Γεωμετρία Γκαλουά

Το επίπεδο Φάνο, το προβολικό επίπεδο πάνω στο πεδίο με δύο στοιχεία, είναι ένα από τα απλούστερα αντικείμενα της γεωμετρίας Γαλουά.

Η γεωμετρία Γκαλουά ( έλαβε το όνομά της από τον Γάλλο μαθηματικό του 19ου αιώνα Εβαρίστ Γκαλουά) είναι ο κλάδος της πεπερασμένης γεωμετρίας που ασχολείται με την αλγεβρική και αναλυτική γεωμετρία πάνω σε ένα πεπερασμένο πεδίο (ή πεδίο Γκαλουά). Πιο συγκεκριμένα, η γεωμετρία Γκαλουά μπορεί να οριστεί ως ένας προβολικός χώρος πάνω σε ένα πεπερασμένο πεδίο.

Αντικείμενα μελέτης είναι οι αφινικοί και προβολικοί χώροι πάνω από πεπερασμένα πεδία και διάφορες δομές που περιέχονται σε αυτούς. Συγκεκριμένα, τόξα, ωοειδές, υπεροβάλια, μοναδιαία, σύνολα φραγής, ωοειδή, καλύμματα και όλα τα πεπερασμένα ανάλογα των δομών που συναντώνται σε μη πεπερασμένες γεωμετρίες. Οι διανυσματικοί χώροι που ορίζονται πάνω σε πεπερασμένα πεδία παίζουν σημαντικό ρόλο, ιδίως στις μεθόδους κατασκευής.

Προβολικοί χώροι πάνω από πεπερασμένα πεδία

Σημείωση

Αν και μερικές φορές χρησιμοποιείται η γενική συμβολική της προβολικής γεωμετρίας, είναι πιο συνηθισμένο να συμβολίζονται οι προβολικοί χώροι πάνω από πεπερασμένα πεδία με PG(n', q)', όπου n είναι η "γεωμετρική" διάσταση (βλ. παρακάτω), και q είναι η τάξη του πεπερασμένου πεδίου (ή πεδίου Γκαλουά) GF(q), η οποία πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός που είναι πρώτος ή πρώτη δύναμη.

Η "γεωμετρική" διάσταση στον παραπάνω συμβολισμό αναφέρεται στο σύστημα σύμφωνα με το οποίο οι γραμμές είναι μονοδιάστατες, τα επίπεδα είναι δισδιάστατα, τα σημεία είναι 0-διάστατα, κ.λπ. Ο τροποποιητής, μερικές φορές χρησιμοποιείται ο όρος προβολική αντί για γεωμετρική, είναι απαραίτητος, καθώς αυτή η έννοια της διάστασης διαφέρει από την έννοια που χρησιμοποιείται για τους διανυσματικούς χώρους (δηλαδή, ο αριθμός των στοιχείων μιας βάσης). Κανονικά η ύπαρξη δύο διαφορετικών εννοιών με το ίδιο όνομα δεν προκαλεί μεγάλη δυσκολία σε ξεχωριστές περιοχές λόγω του πλαισίου, αλλά σε αυτό το θέμα τόσο οι διανυσματικοί χώροι όσο και οι προβολικοί χώροι παίζουν σημαντικό ρόλο και η σύγχυση είναι πολύ πιθανή. Η έννοια του διανυσματικού χώρου αναφέρεται κατά καιρούς ως αλγεβρική διάσταση.

Κατασκευή

Έστω V = V(n + 1, q) ο διανυσματικός χώρος (αλγεβρικής) διάστασης n + 1 που ορίζεται πάνω στο πεπερασμένο πεδίο GF(q). Ο προβολικός χώρος PG(n, q) αποτελείται από όλους τους διανυσματικούς υποχώρους θετικής (αλγεβρικής) διάστασης του V. Ένας εναλλακτικός τρόπος να δούμε την κατασκευή είναι ο ορισμός των σημείων του PG(n, q) ως οι κλάσεις ισοδυναμίας των μη μηδενικών διανυσμάτων του V σύμφωνα με τη σχέση ισοδυναμίας σύμφωνα με την οποία δύο διανύσματα είναι ισοδύναμα αν το ένα είναι κλιμακωτό πολλαπλάσιο του άλλου. Στη συνέχεια, από τα σημεία δημιουργούνται υποχώροι χρησιμοποιώντας τον ορισμό της γραμμικής ανεξαρτησίας συνόλων σημείων.

