Αρχή αποκλειόμενου μέσου

Η αρχή του αποκλειόμενου μέσου ή νόμος της του τρίτου αποκλείσεως στην τυπική λογική γράφεται:

$P \lor \neg P.\!$.

Συχνά επίσης σημειώνεται ως:

$\forall P (P \lor \neg P)\!$,

για κάθε πρόταση P, P είναι αληθής ή "όχι-P" είναι αληθής.

Παράδειγμα 1

Για την πρόταση "Ο Σωκράτης είναι θνητός" ας πούμε ότι δεν γνωρίζουμε την τιμή αλήθειας. Με βάση την αρχή αποκλειόμενου μέσου προκύπτει ότι η διάζευξη "Είτε ο Σωκράτης είναι θνητός είτε είναι όχι-θνητός" είναι αληθής.

Παράδειγμα 2

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν δύο άρρητοι αριθμοί $a \,$ και $b \,$ ώστε ο $a^b \,$ να είναι ρητός.

Απόδειξη:

O $\sqrt{2}$ είναι άρρητος.

Ας πάρουμε τον αριθμό $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$.

Αυτός θα είναι είτε ρητός είτε άρρητος (αρχή αποκλειόμενου μέσου).

Αν είναι ρητός η απόδειξη τελειώνει εδώ.

Αν είναι άρρητος τότε ας πάρουμε

$\ a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \,$ και $\ b = \sqrt{2} \,$.

Τότε είναι

$a^b = \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\right)} = \sqrt{2}^2 = 2$.

Ο αριθμός 2 είναι ρητός, και τούτο ολοκληρώνει την απόδειξη.-

Σχέση με προτασιακή λογική και αρχή μη-αντίφασης

Η προτασιακή λογική προϋποθέτει ότι κάθε λογική πρόταση λαμβάνει ακριβώς μία από τις δύο τιμές αλήθειας (αληθές ή ψευδές). Η λεγόμενη κλασική λογική καθώς και οι περισσότερες (αλλά όχι όλες) θεωρίες μαθηματικής λογικής είναι προτασιακές λογικές. Χρησιμοποιείται και ο όρος δίτιμη ή δισθενής (bivalent) λογική.

Το "ή" στην αρχή αποκλειόμενου μέσου είναι απλή διάζευξη και όχι αποκλειστική διάζευξη. Από την αρχή αποκλειόμενου μέσου, μόνη της, δεν αποκλείεται η περίπτωση P είναι αληθής και "όχι-P" είναι αληθής. Επομένως η αρχή μη-αντίφασης συμπληρώνει την αρχή αποκλειόμενου μέσου.

Συνοψίζοντας:

• Προτασιακή λογική: Για κάθε πρόταση P, P είναι ή αληθής ή ψευδής. Η αρχή αυτή μπορεί να εκφραστεί μόνο στη μεταγλώσσα και δεν περιλαμβάνεται στους ορισμούς ή αξιώματα της μαθηματικής λογικής θεωρίας.

• Αρχή αποκλειόμενου μέσου: Για κάθε πρόταση P, P είναι αληθής ή "όχι-P" είναι αληθής. P ∨ ¬P

• Αρχή μη-αντίφασης: Για κάθε πρόταση P, αποκλείεται να ισχύει ότι και P είναι αληθής και "όχι-P" είναι αληθής. ¬(P ∧ ¬P)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Λογική των προτάσεων