Γωνία

Στην γεωμετρία, επίπεδη γωνία ή απλά γωνία είναι το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από δύο ημιευθείες με κοινό αρχικόι σημείο. Πιο συγκεκριμένα, είναι το σύνολο των κοινών σημείων δύο ημιεπιπέδων, δηλαδή της τομής τους.^[1]^:21^[2]^:18

Αν οι ευθείες που ορίζουν τα ημιεπίπεδα τέμνονται σε κάποιο σημείο, τότε αυτό ονομάζεται κορυφή της γωνίας. Σε κάθε μία από τις δύο ευθείες ανήκει μόνο ένα μέρος της στη γωνία, το μέρος που ανήκει είναι μία ημιευθεία με αρχή την κορυφή της γωνίας. Οι ημιευθείες λέγονται πλευρές της γωνίας. Στο σχήμα, ${\rm {O}}$ είναι η κορυφή της γωνίας και ${\rm {O}}x$ , ${\rm {O}}y$ οι δύο της πλευρές. Το σύνολο των σημείων της γωνίας που δεν ανήκουν στις πλευρές λέγεται εσωτερικό της γωνίας, ενώ το σύνολο των σημείων του επιπέδου που δεν ανήκουν στη γωνία εξωτερικό.^[3]

Είδη γωνιών

Ευθεία είναι μία γωνία της οποίας οι πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες. Με άλλα λόγια κάθε ευθεία με ένα σημείο της μπορεί να θεωρηθεί ως ευθεία γωνία.^[1]^: 22^[2]^: 18
- Κάθε γωνία μικρότερη από την ευθεία λέγεται κυρτή γωνία.
- Κάθε γωνία μεγαλύτερη από την ευθεία λέγεται μη κυρτή γωνία ή γωνία ανάκλασης.

Ευθεία γωνία.

Κυρτή γωνία.

Μη-κυρτή γωνία.

Ορθή είναι μία γωνία που προκύπτει από τη διχοτόμηση μίας ευθείας γωνίας. Προφανώς, όλες οι ορθές είναι ίσες μεταξύ τους.^[2]^: 18
- Κάθε γωνία μικρότερη από την ορθή λέγεται οξεία γωνία.^[2]^: 23
- Κάθε κυρτή γωνία μεγαλύτερη από την ορθή λέγεται αμβλεία γωνία.^[2]^: 23

Οξεία γωνία.

Ορθή γωνία.

Αμβλεία γωνία.

Μηδενική είναι μία γωνία της οποίας το εσωτερικό δεν περιέχει κανένα σημείο.^[2]^: 25
Πλήρης (ή περιγώνια) είναι μια γωνία της οποίας το εσωτερικό περιέχει όλο το επίπεδο εκτός των πλευρών της. Κάθε ημιευθεία μπορεί να ιδωθεί ως μηδενική ή πλήρης γωνία, ανάλογα με το πώς εκλαμβάνουμε το εσωτερικό της.^[1]^: 23^[2]^: 18

Μηδενική γωνία.

Πλήρης γωνία.

Λοξή είναι μία γωνία το μέτρο της οποίας δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μέτρου της ορθής.

Σύγκριση γωνιών

Έστω $\varphi ={\widehat {x{\rm {O}}y}}$ και $\vartheta ={\widehat {x'{\rm {O}}'y'}}$ δύο γωνίες. Ταυτίζουμε την ${\rm {O}}x$ με την ${\rm {O}}'x'$ , ώστε η ${\rm {O}}'y'$ να βρίσκεται προς το μέρος της ${\rm {O}}y$ .^[2]^: 20-21

Αν οι ${\rm {O}}y$ και ${\rm {O}}'y'$ συμπίπτουν τότε λέμε ότι η γωνία $\varphi$ είναι ίση με την $\vartheta$ και γράφουμε $\varphi =\vartheta$ .
Αν η ${\rm {O}}'y'$ βρίσκεται στο εσωτερικό της ${\widehat {x{\rm {O}}y}}$ τότε λέμε ότι η $\varphi$ είναι μεγαλύτερη από την $\vartheta$ και γράφουμε $\varphi >\vartheta$ .
Αν η ${\rm {O}}'y'$ βρίσκεται στο εξωτερικό της ${\widehat {x{\rm {O}}y}}$ τότε λέμε ότι η $\varphi$ είναι μικρότερη από την $\vartheta$ και γράφουμε $\varphi <\vartheta$ .

