιλερ ήταν η μόνη διαγραμματική αναπαράσταση της λογικής που είχε γνωρίσει «κάποια γενική αποδοχή».

Διάγραμμα του Βεν που δείχνει τα γράμματα που μοιράζονται το ελληνικό, το λατινικό και το Κυριλλικό αλφάβητο

Ο Βεν θεωρούσε τα διαγράμματά του ως παιδαγωγικό εργαλείο, ανάλογο με την επαλήθευση φυσικών εννοιών μέσω πειράματος. Ως παράδειγμα εφαρμογής, σημείωνε ότι ένα διάγραμμα τριών συνόλων μπορούσε να απεικονίσει τον συλλογισμό: «Κάθε Α είναι κάποιο Β. Κανένα Β δεν είναι Γ. Επομένως, κανένα Α δεν είναι Γ.»

Ο Λιούις Κάρολ περιλαμβάνει τη «Μέθοδο Διαγραμμάτων του Βεν» καθώς και τη «Μέθοδο Διαγραμμάτων του Όιλερ» σε ένα «Παράρτημα προς τους Δασκάλους» του βιβλίου του Symbolic Logic (4η έκδοση, 1896). Ο όρος «διάγραμμα Venn» χρησιμοποιήθηκε αργότερα από τον Κλάρενς Ίρβινγκ Λιούις το 1918, στο βιβλίο του A Survey of Symbolic Logic.

Τον 20ό αιώνα τα διαγράμματα Venn αναπτύχθηκαν περαιτέρω. Ο Ντέιβιντ Γουίλσον Χέντερσον έδειξε, το 1963, ότι η ύπαρξη ενός n-διαγράμματος Venn με n-πλήρη περιστροφική συμμετρία συνεπάγεται ότι το n είναι πρώτος αριθμός. Έδειξε επίσης ότι τέτοια συμμετρικά διαγράμματα Venn υπάρχουν για n = 5 και n = 7. Το 2002, ο Πίτερ Χάμπουργκερ βρήκε συμμετρικά διαγράμματα Venn για n = 11 και το 2003 οι Τζέραλντ Γκριγκς, Τσαρλς Κίλιαν και Κάρλα Σάβατζ έδειξαν ότι συμμετρικά διαγράμματα Venn υπάρχουν για όλους τους άλλους πρώτους αριθμούς. Αυτά τα αποτελέσματα δείχνουν ότι περιστροφικά συμμετρικά διαγράμματα Venn υπάρχουν αν και μόνο αν το n είναι πρώτος αριθμός.

Τα διαγράμματα Venn και Όιλερ ενσωματώθηκαν στη διδασκαλία της θεωρίας συνόλων στο πλαίσιο του κινήματος των «νέων μαθηματικών» τη δεκαετία του 1960. Έκτοτε υιοθετήθηκαν και σε άλλα γνωστικά αντικείμενα, όπως η ανάγνωση.