Παράδοξο του Ράσελ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Ο Ράσελ το 1916

Στη θεμελίωση των μαθηματικών, το παράδοξο του Ράσελ (επίσης γνωστή ως αντινομία Russell), που ανακαλύφθηκε από τον Μπέρτραντ Ράσελ το 1901, έδειξε ότι η αφελής θεωρία συνόλων που δημιουργήθηκε από τον Γκέοργκ Κάντορ οδηγεί σε μια αντίφαση. Το ίδιο παράδοξο είχε ανακαλυφθεί ένα χρόνο πριν από τον Έρνστ Τσεμέλο, αλλά δεν είχε δημοσιεύσει την ιδέα, που έμεινε γνωστή μόνο στους Χίλμπερτ, Έντμουντ Χούσσερλ και άλλα μέλη του Πανεπιστημίου του Γκέτινγκεν.

Σύμφωνα με την αφελή θεωρία συνόλων, κάθε προσδιορίσιμη συλλογή είναι ένα σύνολο. Έστω R το σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι μέλη του εαυτού τους. Αν R μπορεί να θεωρηθεί ως ένα μέλος του εαυτού του, θα ήταν αντίθετος με τον δικό της ορισμό της ως σύνολο που περιέχει όλα τα σύνολα που δεν είναι μέλη του εαυτού τους. Από την άλλη πλευρά, εάν ένα τέτοιο σύνολο δεν είναι μέλος του εαυτού του, θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί ως ένα μέλος της ίδιας από τον ίδιο ορισμό. Αυτή η αντίφαση είναι παράδοξο του Ράσελ.

Το παράδοξο του Ράσελ αποτέλεσε τη βάση την αιτιολόγησης, η οποία τον οδήγησε να διαγράψει οποιαδήποτε ελπίδα έτρεφε, για τη θεμελίωση των μαθηματικών σε όρους λογικής. Ο σκοπός της έρευνας ήταν η θεωρία των συνόλων. Και η σκέψη του Ράσελ ήταν ότι, κάθε είδος συνόλου θα πρέπει να ανήκει σε ένα ευρύτερο σύνολο, αλλά η αιτιολόγησή του οδήγησε σε ένα παράδοξο. Ανακάλυψε ότι υπήρχαν σύνολα που δεν ανήκουν σε κανένα άλλο σύνολο, αποδεικνύοντας ότι αυτή η λογική δεν ευσταθεί: το σύνολο όλων των συνόλων (τα οποία δεν περιέχουν τον εαυτό τους), θα πρέπει να περιέχει και να μην περιέχει τον εαυτό του, ταυτόχρονα.

Ο Ράσελ το εξήγησε αυτό με μία μικρή ιστορία: «Σε μια χώρα που όλοι οι άντρες είναι καθημερινά ξυρισμένοι, υπάρχει ένας μόνο κουρέας. Αυτός ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τότε όμως ποιος ξυρίζει τον κουρέα;». Αναλύοντας το πρόβλημα με τη βοήθεια της Θεωρίας των Συνόλων, είναι σαφές ότι στη χώρα υπάρχουν το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται μόνοι τους και το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται στον κουρέα. Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του; Αδύνατον, αφού ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τον ξυρίζει κάποιος άλλος; Όχι, γιατί ο κουρέας ξυρίζει όλους όσοι δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Βρισκόμαστε εδώ μπροστά σ’ ένα παράδοξο. Σύμφωνα με τον Ράσελ, για να το ξεπεράσουμε πρέπει να διορθώσουμε τη δική μας λανθασμένη αντίληψη ότι για κάθε ιδιότητα πρέπει οπωσδήποτε να υπάρχει ένα σύνολο. Σ’ αυτή την περίπτωση δε δημιουργείται κανένα ομοιογενές σύνολο.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]