Πράξεις γωνιών

Έστω $\varphi ={\widehat {x{\rm {O}}y}}$ και $\vartheta ={\widehat {x'{\rm {O}}'y'}}$ δύο γωνίες. Ταυτίζουμε την ${\rm {O}}y$ με την ${\rm {O}}'x'$ , έτσι ώστε οι δύο γωνίες να είναι διαδοχικές.

Άθροισμα των γωνιών $\varphi$ και $\vartheta$ ορίζουμε τη γωνία ${\widehat {x{\rm {O}}y'}}$ και γράφουμε ${\widehat {x{\rm {O}}y'}}=\varphi +\vartheta$ .^[2]^: 20^[2]^: 25
Έστω $n$ ένας φυσικός αριθμός. Αν ισχύει ότι

\vartheta =\underbrace {\varphi +\ldots +\varphi } _{n{\text{ φορές}}}

,

τότε λέμε ότι η

\vartheta

είναι το

n

-πλάσιο γινόμενο της

\varphi

και γράφουμε

\vartheta =n\cdot \varphi

. Γράφουμε επίσης

\vartheta ={\tfrac {1}{n}}\cdot \varphi

και λέμε ότι η

{\widehat {x{\rm {O}}y}}

είναι το υπο- $n$ -πλάσιο γινόμενο της

{\widehat {x'{\rm {O}}'y'}}

.^[2]^: 25

Έστω $m$ ένας φυσικός αριθμός και $\psi$ είναι μια γωνία για την οποία $\psi =m\cdot \varphi$ , τότε γράφουμε $\psi ={\tfrac {m}{n}}\cdot \vartheta$ , και λέμε ότι η $\psi$ είναι το γινόμενο ρητού αριθμού με γωνία.^[2]^: 25

Αν $\varphi >\vartheta$ , ταυτίζουμε την ${\rm {O}}x$ με την ${\rm {O}}'x'$ έτσι ώστε η ${\rm {O}}'y'$ να βρίσκεται στο εσωτερικό της ${\widehat {x{\rm {O}}y}}$ .^[2]^: 25

Διαφορά της $\vartheta$ από την $\varphi$ τη γωνία ${\widehat {y{\rm {O}}y'}}$ και γράφουμε ${\widehat {y{\rm {O}}y'}}=\varphi -\vartheta$ .

Μέτρηση γωνίας

Ως μέτρηση μιας γωνίας ${\widehat {x{\rm {O}}y}}$ εννοούμε την σύγκρισή της με μια άλλη γωνία, έστω ${\widehat {x'{\rm {O}}'y'}}$ , την οποία θεωρούμε αυθαίρετα μοναδιαία. Αν ισχύει ${\widehat {x{\rm {O}}y}}={\tfrac {\mu }{\nu }}\cdot {\widehat {x'{\rm {O}}'y'}}$ , λέμε ότι το μέτρο ή το άνοιγμα της ${\widehat {x{\rm {O}}y}}$ ως προς την ${\widehat {x'{\rm {O}}'y'}}$ είναι ${\tfrac {\mu }{\nu }}$ . Το μέτρο μιας γωνίας συνδέεται και με το μέτρο τόξου σε κύκλο.

