Σύνοψη

Σύνοψη

This image shows some features of the discrete dynamical system

${\displaystyle z_{n+1}=f_{c}(z_{n})\,}$

based on complex quadratic polynomial :

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.\,}$.

When coefficient ${\displaystyle c\,}$ goes from c=0.25 to c=-2 along horizontal axis ( imaginary part of c is zero and it is a 3D diagram of function which gets real input and gives complex output) then limit cycle is changing from fixed point ( period 1) to period 2 cycle. This qualitative change is called bifurcation.

This path is inside Mandelbrot set ( escape route). It s also first of period doubling bifurcation.

Note that :

• there are fixed points for all c values, but they change from attracting to indifferent( in parabolic point, root point) and repelling
• there are 2 period 2 points for all c values. They also change from from attracting to indifferent( in parabolic point, root point) and repelling.
• in bifurcation point ( root, parabolic) all period 2 values and fixed point have the same value and the same (=1) stability index .
• before and after bifurcation point period 2 points creates 3D parabolas, which are rotated ( 90 degrees) with respect to themselves

Please check demo 2 page 3 from program Mandel by Wolf Jung to see another visualisation of this bifurcation.

dynamics

Stability r is absolute value of multiplier m at fixed point alfa ${\displaystyle z_{\alpha }}$:

${\displaystyle r=|m(z_{\alpha })|}$

c = 0.0000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.0000000000000000+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.0000000000000000 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.0513167019494862+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.0513167019494862 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.1055728090000841+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.1055728090000841 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.1633399734659244+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.1633399734659244 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.2254033307585166+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.2254033307585166 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.2928932188134524+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.2928932188134524 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.3675444679663241+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.3675444679663241 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.4522774424948338+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.4522774424948338 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.5527864045000419+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.5527864045000419 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.6837722339831620+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.6837722339831620 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.9999999894632878+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.9999999894632878 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.3162277660168377*I 	 r(m) = 1.0488088481701514 	 t(m) = 0.0487455572605341 	period = 1
 c = 0.3000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.4472135954999579*I 	 r(m) = 1.0954451150103321 	 t(m) = 0.0669301182003075 	period = 1
 c = 0.3250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.5477225575051662*I 	 r(m) = 1.1401754250991381 	 t(m) = 0.0797514300099943 	period = 1
 c = 0.3500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.6324555320336760*I 	 r(m) = 1.1832159566199232 	 t(m) = 0.0897542589928440 	period = 1

==Maxima CAS src code==
<pre>
 GiveRoots_bf(g):=
 block(
  [cc:bfallroots(expand(g)=0)],
  cc:map(rhs,cc),/* remove string "c=" */
  return(cc)
 )$ 


 /* functions for computing periodic points ;   */ 
 give_beta(_c):= (1+sqrt(abs(1-4*_c)))/2 $  
 give_alfa(_c):= (1-sqrt(abs(1-4*_c)))/2 $ 
 give_2(c):=
 block(
 [eq,rr],
 eq:z*z +z +c +1,  
 rr:GiveRoots_bf(eq), 
 return(float(rr))
 ); 


 xMax:0;
 xMin:-1.39;
 yMin:-2;
 yMax:2;
 iXmax:1000;
 dx:(xMax-xMin)/iXmax;

 /*  points */
 p_pts:[ [-0.75,-0.5,0] ];
 p1_beta:[];
 p1_alfa_r:[];
 p1_alfa_a:[];
 p2_r:[]; /* period 2 repelling */
 p2_a:[]; /* period 2 attracting */ 


