Απαριθμητική γεωμετρία

Κύκλοι του Απολλώνιου

Η απαριθμητική γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών, και πιο συγκεκριμένα της αλγεβρικής γεωμετρίας, ο οποίος μελετά τον αριθμό των λύσεων σε γεωμετρικά ερωτήματα, χρησιμοποιώντας κυρίως τις μεθόδους της θεωρίας των τομών.

Ιστορία

Το Απολλώνιο πρόβλημα είναι ένα από τα πρώτα παραδείγματα απαριθμητικής γεωμετρίας. Το πρόβλημα αυτό ζητά τον αριθμό και την κατασκευή των κύκλων που εφάπτονται σε τρεις δεδομένους κύκλους, σημεία ή γραμμές. Γενικά, το πρόβλημα για τρεις δεδομένους κύκλους έχει οκτώ λύσεις, οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν ως 23, καθώς κάθε συνθήκη εφαπτομένων αντιστοιχεί σε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού στο χώρο των κύκλων. Ωστόσο, για ειδικές διατάξεις των δοσμένων κύκλων, ο αριθμός των λύσεων μπορεί επίσης να είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός από 0 (καμία λύση) έως έξι- δεν υπάρχει διάταξη για την οποία να υπάρχουν επτά λύσεις στο Απολλώνιο πρόβλημα.

Εργαλεία

Μια σειρά από εργαλεία, από τα στοιχειώδη έως τα πιο προηγμένα, περιλαμβάνουν:

• Καταμέτρηση διαστάσεων
• Θεώρημα του Μπεζούτ
• Υπολογισμός Σούμπερτ, και γενικότερα χαρακτηριστικές κλάσεις στην συνομολογία.
• Η σύνδεση της καταμέτρησης διατομών με τη συνομολογία είναι η δυαδικότητα Πουανκαρέ
• Η μελέτη των χώρων moduli των καμπυλών, των χαρτών και άλλων γεωμετρικών αντικειμένων, μερικές φορές μέσω της θεωρίας της κβαντικής συνομολογίας. Η μελέτη της κβαντικής συνομολογίας, των αναλλοίωτων Γκρόμοφ-Βίτεν και της κατοπτρικής συμμετρίας έδωσε σημαντική πρόοδο στην εικασία Κλεμάν.

Η απαριθμητική γεωμετρία είναι πολύ στενά συνδεδεμένη με τη θεωρία των τομών.

Λογισμός Σούμπερτ

Η απαριθμητική γεωμετρία γνώρισε θεαματική ανάπτυξη στα τέλη του 19ου αιώνα, μετά το έργο του Χέρμαν Σούμπερτ. Για τον σκοπό αυτό, εισήγαγε τον λογισμό Σούμπερτ, ο οποίος θα αποδεικνυόταν χρήσιμος για ευρύτερα γεωμετρικά και τοπολογικά ζητήματα. Ο αυστηρός ορισμός των αριθμών τομής του Αντρέ Βέιλ αποτέλεσε μέρος του προγράμματός του για την επανίδρυση της αλγεβρικής γεωμετρίας από το 1942 και μετά, αλλά δεν έλυσε όλα τα ζητήματα της απαριθμητικής γεωμετρίας.

Συντελεστές Φάτζε και το δέκατο πέμπτο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Η αφελής εφαρμογή της καταμέτρησης διαστάσεων και του θεωρήματος του Μπεζούτ οδηγεί σε λανθασμένα αποτελέσματα, όπως δείχνει το ακόλουθο παράδειγμα. Ως απάντηση σε αυτά τα προβλήματα, οι αλγεβρικοί γεωμέτρες εισήγαγαν ασαφείς "παράγοντες Φάτζε (fudge)", οι οποίοι τεκμηριώθηκαν αυστηρά μόνο δεκαετίες αργότερα.

Ως παράδειγμα, ας μετρήσουμε τις κωνικές τομές που εφάπτονται σε πέντε δεδομένες ευθείες στο προβολικό επίπεδο. Οι κωνικές συνιστούν έναν προβολικό χώρο διάστασης 5, λαμβάνοντας τους έξι συντελεστές τους ως ομογενείς συντεταγμένες, και πέντε σημεία καθορίζουν μια κωνική, αν τα σημεία βρίσκονται σε γενική γραμμική θέση, καθώς η διέλευση από ένα δεδομένο σημείο επιβάλλει μια γραμμική συνθήκη. Ομοίως, η εφαπτομένη σε μια δεδομένη ευθεία L (εφαπτομένη είναι η τομή με πολλαπλότητα δύο) είναι μια τετραγωνική συνθήκη, οπότε προσδιορίζεται ένα τετράγωνο στον P⁵. Ωστόσο, το γραμμικό σύστημα διαιρέσεων που αποτελείται από όλα αυτά τα τετράγωνα δεν είναι χωρίς τόπο βάσης. Στην πραγματικότητα κάθε τέτοιο τετράγωνο περιέχει την επιφάνεια Βερονέζ, η οποία παραμετροποιεί τις κωνικές

(aX + bY + cZ)² = 0

που ονομάζονται "διπλές γραμμές". Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι μια διπλή γραμμή τέμνει κάθε γραμμή στο επίπεδο, αφού οι γραμμές στο προβολικό επίπεδο τέμνονται, με πολλαπλότητα δύο επειδή είναι διπλή, και έτσι ικανοποιεί την ίδια συνθήκη τομής (τομή πολλαπλότητας δύο) με μια μη εκφυλισμένη κωνική που είναι εφαπτόμενη στην γραμμή.