Για παράδειγμα, η γωνία ίση με το ${\tfrac {1}{360}}$ της πλήρους γωνίας είναι η γωνία $1^{\circ }$ . Αντίστοιχα, ένα ακτίνιο είναι το ${\tfrac {1}{2\pi }}$ της πλήρους γωνίας.^{[Σημείωση 1]}

Συνοπτικά

Μονάδες	Εύρος τιμών
Τύπος	οξεία	ορθή	αμβλεία	ευθεία	ανάκλασης	περιγώνια
Στροφή	(0, 1/4)	1/4	(1/4, 1/2)	1/2	(1/2, 1)	1
Ακτίνια	(0, 1/2 $π$ )	1/2 $π$	(1/2 $π$ , $π$ )	$π$	( $π$ , 2 $π$ )	2 $π$
Μοίρες	(0, 90)°	90°	(90, 180)°	180°	(180, 360)°	360°
Βαθμοί	(0, 100)^g	100^g	(100, 200)^g	200^g	(200, 400)^g	400^g

Είδη από ζεύγη γωνιών

Διαδοχικές ή εφεξής γωνίες λέγονται δύο γωνίες που έχουν κοινή αρχή, μία κοινή πλευρά και κανένα κοινό εσωτερικό σημείο.^[2]^: 18

Δύο εφεξής γωνίες

{\widehat {x{\rm {O}}y}}

και

{\widehat {y{\rm {O}}z}}

.

Κατακορυφήν γωνίες λέγονται δύο γωνίες στις οποίες οι πλευρές της μιας είναι οι αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης.^[1]^: 23

Τα δύο ζεύγη από κατακορυφήν γωνίες που δημιουργούνται από την τομή των ευθειών

xx'

και

yy'

.

Παραπληρωματικές γωνίες λέγονται δύο γωνίες με άθροισμα μια ευθεία γωνία.^[2]^: 23
Συμπληρωματικές γωνίες λέγονται δυο γωνίες με άθροισμα μια ορθή γωνία.^[2]^: 23

Συμπληρωματικές γωνίες.

Έστω $\delta$ και $\varepsilon$ δύο ευθείες οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία $\zeta$ στα σημεία αντίστοιχα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ . Σχηματίζονται οχτώ γωνίες, όπως φαίνεται στο σχήμα δεξιά.^[1]^: 23

Οι γωνίες ${\hat {\rm {A}}}_{1}$ , ${\hat {\rm {A}}}_{2}$ , ${\hat {\rm {B}}}_{3}$ και ${\hat {\rm {B}}}_{4}$ λέγονται εκτός των $\delta$ και $\varepsilon$ αντίστοιχα.
Οι ${\hat {\rm {A}}}_{3}$ , ${\hat {\rm {A}}}_{4}$ , ${\hat {\rm {B}}}_{1}$ και ${\hat {\rm {B}}}_{2}$ λέγονται εντός των $\delta$ και $\varepsilon$ αντίστοιχα.
Δύο γωνίες οι οποίες βρίσκονται εκατέρωθεν της $\zeta$ λέγονται γωνίες εναλλάξ (της $\zeta$ ). Για παράδειγμα, οι ${\hat {\rm {A}}}_{3}$ και ${\hat {\rm {B}}}_{1}$ είναι γωνίες εναλλάξ της $\zeta$ , όπως επίσης και οι γωνίες ${\hat {\rm {A}}}_{4}$ και ${\hat {\rm {B}}}_{2}$ .
Τέλος δύο γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της (τέμνουσας ευθείας) $\zeta$ λέγονται επί τα αυτά μέρη της $\zeta$ . Για παράδειγμα, οι ${\hat {\rm {A}}}_{2}$ και ${\hat {\rm {B}}}_{2}$ είναι επί τα αυτά μέρη της $\zeta$ . Υπάρχουν και συνδυασμοί των πιο πάνω, για παράδειγμα, οι γωνίες ${\hat {\rm {A}}}_{1}$ και ${\hat {\rm {B}}}_{1}$ είναι εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη της $\zeta$ και οι γωνίες ${\hat {\rm {A}}}_{4}$ και ${\hat {\rm {B}}}_{1}$ εντός και επί τα αυτά μέρη της $\zeta$ .