 /* -------------------- main  ----------------------- */
 for c:xMin step dx thru xMax do 
 (
 alfa:give_alfa(c),
 if cabs(2*alfa)>1 
  then p1_alfa_r:cons([c,realpart(alfa),imagpart(alfa)],p1_alfa_r)
  else p1_alfa_a:cons([c,realpart(alfa),imagpart(beta)],p1_alfa_a),
 roots:allroots(z*z +z +c +1=0),
 z2:rhs(roots[1]),
 if cabs(float(4*z2*(z2*z2+c)))>1  /* multiplier */
  then for z in roots do p2_r:cons([c,realpart(rhs(z)),imagpart(rhs(z))],p2_r)
  else for z in roots do p2_a:cons([c,realpart(rhs(z)),imagpart(rhs(z))],p2_a)
 );


 load(cpoly); /* for bfallroots */
 load(draw);


 draw3d(
  terminal = screen,
  pic_height= iXmax,
  title       = "periodic z-points for c along horizontal axis  for fc(z)= z*z +c ",
  ylabel     = "Re(z)",
  zlabel ="Im(z)",
  xlabel     = "c-coefficient",
  yrange = [yMin,yMax],
  point_type    = filled_circle,
  point_size    = 0.2,
  points_joined = true,
  /* period 1 */
  key    = " alfa repelling",
  color  = dark-blue,
  points(p1_alfa_r),
  key    = " alfa attracting",
  color  = light-blue,
  points(p1_alfa_a),
  /* period 2 */
  points_joined = false,
  key    = " period 2 attracting",
  color  = dark-green,
  points(p2_a),
  key    = " period 2 repelling",
  color  = light-green,
  points(p2_r),
  /* grid and tics */
  xtics      = {-3/4}, 
  /* -2,root points,centers, 0 */
  /*xtics_axis = true,  plot tics on x-axis */
  xtics_rotate = true,
  ytics      = {-0.5},
  ztics = {-1,0,1},
  grid       = true, /* draw grid*/
  /* special points */
  point_size    = 0.7,
  color         = red,
  key           = "bifurcation",
  points(p_pts)
 )$

Αδειοδότηση

Εγώ, ο κάτοχος των πνευματικών δικαιωμάτων αυτού του έργου, το δημοσιεύω δια του παρόντος υπό τις εξής άδειες χρήσης:

Το αρχείο διανέμεται υπό την άδεια Creative Commons Αναφορά προέλευσης-Παρόμοια διανομή 3.0 Μη εισαγόμενη

Είστε ελεύθερος:

• να μοιραστείτε – να αντιγράψετε, διανέμετε και να μεταδώσετε το έργο
• να διασκευάσετε – να τροποποιήσετε το έργο

Υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

• αναφορά προέλευσης – Θα πρέπει να κάνετε κατάλληλη αναφορά, να παρέχετε σύνδεσμο για την άδεια και να επισημάνετε εάν έγιναν αλλαγές. Μπορείτε να το κάνετε με οποιοδήποτε αιτιολογήσιμο λόγο, χωρίς όμως να εννοείται με οποιονδήποτε τρόπο ότι εγκρίνουν εσάς ή τη χρήση του έργου από εσάς.
• παρόμοια διανομή – Εάν αλλάξετε, τροποποιήσετε ή δημιουργήσετε πάνω στο έργο αυτό, μπορείτε να διανείμετε αυτό που θα προκύψει μόνο υπό τους όρους της ίδιας ή συμβατής άδειας με το πρωτότυπο.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0CC BY-SA 3.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 truetrue

Παραχωρείται η άδεια προς αντιγραφή, διανομή και/ή τροποποίηση αυτού του εγγράφου υπό τους όρους της Άδειας Ελεύθερης Τεκμηρίωσης GNU, Έκδοση 1.2 ή οποιασδήποτε νεότερης έκδοσης δημοσιευμένης από το Ίδρυμα Ελεύθερου Λογισμικού· χωρίς Απαράλαχτους Τομείς, χωρίς Κείμενα Εξωφύλλου, και χωρίς Κείμενα Οπισθοφύλλου. Αντίγραφο της άδειας περιλαμβάνεται στην σελίδα με τίτλο GNU Free Documentation License.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue

Μπορείτε να επιλέξετε την άδεια της προτίμησής σας.