Πεπερασμένη διαφορά

Η πεπερασμένη διαφορά είναι μία μαθηματική έκφραση της μορφής f(x + b) − f(x + a). Αν η πεπερασμένη διαφορά διαιρείται από το b − a, τότε αυτή λαμβάνει μόνο ένα πεπερασμένο πηλίκο.Ο υπολογισμός των παραγώγων από τις πεπερασμένες διαφορές παίζει βασικό ρόλο στις μεθόδους πεπερασμένης διαφοράς για την αριθμητική λύση των διαφορικών εξισώσεων, ειδικότερα στα προβλήματα συνοριακών τιμών.

Ορισμένες επαναληπτικές σχέσεις μπορούν να γραφούν ως εξισώσεις διαφοράς αντικαθιστώντας την προσέγγιση της σημειογραφείας με τις πεπερασμένες διαφορές.

Σήμερα, ο όρος "πεπερασμένη διαφορά" συχνά λαμβάνεται ως συνώνυμο με τους υπολογισμούς της πεπερασμένης διαφοράς των παραγώγων, ειδικότερα στο πλαίσιο των αριθμητικών μεθόδων. Οι υπολογισμοί των πεπερασμένων διαφορών είναι πηλίκα της πεπερασμένης διαφοράς στην ορολογία που χρησιμοποιήθηκε ανωτέρω.

Οι πεπερασμένες διαφορές,επίσης,έχουν γίνει το θέμα μελέτης ως αφηρημένα αυτοτελή μαθηματικά αντικείμενα, π.χ. σε έργα των George Boole (1860), L. M. Milne-Thomson (1933), και Károly Jordan (1939), εντοπίζοντας τις προελέυσεις των αλγορίθμων του Jost Bürgi (ca. 1592) και άλλων συμπεριλαμβανομένου του Isaac Newton. Σε αυτό το σημείο, o τυπικός λογισμός των πεπερασμένων τιμών είναι εναλλακτικός του λογισμού των απειροελάχιστων.

Forward, backward, and central differences

Τρεις μορφές μελετώνται ευρέως: οι άναντες,οι κάταντες και οι κεντρώες διαφορές.

Η ανάντη διαφορά είναι μια έκφραση της μορφής

$\Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).\$

Σύμφωνα με την εφαρμογή, η τάξη h μπορεί να είναι μεταβλητή ή σταθερή. Όταν παραλείπεται, η h θεωρείται ότι είναι 1: $\Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)$.

Η κατάντη διαφορά χρησιμοποιεί τις τιμές της συνάρτησης στο x και x − h, αντί των τιμών στο x + h and x:

$\nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h).\$

Τελικά, η κεντρώα διαφορά δίνεται από

$\delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h)~.$

Σχέση με τις παραγώγους

Η παράγωγος της συνάρτησης f στο σημείο x ορίζεται από το [όριο]]

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

Αν η h λαμβάνει μια σταθερή (μη μηδενική) τιμή αντί να πλησιάζει το μηδέν, τότε η δεξιά πλευρά της παραπάνω εξίσωσης γράφεται

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.$

Συνεπώς, η ανάντη διαφορά που διαιρείται από το h πλησιάζει την παράγωγο όταν το h είναι μικρό. Το σφάλμα σε αυτή την προσέγγιση μπορεί να βρεθεί από τον Τύπο του Tέιλορ. Λαμβάνοντας υπόψη, ότι η f είναι διαφορίσιμη , έχουμε

${\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}(h\to 0).$

O ίδιος τύπος αναμένεται για την ανάντη διαφορά:

${\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}(h\to 0).$

Ωστόσο, η κεντρώα (ή αλλιώς κεντρική) διαφορά αποδίδει μια πιο ακριβή προσέγγιση. Αν η f είναι δύο φορές διαφορίσιμη,

${\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2}).\!$

Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο της κεντρώας διαφοράς, ωστόσο , είναι οι λειτουργίες ταλάντωσης αποδίδουν μηδενική παράγωγο. Αν f(nh)=1 για n περιττό, και f(nh)=2 για n άρτιο, αλλιώς f ' (nh)=0 αν υπολογίζεται με το συνδυασμό της κεντρώας διαφοράς. Αυτό είναι ιδιαίτερα ενοχλητικό αν ο κλάδος της f είναι διακεκριμένος.

