Ακέραια περιοχή

Στην άλγεβρα ακέραια περιοχή είναι κάθε μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο 1 ≠ 0 (δηλαδή με μοναδιαίο στοιχείο διαφορετικό του μηδενικού) ο οποίος δεν έχει μηδενοδιαιρέτες. Η ιδιότητα 1 ≠ 0 απαιτείται έτσι ώστε ο μηδενικός δακτύλιος {0} να μην συμπεριλαμβάνεται στις ακέραιες περιοχές. Η έννοια της ακέραιας περιοχής αποτελεί γενίκευση των ακεραίων και προσφέρει ένα φυσικό περιβάλλον για ανάπτυξη της έννοιας της διαιρετότητας.

Ορισμός

Η έννοια της ακέραιας περιοχής μπορεί να οριστεί με διάφορους τρόπους. Ο πιο συνηθισμένος γίνεται μέσω της έννοιας του μηδενοδιαιρέτη. Συγκεκριμένα, ένας δακτύλιος $(R,+,\circ )$ ονομάζεται ακέραια περιοχή αν είναι μεταθετικός, έχει μοναδιαίο στοιχείο διαφορετικό του μηδενικού και δεν έχει μηδενοδιαιρέτες (δηλαδή για όλα τα στοιχεία x, y του δακτυλίου, αν xy = 0 τότε είτε x = 0 ή y = 0).

Ισοδύναμοι ορισμοί είναι οι εξής:

• ακέραια περιοχή είναι κάθε μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, τέτοιος ώστε το μηδενικό ιδεώδες {0} να είναι πρώτο ιδεώδες.
• ακέραια περιοχή είναι κάθε μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, που είναι υποδακτύλιος κάποιου σώματος.
• ακέραια περιοχή είναι κάθε μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο τέτοιος ώστε για κάθε μη μηδενικό στοιχείο r του δακτυλίου, η απεικόνιση που στέλνει κάθε στοιχείο x του δακτυλίου στο γινόμενο xr να είναι ένα προς ένα.

Παραδείγματα

• Το $\mathbb {Z} _{4}$ δεν είναι ακέραια περιοχή γιατί έχει μηδενοδιαιρέτες. Για παράδειγμα το $[2]\in \mathbb {Z} _{4}$ είναι ένας μηδενοδιαιρέτης καθώς $[2][2]=[4]=0_{\mathbb {Z} _{4}}$ όμως $[2]\neq 0_{\mathbb {Z} _{4}}$.

• Ο μηδενικός δακτύλιος δεν είναι ακέραια περιοχή. Αυτό συμβαίνει επειδή η συνθήκη 1 ≠ 0 στον ορισμό της ακέραιας περιοχής είναι ισοδύναμη με το ότι ο R είναι ο μη μηδενικός δακτύλιος. Πράγματι έστω ότι ισχύει 1 = 0, οπότε έχουμε ότι $x=x\circ 1_{R}=x\circ 0_{R}=0_{R}$ και αυτό για κάθε $x\in R$, οπότε ο R είναι ο μηδενικός δακτύλιος.

• Κάθε σώμα είναι ακέραια περιοχή. Ειδικότερα στους πεπερασμένους δακτυλίους η έννοια της ακέραιας περιοχής και του σώματος ταυτίζονται.

• Ο δακτύλιος Z[x] των πολυωνύμων μιας μεταβλητής με συντελεστές ακεραίους είναι ακέραια περιοχή.

• Ο δακτύλιος $M_{n}(\mathbb {C} )$ των $n\times n$ πινάκων με συντελεστές από το σώμα $\mathbb {C}$ δεν είναι ακέραια περιοχή επειδή δεν είναι μεταθετικός.

• Οι δακτύλιοι $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ είναι ακέραιες περιοχές.