Υποχώροι

Ένας διανυσματικός υποχώρος αλγεβρικής διάστασης d + 1 του V είναι ένας (προβολικός) υποχώρος του PG(n, q) γεωμετρικής διάστασης d. Στους προβολικούς υποχώρους δίνονται κοινά γεωμετρικά ονόματα: σημεία, γραμμές, επίπεδα και στερεά είναι οι 0,1,2 και 3διάστατοι υποχώροι, αντίστοιχα. Ολόκληρος ο χώρος είναι ένας n-διάστατος υποχώρος και ένας (n' - 1)-διάστατος υποχώρος ονομάζεται υπερεπίπεδο (ή πρωτεύον).

Ο αριθμός των διανυσματικών υποδιαστημάτων αλγεβρικής διάστασης d στο διανυσματικό χώρο V(n', q) δίνεται από το διωνυμικό συντελεστή του Γκάους,

$\left[{\begin{matrix}n\\d\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{d-1})}{(q^{d}-1)(q^{d}-q)\cdots (q^{d}-q^{d-1})}}.$

Επομένως, ο αριθμός των k διαστάσεων προβολικών υποδιαστημάτων στο PG(n, q) δίνεται από τη σχέση

$\left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)(q^{n+1}-q)\cdots (q^{n+1}-q^{k})}{(q^{k+1}-1)(q^{k+1}-q)\cdots (q^{k+1}-q^{k})}}.$

Επομένως, ο αριθμός των γραμμών (k = 1) στο PG(3,2) είναι

$\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]_{2}={\frac {(2^{4}-1)(2^{4}-2)}{(2^{2}-1)(2^{2}-2)}}={\frac {(15)(14)}{(3)(2)}}=35.$

Προκύπτει ότι ο συνολικός αριθμός των σημείων (k = 0) του 'P' = PG(n, q) είναι

$\left[{\begin{matrix}n+1\\\ 1\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)}{(q-1)}}=q^{n}+q^{n-1}+\cdots +q+1.$

Αυτό ισούται επίσης με τον αριθμό των υπερεπιπέδων του P.

Ο αριθμός των ευθειών που περνούν από ένα σημείο του P μπορεί να υπολογιστεί ότι είναι $q^{n-1}+q^{n-2}+\cdots +q+1$ και αυτό είναι επίσης ο αριθμός των υπερεπιπέδων που περνούν από ένα σταθερό σημείο.

Έστω U και W υποχώροι της γεωμετρίας Γκαλουά P = PG(n, q). Η τομή U ∩ W είναι υποχώρος του P, αλλά η θεωρητική ένωση συνόλων μπορεί να μην είναι. Η ένωση αυτών των υποχώρων, που συμβολίζεται με <U, W>, είναι ο μικρότερος υποχώρος του 'P που περιέχει τόσο U όσο και W. Οι διαστάσεις της ένωσης και της τομής αυτών των δύο υποχώρων σχετίζονται με τον τύπο,

$|<U,W>|=|U|+|W|-|U\cap W|.$

Συντεταγμένες

Σε σχέση με μια σταθερή βάση, κάθε διάνυσμα στο V αναπαρίσταται μοναδικά από ένα (n + 1)ζεύγος στοιχείων του GF(q). Ένα προβολικό σημείο είναι μια κλάση ισοδυναμίας διανυσμάτων, οπότε υπάρχουν πολλές διαφορετικές συντεταγμένες (των διανυσμάτων) που αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο. Ωστόσο, όλες αυτές σχετίζονται μεταξύ τους, αφού η καθεμία είναι ένα μη μηδενικό κλιμακωτό πολλαπλάσιο των άλλων. Αυτό οδηγεί στην έννοια των ομογενών συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση των σημείων ενός προβολικού χώρου.