Συγγραφείς για τους οποίους οι πεπερασμένες διαφορές σημαίνουν προσεγγίσεις πεπερασμένων διαφορών ορίζουν τις άναντες/κάταντες/κεντρώες διαφορές ως πηλίκα που δίνονται σε αυτή την ενότητα. (αντί να χρησιμοποιεί τους ορισμούς που δόθηκα στην προηγούμενη ενότητα.)

Υψηλότερης τάξης διαφορές

Με ανάλογο τρόπο,μπορεί κανείς να ανάγει τις προσεγγίσεις πεπερασμένης διαφοράς σε υψηλότερης τάξης παραγώγους και διαφορικούς φορείς. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο κεντρικής διαφοράς για f ' (x+h/2) και f ' (x−h/2) και εφαρμόζοντας τον τύπο της κεντρικής διαφοράς για την παράγωγο της f ' στο x, παίρνουμε την προσέγγιση της κεντρικής διαφοράς της δεύτερης παραγώγου της f:

Κεντρική 2ης τάξης

$f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να εφαρμόσουμε άλλους τύπους διαφοράς με έναν αναδρομικό τρόπο.

Ανάντη 2ης τάξης

$f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.$

Γενικότερα , οι n-ης τάξης άνατες, κάταντες, και κεντρικές διαφορές δίνονται,αντίστοιχα,

Ανάντη

$\Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h),$

ή για h=1,

$\Delta ^{n}[f](x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}f(x+k)$

Κατάντη

$\nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),$

Κεντρική

$\delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).$

Αυτές οι εξισώσεις χρησιμοποιούν διωνυμικούς συντελεστές ύστερα από το σημείο άθροισης απεικονίζονται ως $\ {\binom {n}{i}}$. Κάθε σειρά από το Τρίγωνο του Πασκάλ παρέχει τον συντελεστή για κάθε τιμή του i.

Παρατήρησε ότι η κεντρική διαφορά θα, για περιττό n, έχει h πολλαπλασιαζόμενο με μη ακέραιο. Αυτό είναι συχνά πρόβλημα επειδή ανέρχεται σε αλλαγή του διαστήματος διακριτοποίησης. Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί παίρνοντας το μέσο όρο του $\delta ^{n}[f](x-h/2)$ και $\delta ^{n}[f](x+h/2)$.

Οι άναντες διαφορές που εφαρμόζονται σε μία ακολουθία ονομάζονται μερικές φορές διωνυμικός μετασχηματισμός της ακολουθίας, και έχουν μια σειρά από ενδιαφέρουσες συνδυαστικές ιδιότητες. Οι άναντες διαφορές μπορούν να εκτιμηθούν χρησιμοποιώντας το Nörlund–Rice ολοκλήρωμα. Η αναπαράσταση του ολοκληρώματος για αυτούς τους τύπους των σειρών είναι ενδιαφέρουσα, επειδή το ολοκλήρωμα μπορεί συχνά να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας ασυμπτωτική επέκταση ή saddle-point τεχνικές: αντίθετα, η άναντη διαφορά των σειρών μπορεί να είναι εξαιρετικά δύσκολο να εκτιμηθεί αριθμητικά, επειδή οι οι διωνυμικοί συντελεστές αυξάνονται με ταχείς ρυθμούς για μεγάλα n.

Η σχέση των διαφορών υψηλότερης τάξης με τις αντίστοιχες παραγώγους είναι απλή,

${\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h^{2}).$

Οι υψηλότερης τάξης διαφορές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να φτιάξουμε καλύτερες προσεγγίσεις. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η πρώτης τάξης διαφορά προσεγγίζει την παράγωγο πρώτης τάξης σε έναν όρο της τάξης h. Ωστόσο, ο συνδυασμός

${\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}$

προσεγγίζει την f'(x) σε έναν όρο της τάξης h². Αυτό αποδεικνύεται αναπτύσσοντας την παραπάνω έκφραση στις Σειρές Τέιλορ, ή χρησιμοποιώντας το λογισμό των πεπερασμένων διαφορών,που εξηγείται παρακάτω.