Ιδιότητες

Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε:
- σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες,
- σχηματίζουν τις εντός-εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες,
- σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές.

Δύο γωνίες που έχουν πλευρές παράλληλες μία προς μία είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Απόδειξη

Απόδειξη: Έστω γωνίες φ και ω με πλευρές παράλληλες. Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:

Αν φ < 90° και ω < 90° τότε είναι ίσες ως εντός εκτός επί τα αυτά με γωνία ρ, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα (αριστερά επάνω).

Αν φ > 90° και ω > 90°, όπως στο αντίστοιχο σχήμα (αριστερά κάτω) τότε είναι ίσες ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών, από την προηγούμενη περίπτωση.

Αν φ < 90° και ω > 90° τότε είναι παραπληρωματικές ως ίσες προς παραπληρωματικές. Στο αντίστοιχο σχήμα (δεξιά) φερειπείν έχουμε φ = ρ και ω + ρ = 180°.

Δύο γωνίες που έχουν πλευρές κάθετες μία προς μία είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Απόδειξη

Απόδειξη: Έστω φ και ω δύο γωνίες με πλευρές κάθετες μία προς μία. Διακρίνουμε τρείς περιπτώσεις:

Αν φ < 90° και ω < 90° τότε από την κορυφή της ω φέρνουμε ημιευθείες παράλληλες αντίστοιχα στις πλευρές της φ, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα (επάνω). Η γωνία κΒι που σχηματίζεται θα είναι ίση με τη φ, σύμφωνα με την προηγούμενη ιδιότητα. Επίσης, επειδή η Βι είναι παράλληλη στην Αε και η Αε είναι κάθετη στην Βη, οι Βι, Βη είναι κάθετες, δηλαδή η γωνία ιΒη θα είναι ορθή. Όμοια, είναι και η κΒθ ορθή. Λαμβάνουμε διαδοχικά τις ακόλουθες ισότητες γωνιών:

κΒθ = ιΒη

κΒη + ηΒθ = ιΒκ + κΒη

ηΒθ = ιΒκ

ω = φ

Αν φ > 90° και ω > 90° τότε είναι ίσες ως παραπληρωματικές οξειών γωνιών με κάθετες πλευρές.

Αν φ < 90° και ω > 90° τότε, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα (κάτω), η εφεξής παραπληρωματική της ω είναι οξεία και έχει κάθετες πλευρές με τη φ, άρα είναι ίση της φ. Δηλαδή:

ηΒθ + θΒη' = 180°

ω + φ = 180°

Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.^{[Σημείωση 2]}
Αν δύο διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες, και αντίστροφα.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω δύο ευθείες στην μορφή

{{\varepsilon }_{1}}:y={{\lambda }_{1}}x+{{\beta }_{1}}

,

{{\varepsilon }_{2}}:y={{\lambda }_{2}}x+{{\beta }_{2}}

,

που δεν είναι κάθετες μεταξύ τους και που δεν είναι παράλληλες προς τον άξονα ${\rm {y'y}}$ . Τότε, για την γωνία τους $\phi$ , έχουμε

\tan \varphi ={\frac {{{\lambda }_{1}}-{{\lambda }_{2}}}{1+{{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}

,

ενώ γενικότερα για την οξεία γωνία $\phi$ των ευθειών έχουμε

\tan \varphi =\left|{\frac {{{\lambda }_{1}}-{{\lambda }_{2}}}{1+{{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}\right|

.

Σχετικές έννοιες

Διχοτόμος μίας γωνίας ${\widehat {x{\rm {O}}y}}$ ονομάζεται μία ημιευθεία ${\rm {O}}\delta$ που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και είναι τέτοια ώστε να χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες ${\widehat {x{\rm {O}}\delta }}$ και ${\widehat {\delta {\rm {O}}y}}$ .