Ιστορία

Ο Τζίνο Φάνο ήταν ένας πρώιμος συγγραφέας στον κλάδο των γεωμετριών Γκαλουά. Στο άρθρο του του 1892, σχετικά με την απόδειξη της ανεξαρτησίας του συνόλου των αξιωμάτων του για τον προβολικό n-χώρο, μεταξύ άλλων, εξέτασε τις συνέπειες του να είναι ένα τέταρτο αρμονικό σημείο ίσο με το συζυγές του. Αυτό οδηγεί σε μια διαμόρφωση επτά σημείων και επτά γραμμών που περιέχονται σε έναν πεπερασμένο τρισδιάστατο χώρο με 15 σημεία, 35 γραμμές και 15 επίπεδα, στον οποίο κάθε γραμμή περιείχε μόνο τρία σημεία. Όλα τα επίπεδα αυτού του χώρου αποτελούνται από επτά σημεία και επτά γραμμές και είναι πλέον γνωστά ως επίπεδα Fano. Ο Φάνο συνέχισε να περιγράφει γεωμετρίες Γκαλουά αυθαίρετης διάστασης και πρώτων τάξεων.

Ο Τζορτζ Κόνγουελ έδωσε μια πρώτη εφαρμογή της γεωμετρίας Γκαλουά το 1910, όταν χαρακτήρισε μια λύση στο πρόβλημα της μαθήτριας του Κέρκμαν ως μια διαμέριση συνόλων λοξών γραμμών στο PG(3,2), την τρισδιάστατη προβολική γεωμετρία πάνω στο πεδίο Γκαλουά GF(2). Παρόμοια με τις μεθόδους της γεωμετρίας γραμμών στο χώρο πάνω από ένα πεδίο χαρακτηριστικού 0, ο Κόνγουελ χρησιμοποίησε τις συντεταγμένες Plücker στο PG(5,2) και αναγνώρισε τα σημεία που αντιπροσωπεύουν τις γραμμές στο PG(3,2) ως αυτά του τετραγώνου Κλάιν.

Το 1955 ο Μπενιαμίνο Σέγκρ χαρακτήρισε τα ωοειδή για q odd (περιττά). Το θεώρημα του Σεγκρ δηλώνει ότι σε μια γεωμετρία Γκαλουά περιττής τάξης (δηλαδή σε ένα προβολικό επίπεδο που ορίζεται πάνω σε ένα πεπερασμένο πεδίο περιττής χαρακτηριστικής) κάθε οβάλ είναι κωνικό. Αυτό το αποτέλεσμα συχνά πιστώνεται με την καθιέρωση της γεωμετρίας Γκαλουά ως σημαντικού τομέα έρευνας. Στο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο του 1958 ο Σεγκρ παρουσίασε μια επισκόπηση των αποτελεσμάτων της γεωμετρίας Γκαλουά που ήταν γνωστά μέχρι τότε.

Δημοσιεύσεις

• Michael F. Atiyah, Ian G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading MA 1969, ISBN 0-201-00361-9.
• Rainer Brüske, Friedrich Ischebeck, Ferdinand Vogel: Kommutative Algebra. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-14041-0.
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics. 52). Springer, New York u. a. 1977, ISBN 3-540-90244-9.
• Ernst Kunz: Introduction to commutative algebra and algebraic geometry (= Vieweg-Studium. 46 Aufbaukurs Mathematik.). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6.
• Winfried Bruns, Jürgen Herzog: Cohen-Macaulay rings (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 39). Cambridge University Press, 1993.

Δείτε επίσης

• History Algebraic Geometry

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Galois Theory
• General Galois Geometries
• Dynamics, Statistics and Projective Geometry of Galois Fields

Σημειώσεις

• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry / From Foundations to Applications, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3 
• Collino, Alberto; Conte, Alberto; Verra, Alessandro (2013). «On the life and scientific work of Gino Fano». arXiv:1311.7177. 

• De Beule, Jan; Storme, Leo (2011), Current Research Topics in Galois Geometry, Nova Science Publishers, ISBN 978-1-61209-523-3 
• Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projective Geometries Over Finite Fields, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850295-1 
• Hirschfeld, J. W. P. (1985), Finite Projective Spaces of Three Dimensions, Oxford University Press, ISBN 0-19-853536-8 
• Hirschfeld, J. W. P.; Thas, J. A. (1992), General Galois Geometries, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853537-9