Αν χρειάζεται,η πεπερασμένη διαφορά μπορεί να κεντράρεται γύρω από οποιοδήποτε σημείο συνδυάζοντας τις άναντες, κάταντες και κεντρικές διαφορές.

Πυρήνες αυθαίρετου μεγέθους

Χρησιμοποιώντας λίγο την γραμμική άλγεβρα, μπορεί κανείς αρκετά εύκολα να φτιάξει προσεγγίσεις, της οποίας παίρνω δείγμα ένα αυθαίρετο αριθμό σημείων από τα αριστερά και έναν (ενδεχομένως διαφορετικό) αριθμό σημείων από τα δεξιά του κεντρικού σημείου,για κάθε τάξη της παραγώγου. Αυτό συνεπάγεται την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος έτσι ώστε η επέκταση Τέιλορ του αθροίσματος των εν λόγω σημείων ,γύρω από το κεντρικό σημείο,να προσεγγίζει καλά την επέκταση Τέιλορ της επιθυμητής παραγώγου.

Αυτό είναι χρήσιμο για την διαφοροποίηση μιας συνάρτησης σε μια περιοχή,όπου,καθώς αυτή θα πλησιάζει την άκρη της περιοχής, πρέπει να λαμβάνεται δείγμα όλο και λιγότερων σημείων στη μία πλευρά.

Οι λεπτομέρειες συνοψίζονται σε αυτές τις σημειώσεις.

Ιδιότητες

• Για όλα τα θετικά k and n

$\Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h).$

• Κανόνας Leibniz:

$\Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).$

Μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς

Μία σημαντική εφαρμογή των πεπερασμένων διαφορών είναι στην αριθμητική ανάλυση, ειδικότερα στις αριθμητικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες στοχεύουν στην αριθμητική επίλυση των συνήθεις and μερικών διαφορικών εξισώσεων αντίστοιχα. Η ιδέα είναι να αντικατασταθούν οι παράγωγοι που εμφανίζονται στην διαφορική εξίσωση από τις πεπερασμένες διαφορές που τις προσεγγίζουν. Οι μέθοδοι που προκύπτουν ονομάζονται μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς.

Κοινές εφαρμογές της μεθόδου πεπερασμένης τιμής συναντώνται στην υπολογιστική επιστήμη και στην εφαρμοσμένη μηχανική, όπως θερμική μηχανική, μηχανική των ρευστών, κτλ.

Σειρές του Νεύτων

Οι Σειρές του Νεύτων ,αποτελούνται από τους όρους της εξίσωσης άναντης διαφοράς του Νεύτων, πήραν το όνομα τους από τον Ισαάκ Νεύτων; στην ουσία, είναι ο τύπος παρεμβολής του Νεύτων, που δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά στο Principia Mathematica του το 1687, και συγκεκριμένα το διακριτό ανάλογο της συνεχούς επέκτασης Τέιλορ,

Πρότυπο:Equation box 1 η οποία ισχύει για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση f και για τις περισσότερες (αλλά όχι όλες) τις αναλυτικές συναρτήσεις. Εδώ,η έκφραση

${x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}$

είναι ο διωνυμικός συντελεστής, και

$(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)$

είναι το "φθίνων παραγοντικό" ή το "κατώτερο παραγοντικό", ενώ το κενό γινόμενο (x)₀ ορίζεται να είναι είναι 1. Σε αυτή τη συγκεκριμένη περίπτωση, υπάρχει μια υπόθεση των βημάτων μονάδα για τις αλλαγές στις τιμές των x, h = 1 της παρακάτω γενίκευσης.

Σημειώστε την συνήθη αντιστοιχία αυτού του αποτελέσματος στο Θεώρημα του Τέιλορ. Ιστορικά,αυτό, καθώς και η ταυτότητα του Chu–Vandermonde,

$(x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(x)_{n-k}~(y)_{k}~,$

(απορρέουσες απο αυτή,και αντιστοιχίζοντας την διωνυμική θεωρία), συμπεριλαμβάνονται στις παρατηρήσεις που έληξαν στο σύστημα του umbral λογισμού.

