Φόρμουλα Μπέικερ – Κάμπελ – Χάουσντορφ

Στα μαθηματικά, η φόρμουλα Μπέικερ – Κάμπελ – Χάουσντορφ είναι η λύση για $Z$ στην εξίσωση

e^{X}e^{Y}=e^{Z}

για πιθανώς μη αντιμεταθετικό $X$ και $Y$ στην άλγεβρα Λι μιας ομάδας Λι . Υπάρχουν διάφοροι τρόποι γραφής του τύπου, αλλά όλοι τελικά δίνουν μια έκφραση για $Z$ με Λι αλγεβρικούς όρους, δηλαδή ως σειρά (όχι απαραίτητα συγκλίνουσα) στο $X$ και $Y$ και επαναλαμβάνοντας τους μεταγωγείς τους. Οι πρώτοι όροι αυτής της σειράς είναι:

Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots \,,

που " $\cdots$ " υποδηλώνει όρους που περιλαμβάνουν υψηλότερους μεταγωγείς του $X$ και $Y$ . Αν $X$ και $Y$ είναι αρκετά μικρά στοιχεία της άλγεβρας Λι ${\mathfrak {g}}$ μιας ομάδας Λι $G$ , η σειρά είναι συγκλίνουσα. Εν τω μεταξύ, κάθε στοιχείο $g$ αρκετά κοντά στην ταυτότητα του $G$ μπορεί να εκφραστεί ως $g=e^{X}$ για ένα μικρό $X$ σε ${\mathfrak {g}}$ . Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι κοντά στην ταυτότητα ο πολλαπλασιασμός της ομάδας $G$ - γραμμένος ως $e^{X}e^{Y}=e^{Z}$ - μπορεί να εκφραστεί με καθαρά αλγεβρικούς όρους Λι.

Αν $X$ και $Y$ είναι αρκετά μικρά $n\times n$ πίνακες, τότε $Z$ μπορεί να υπολογιστεί ως ο λογάριθμος του $e^{X}e^{Y}$ , όπου τα εκθετικά και ο λογάριθμος μπορούν να υπολογιστούν ως σειρές ισχύος.