Το γενικό θεώρημα του Μπεζούτ δηλώνει ότι 5 γενικά τετράγωνα στον 5-χώρο θα τέμνονται σε 32 = 2⁵ σημεία. Αλλά τα σχετικά τετράγωνα εδώ δεν είναι σε γενική θέση. Από το 32 πρέπει να αφαιρεθεί το 31 και να αποδοθεί στο Βερονέζ, για να μείνει η σωστή απάντηση (από την άποψη της γεωμετρίας), δηλαδή το 1. Αυτή η διαδικασία απόδοσης των τομών σε "εκφυλισμένες" περιπτώσεις είναι μια τυπική γεωμετρική εισαγωγή ενός "παράγοντα fudge".

Ένας από τους στόχους του δέκατου πέμπτου προβλήματος του Χίλμπερτ ήταν η κατανόηση και η συστηματοποίηση της φαινομενικά αυθαίρετης πτυχής αυτών των διορθώσεων- το ζήτημα αυτό επιλύθηκε ουσιαστικά από τον φαν ντερ Βέρντεν το 1930.

Εικασία Κλέμενς

Το 1984 ο Χ. Κλέμενς μελέτησε την καταμέτρηση του αριθμού των ορθολογικών καμπυλών σε μια πεμπτοειδή τριπλότητα$X\subset P^{4}$ και κατέληξε στην ακόλουθη εικασία.

Έστω $X\subset P^{4}$ μια γενική πεμπτοβάθμια τριπλότητα, $d$ ένας θετικός ακέραιος, τότε υπάρχει μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός ρητών καμπυλών με βαθμό $d$ στην $X$.

Αυτή η εικασία έχει επιλυθεί στην περίπτωση $d\leq 9$, αλλά παραμένει ανοικτή για υψηλότερα $d$.

Το 1991 η εργασία σχετικά με την κατοπτρική συμμετρία στην πενταπλή τριπλότητα στο $P^{4}$ από την άποψη της θεωρίας των χορδών δίνει αριθμούς ρητών καμπυλών βαθμού d στο $X$ για όλα τα $d>0$. Προηγουμένως, οι αλγεβρικοί γεωμέτρες μπορούσαν να υπολογίσουν αυτούς τους αριθμούς μόνο για $d\leq 5$.

Παραδείγματα

Μερικά από τα ιστορικά σημαντικά παραδείγματα απαριθμήσεων στην αλγεβρική γεωμετρία περιλαμβάνουν:

• 2 Ο αριθμός των γραμμών που συναντούν 4 γενικές γραμμές στο χώρο
• 8 Ο αριθμός των κύκλων που εφάπτονται σε 3 γενικούς κύκλους (το Απολλώνιο πρόβλημα).
• 27 Ο μέγιστος αριθμός ευθειών σε μια λεία κυβική επιφάνεια ( Σάλμον και Κέιλι)
• 2875 Το πλήθος των ευθειών γραμμών σε μια 3-fold πεμπτοβάθμια (Quintic threefold).
• 3264 Ο αριθμός των κωνικών που εφάπτονται σε 5 επίπεδες κωνικές σε γενική θέση (Σασλς)
• 609250 Ο αριθμός των κωνικών σε μια γενική 3-fold πεμπτοβάθμια
• 4407296 Ο αριθμός των κωνικών που εφάπτονται σε 8 γενικές τετραγωνικές επιφάνειες Φύλτον Fulton (1984, p. 193)
• 666841088 Ο αριθμός των τετραγωνικών επιφανειών που εφάπτονται σε 9 δεδομένες τετραγωνικές επιφάνειες σε γενική θέση στον 3-χώρο (Schubert 1879, p.106) (Fulton 1984, p. 193)
• 5819539783680 Ο αριθμός των στριμμένων κυβικών καμπυλών που εφάπτονται σε 12 δεδομένες τετραγωνικές επιφάνειες σε γενική θέση στον 3-χώρο ( Σούμπερτ (Schubert 1879, p.184)) (Σ. Κλέιμαν, Σ. Α. Στρομμέ & Σ. Ξάμπο 1987) (S. Kleiman, S. A. Strømme & S. Xambó 1987)

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Αλγεβρική ποικιλία
• Τοπολογία
• Απολλώνιο πρόβλημα
• Αναλλοίωτοι Γκρόμοφ-Βίτεν

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Enumerative Geometry and Classical Algebraic Geometry
• Enumerative Geometry and String Theory
• An Invitation to Modern Enumerative Geometry
• Enumerative Geometry: Proceedings of a Conference held in Sitges, Spain ..
• Motivic Homotopy Theory and Refined Enumerative Geometry

Παραπομπές

• Kleiman, S.; Strømme, S. A.; Xambó, S. (1987), «Sketch of a verification of Schubert's number 5819539783680 of twisted cubics», Space curves (Rocca di Papa, 1985), Lecture Notes in Math., 1266, Berlin: Springer, σελ. 156–180, doi:10.1007/BFb0078183, ISBN 978-3-540-18020-3 
• Schubert, Hermann (1979), Kleiman, Steven L., επιμ., Kalkül der abzählenden Geometrie, Reprint of the 1879 original, Berlin-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-09233-1, https://archive.org/details/kalklderabzh00schuuoft