Για τις διχοτόμους, ισχύουν οι δύο εξής βασικές ιδιότητες:

Οι διχοτόμοι δυο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.
Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες μεταξύ τους.^{[Σημείωση 3]}

Γενικεύσεις

Οι γωνίες ορίζονται επίσης με την τομή δυο επιπέδων, τόσο στον Ευκλείδειο, όσο και σε άλλους χώρους. Αυτές οι γωνίες μεταξύ επιπέδων ονομάζονται δίεδρες γωνίες. Ως γωνίες που σχηματίζονται με τη τομή δύο καμπυλών ορίζονται οι γωνίες που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες ημιευθείες που συναντιώνται στο σημείο τομής των δύο αυτών καμπυλών. Όμοιοι ορισμοί χρησιμοποιούνται και για τον τρισδιάστατο χώρο. Για παράδειγμα, μια «σφαιρική γωνία» σχηματίζεται από δυο μεγάλους κύκλους σε μια σφαίρα και είναι η δίεδρη γωνία ανάμεσα στα επίπεδα που ορίζονται από τους δυο μεγάλους κύκλους.

Δείτε επίσης

Σημειώσεις

↑ Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι αυτός ο ορισμός απαιτεί των ορισμών πράξεων σε γωνίες με όλους τους πραγματικούς αριθμούς, όχι μόνο τους ρητούς.
↑ Η απόδειξη βρίσκεται εδώ.
↑ Η απόδειξη βρίσκεται εδώ

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Ταβναλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ ^2,00 ^2,01 ^2,02 ^2,03 ^2,04 ^2,05 ^2,06 ^2,07 ^2,08 ^2,09 ^2,10 ^2,11 ^2,12 ^2,13 ^2,14 ^2,15 Ντάνης, Γιάννης. Γεωμετρία: Η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας. Gutenberg.
↑ Chisholm, Hugh; Phillips, Walter Alison, επιμ.. (1911), «Angle», Encyclopædia Britannica, 11th ed., Vol. II, Cambridge: Cambridge University Press .

[4] Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι αυτός ο ορισμός απαιτεί των ορισμών πράξεων σε γωνίες με όλους τους πραγματικούς αριθμούς, όχι μόνο τους ρητούς.

[5] Η απόδειξη βρίσκεται εδώ.

[6] Η απόδειξη βρίσκεται εδώ

[Tav-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Ταβναλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.

[Danis-2] 2,00 ^2,01 ^2,02 ^2,03 ^2,04 ^2,05 ^2,06 ^2,07 ^2,08 ^2,09 ^2,10 ^2,11 ^2,12 ^2,13 ^2,14 ^2,15 Ντάνης, Γιάννης. Γεωμετρία: Η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας. Gutenberg.

[3] Chisholm, Hugh; Phillips, Walter Alison, επιμ.. (1911), «Angle», Encyclopædia Britannica, 11th ed., Vol. II, Cambridge: Cambridge University Press .

[1]

[2]

[3]

[Σημείωση 1]

[Σημείωση 2]

[Σημείωση 3]

π σ ε Γωνία
Είδη γωνιών	μηδενική (0°) κυρτή (0° - 180°) οξεία (0° - 90°) ορθή (90°) αμβλεία (90° - 180°) ευθεία (180°) μη κυρτή (180° - 360°) πλήρης (360°) λοξή
Ζεύγη γωνιών	συμπληρωματικές παραπληρωματικές
Σχετικές θέσεις	διαδοχικές εφεξής κατακορυφήν εξωτερική επίκεντρη εγγεγραμμένη
Στερεομετρία	στερεά δίεδρη ωρική γωνίες Όιλερ
Πύλη Μαθηματικά Κατηγορία Commons