Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Έκδοση από την 21:24, 17 Σεπτεμβρίου 2022
Στην θεωρία πιθανοτήτων , η μέθοδος της δεύτερης ροπής αναφέρεται σε τεχνική απόδειξης ότι μία τυχαία μεταβλητή
X
{\displaystyle X}
είναι μη-μηδενική με θετική πιθανότητα, δηλαδή
Pr
(
X
≠
0
)
>
0
{\displaystyle \Pr(X\neq 0)>0}
, με την χρήση της ροπής δεύτερης τάξης, δηλαδή την
E
(
X
2
)
{\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}
ή διακύμανση
Var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)}
. Συνήθως αναφέρεται στην χρήση της εξής ανισότητας για κάθε ακέραια τυχαία μεταβλητή
X
{\displaystyle X}
με
E
(
X
)
≠
0
{\displaystyle \operatorname {E} (X)\neq 0}
,[1] :47 [2] :143 [3]
Pr
(
X
=
0
)
≤
Var
(
X
)
(
E
(
X
)
)
2
.
{\displaystyle \Pr(X=0)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{(\operatorname {E} (X))^{2}}}.}
Για μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή
X
{\displaystyle X}
, εμφανίζεται και με την μορφή
Pr
(
X
>
0
)
≥
(
E
(
X
)
)
2
E
(
X
2
)
.
{\displaystyle \Pr(X>0)\geq {\frac {(\operatorname {E} (X))^{2}}{\operatorname {E} (X^{2})}}.}
Αποδείξεις
1η Μορφή
Για την τυχαία μεταβλητή
X
{\displaystyle X}
με διακύμανση
Var
(
X
)
<
∞
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)<\infty }
, η ανισότητα Chebyshev δίνει για
a
=
E
(
X
)
{\displaystyle a=\operatorname {E} (X)}
Pr
(
|
X
−
E
(
X
)
|
≥
E
(
X
)
)
≤
Var
(
X
)
(
E
(
X
)
)
2
.
{\displaystyle \Pr(|X-\operatorname {E} (X)|\geq \operatorname {E} (X))\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{(\operatorname {E} (X))^{2}}}.}
Όταν
X
=
0
{\displaystyle X=0}
έπεται ότι
|
X
−
E
(
X
)
|
≥
E
(
X
)
{\displaystyle |X-\operatorname {E} (X)|\geq \operatorname {E} (X)}
. Συνεπώς,
Pr
(
X
=
0
)
≤
Pr
(
|
X
−
E
(
X
)
|
≥
E
(
X
)
)
≤
Var
(
X
)
(
E
(
X
)
)
2
.
{\displaystyle \Pr(X=0)\leq \Pr(|X-\operatorname {E} (X)|\geq \operatorname {E} (X))\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{(\operatorname {E} (X))^{2}}}.}
2η Μορφή
Η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για δύο τυχαίες μεταβλητές
A
{\displaystyle A}
και
B
{\displaystyle B}
, ισχύει ότι
(
E
(
A
B
)
)
2
≤
E
(
A
2
)
E
(
B
2
)
.
{\displaystyle (\operatorname {E} (AB))^{2}\leq \operatorname {E} (A^{2})\operatorname {E} (B^{2}).}
Για την ζητούμενη ανισότητα, θεωρούμε την δείκτρια τυχαία μεταβλητή
Z
=
1
X
>
0
{\displaystyle Z=\mathbf {1} _{X>0}}
, για την οποία ισχύει ότι
E
(
Z
)
=
Pr
(
X
>
0
)
{\displaystyle \operatorname {E} (Z)=\Pr(X>0)}
και
Z
2
=
Z
{\displaystyle Z^{2}=Z}
από τις ιδιότητες των δείκτριων τυχαίων μεταβλητών. Επίσης, ισχύει ότι
Z
⋅
X
=
X
{\displaystyle Z\cdot X=X}
,
καθώς η
X
{\displaystyle X}
είναι μη-αρνητική και αν
X
=
0
{\displaystyle X=0}
τότε και
Z
=
0
{\displaystyle Z=0}
(άρα
0
=
Z
X
=
X
{\displaystyle 0=ZX=X}
), ενώ διαφορετικά
Z
=
1
{\displaystyle Z=1}
(άρα
Z
X
=
X
{\displaystyle ZX=X}
). Συνεπώς χρησιμοποιώντας την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς,
(
E
(
X
)
)
2
=
(
E
(
Z
X
)
)
2
≤
E
(
Z
2
)
⋅
E
(
X
2
)
=
E
(
Z
)
⋅
E
(
X
2
)
=
Pr
(
X
>
0
)
⋅
E
(
X
2
)
.
{\displaystyle (\operatorname {E} (X))^{2}=(\operatorname {E} (ZX))^{2}\leq \operatorname {E} (Z^{2})\cdot \operatorname {E} (X^{2})=\operatorname {E} (Z)\cdot \operatorname {E} (X^{2})=\Pr(X>0)\cdot \operatorname {E} (X^{2}).}
Αναδιατάσσοντας τα δύο μέλη της ανισότητας, προκύπτει το ζητούμενο
Pr
(
X
>
0
)
≥
(
E
(
X
)
)
2
E
(
X
2
)
.
{\displaystyle \Pr(X>0)\geq {\frac {(\operatorname {E} (X))^{2}}{\operatorname {E} (X^{2})}}.}
Παραπομπές