Αλγεβρικό σώμα συναρτήσεων

Στα μαθηματικά, ένα αλγεβρικό σώμα συναρτήσεων (συχνά συντομογραφούμενο ως σώμα συναρτήσεων) n μεταβλητών πάνω σε ένα σώμα k είναι μια πεπερασμένη επέκταση του σώματος K/k η που έχει βαθμό υπερβατικότητας n πάνω στο k. Ισοδύναμα, ένα αλγεβρικό σώμα συναρτήσεων n μεταβλητών πάνω στο k μπορεί να οριστεί ως μια πεπερασμένη επέκταση του σώματος K = k(x₁,...,x_n)) των ρητών συναρτήσεων σε n μεταβλητές πάνω στο k.

Παραδείγματα

Ως παράδειγμα, στον πολυωνυμικό δακτύλιο k [X,Y] θεωρούμε το ιδεώδες που παράγεται από το μη αναγώγιμο πολυώνυμο Y² − X³ και σχηματίζουμε το σώμα των κλασμάτων του πηλίκου k [X,Y]/(Y² − X³). Αυτό είναι ένα σώμα συναρτήσεων μιας μεταβλητής πάνω από το k, μπορεί επίσης να γραφεί ως $k(X)({\sqrt {X^{3}}})$ (με βαθμό 2 πάνω από το $k(X)$) ή ως $k(Y)({\sqrt[{3}]{Y^{2}}})$ (με βαθμό 3 πάνω από το $k(Y)$). Βλέπουμε ότι ο βαθμός ενός αλγεβρικού συναρτησιακού σώματος δεν είναι μια καλά ορισμένη έννοια.

Δομή κατηγορίας

Τα αλγεβρικά συναρτησιακά σώματα πάνω από το k σχηματίζουν μια κατηγορία- οι μορφισμοί από το συναρτησιακό σώμα K στο L είναι οι ομομορφισμοί δακτυλίου f : K → L με f(a) = a για όλα τα a στο k. Όλοι αυτοί οι μορφισμοί είναι ενέσιμοι. Αν το K είναι ένα σώμα συναρτήσεων πάνω από το k με n μεταβλητές, και το L είναι ένα σώμα συναρτήσεων με m μεταβλητές, και n > m, τότε δεν υπάρχουν μορφισμοί από το K στο L.

Σώμα συναρτήσεων που προκύπτουν από ποικιλίες, καμπύλες και επιφάνειες Ρίμαν

Το σώμα συναρτήσεων μιας αλγεβρικής ποικιλίας διάστασης n πάνω από k είναι ένα αλγεβρικό σώμα συναρτήσεων n μεταβλητών πάνω από k. Δύο ποικιλίες είναι διαιρετικά ισοδύναμες εάν και μόνο εάν τα σώματά τους είναι ισόμορφα. (Σημειώστε όμως ότι οι μη ισομορφικές ποικιλίες μπορεί να έχουν το ίδιο σώμα συναρτήσεων!) Αναθέτοντας σε κάθε ποικιλία το σώμα συναρτήσεων της, προκύπτει μια δυαδικότητα (αναλλοίωτη ισοδυναμία) μεταξύ της κατηγορίας των ποικιλιών πάνω από k (με κυρίαρχους ρητούς χάρτες ως μορφισμούς) και της κατηγορίας των αλγεβρικών πεδίων συναρτήσεων πάνω από k. (Οι ποικιλίες που εξετάζονται εδώ πρέπει να ληφθούν με την έννοια του σχήματος- δεν χρειάζεται να έχουν κανένα k-rational σημείο, όπως η καμπύλη X² + Y² + 1 = 0 που ορίζεται πάνω στους πραγματικούς, δηλαδή με k = R).

Η περίπτωση n = 1 (μη αναγώγιμες αλγεβρικές καμπύλες με την έννοια του σχήματος) είναι ιδιαίτερα σημαντική, καθώς κάθε συναρτησιακό σώμα μιας μεταβλητής πάνω από το k προκύπτει ως το συναρτησιακό σώμα μιας μονοσήμαντα ορισμένης κανονικής (δηλαδή μη ιδιάζουσας) προβολικής μη αναγώγιμης αλγεβρικής καμπύλης πάνω από το k. Στην πραγματικότητα, το συναρτησιακό σώμα δίνει μια δυαδικότητα μεταξύ της κατηγορίας των κανονικών προβολικών μη αναγώγιμων αλγεβρικών καμπυλών (με κυρίαρχους κανονικούς χάρτες ως μορφισμούς) και της κατηγορίας των συναρτησιακών σωμάτων μιας μεταβλητής πάνω από το k.

Το σώμα M(X) των μερομορφικών συναρτήσεων που ορίζονται σε μια συνδεδεμένη επιφάνεια Ρίμαν Χ είναι ένα σώμα συναρτήσεων μίας μεταβλητής πάνω από τους μιγαδικούς αριθμούς C. Στην πραγματικότητα, το M δίνει μια δυαδικότητα (αντιπαραβολική ισοδυναμία) μεταξύ της κατηγορίας των συμπαγών συνδεδεμένων επιφανειών Ρίμαν (με μη σταθερούς ολομορφικούς χάρτες ως μορφισμούς) και των πεδίων συναρτήσεων μίας μεταβλητής πάνω από το C. Μια παρόμοια αντιστοιχία υπάρχει μεταξύ των συμπαγών συνδεδεμένων επιφανειών Κλάιν και των πεδίων συναρτήσεων μίας μεταβλητής πάνω από το R.

Αριθμητικά σώματα και πεπερασμένα σώματα

Η αναλογία των συναρτησιακών σωμάτων δηλώνει ότι σχεδόν όλα τα θεωρήματα για τα αριθμητικά σώματα έχουν ένα αντίστοιχο για τα συναρτησιακά σώματα μιας μεταβλητής πάνω σε ένα πεπερασμένο σώμα, και αυτά τα αντίστοιχα σώματα είναι συχνά ευκολότερο να αποδειχθούν. (Παραδείγματος χάριν, δείτε Ανάλογο για μη αναγώγιμα πολυώνυμα πάνω από πεπερασμένο σώμα.) Στο πλαίσιο αυτής της αναλογίας, τόσο τα αριθμητικά σώματα όσο και τα συναρτησιακά σώματα πάνω από πεπερασμένα σώματα ονομάζονται συνήθως «καθολικά σώματα».

Η μελέτη των συναρτησιακών σωμάτων πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα έχει εφαρμογές στην κρυπτογραφία και στους κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων. Παραδείγματος χάριν, το σώμα συναρτήσεων μιας ελλειπτικής καμπύλης πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα (ένα σημαντικό μαθηματικό εργαλείο για την κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού) είναι ένα αλγεβρικό σώμα συναρτήσεων.

Τα σώματα συναρτήσεων πάνω από το σώμα των ρητών αριθμών παίζουν επίσης σημαντικό ρόλο στην επίλυση αντίστροφων προβλημάτων Γκαλουά.

Πεδίο σταθερών

Δεδομένου οποιουδήποτε αλγεβρικού συναρτησιακού σώματος K πάνω από k, μπορούμε να θεωρήσουμε το σύνολο των στοιχείων του K που είναι αλγεβρικά πάνω από k. Τα στοιχεία αυτά σχηματίζουν ένα σώμα, γνωστό ως σώμα σταθερών του αλγεβρικού συναρτησιακού σώματος.

Παραδείγματος χάριν, το C(x) είναι ένα πεδίο συναρτήσεων μιας μεταβλητής πάνω από το R- το πεδίο των σταθερών του είναι το C.

Αποτιμήσεις και τόποι

Βασικά εργαλεία για τη μελέτη των αλγεβρικών συναρτησιακών σωμάτων είναι οι απόλυτες τιμές, οι αποτιμήσεις, οι θέσεις και οι συμπληρώσεις τους.

Δεδομένου ενός αλγεβρικού συναρτησιακού πεδίου K/k μιας μεταβλητής, ορίζουμε την έννοια του δακτυλίου αποτίμησης του K/k: πρόκειται για έναν υποδακτύλιο O του K που περιέχει το k και είναι διαφορετικός από το k και το K, και τέτοιος ώστε για κάθε x στο K να έχουμε x ∈ O ή x ^-1 ∈ O. Κάθε τέτοιος δακτύλιος αποτίμησης είναι ένας διακριτός δακτύλιος αποτίμησης και το μέγιστο ιδεώδες του ονομάζεται τόπος του K/k.

Μια διακριτή αποτίμηση του K/k είναι μια επιρριπτική συνάρτηση v : K → Z∪{∞} έτσι ώστε v(x) = ∞ iff x = 0, v(xy) = v(x) + v(y) και v(x + y) ≥ min(v(x),v(y)) for all x, y ∈ K, και v(a) = 0 για όλα τα a ∈ k \ {0}.

Υπάρχουν φυσικές επιρριτικές αντιστοιχίες μεταξύ του συνόλου των δακτυλίων αποτίμησης του K/k, του συνόλου των τόπων του K/k και του συνόλου των διακριτών αποτιμήσεων του K/k. Στα σύνολα αυτά μπορεί να δοθεί μια φυσική τοπολογική δομή: ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν του K/k.

Δημοσιεύσεις

• Grothendieck, A. (1962), V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 232, σελ. 143–161, http://www.numdam.org/item?id=SB_1961-1962__7__143_0 
• Grothendieck, A. (1962), VI. Les schémas de Picard. Propriétés générales, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 236, σελ. 221–243, http://www.numdam.org/item?id=SB_1961-1962__7__221_0 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, OCLC 13348052 
• Igusa, Jun-Ichi (1955), «On some problems in abstract algebraic geometry», Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 41 (11): 964–967, doi:10.1073/pnas.41.11.964, PMID 16589782 
• Kleiman, Steven L. (2005), «The Picard scheme», Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr., 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society, σελ. 235–321 
• Mumford, David (1966), Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies, 59, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07993-6, OCLC 171541070 
• Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Αλγεβρική ποικιλία
• Τοπολογία
• Διόφαντος

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Valued function field - Encyclopedia of Math
• Crystalline Cohomology of Superschemes
• Algebraic Function Fields and Codes
• Function Field Arithmetic
• Topics in the Theory of Algebraic Function Fields