Για να φανεί το πώς κανείς μπορεί να χρησιμοποιήσει τον τύπο του Νεύτων στην πράξη, εξετάστε τους πρώτους όρους διπλασιασμού της Σειράς Fibonacci f = 2, 2, 4, ... Μπορεί κανείς να βρει ένα πολυώνυμο που αναπαράγει αυτές τις τιμές, με πρώτο τον υπολογισμό ενός πίνακα διαφοράς, και στη συνέχεια αντικαθιστώντας τις διαφορές που αντιστοιχούν στο x₀ (υπογραμμισμένο) στο τύπο όπως ακολουθεί,

${\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}$

Στην περίπτωση των μη-ομοιόμορφων μέτρων στις τιμές του x, ο Νεύτων υπολογίζει τις διαχωρίσιμες διαφορές,

$\Delta _{j,0}=y_{j},\quad \quad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\ \ j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\quad \quad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}$

τις σειρές των γινομένων,

${P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right)~,$

και το πολυώνιμο που προκύπτει είναι το βαθμωτό γινόμενο, $f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right)$ .

Σε ανάλυση με τους p-adic αριθμούς, το Θεώρημα του Μάλερ αναφέρει ότι η υπόθεση ότι η f είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση μπορεί να αποδυναμώσει όλη τη διαδρομή προς την υπόθεση ότι η f είναι απλώς συνεχής.

Το Θεώρημα του Κλάρσον παρέχει σημαντικές και επαρκείς συνθήκες για τη μοναδικότητα των σειρών του Νεύτων,αν υπάρχει.Ωστόσο, οι σειρές του Νεύτων,γενικά,δεν υπάρχουν.

Οι σειρές του Νεύτων,μαζί με τις σειρές του Στέρλινγκ και τις σειρές του Σέλμπεργκ, είναι μια ειδική περίπτωση της γενικής διαφοράς των σειρών, οι οποίες ορίζονται στο πλαίσιο της κατάλληλης κλιμάκωσης των άναντων διαφορών.

Σε μία συμπιεσμένη και ελαφρώς πιο γενική μορφή και σε ίση απόσταση κόμβων ο τύπος διαβάζει

$f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).$

Λογισμός των πεπερασμένων διαφορών

Η προς τα εμπρός διαφορά μπορεί να θεωρηθεί ως operator διαφοράς, η οποία καθορίζει την συνάρτηση f σε Δ_h[f ]. Αυτός ο φορέας ισοδυναμεί με

$\Delta _{h}=T_{h}-I,\,$

όπου T_h είναι ο μεταβαλλόμενος φορέας με δείκτη h, ορίζεται από T_h[f ](x) = f(x+h), και I είναι ο φορέας ταυτότητας.

Η πεπερασμένη διαφορά των υψηλότερων τάξεων μπορεί να οριστεί με αναδρομικό τρόπο όπως Δ_hⁿ ≡ Δ_h (Δ_hⁿ⁻¹). Ένας άλλος ισοδύναμος ορισμός είναι Δ_hⁿ = [T_h −I]ⁿ.

Ο φορέας διαφοράς Δ_h είναι ένας γραμμικός φορέας και ικανοποιεί έναν ειδικό κανόνα του Leibniz που αναφέρθηκε παραπάνω, Δ_h(f(x)g(x)) = (Δ_hf(x)) g(x+h) + f(x) (Δ_hg(x)). Όμοιες δηλώσεις ισχύουν και για τις προς τα πίσω και κεντρικές διαφορές.

Τυπικά,εφαρμόζωντας τις σειρές Τέιλορ σε σχέση με το h, δίνει τον τύπο

$\Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\cdots =\mathrm {e} ^{hD}-I~,$

όπου το D δηλώνει την συνεχή παράγωγο του φορέα, καθορίζοντας την f στην παράγωγο της f'. Η επέκταση είναι έγκυρη όταν και οι δυο πλευρές δρουν ως αναλυτικές συναρτήσεις, για αρκετά μικρό h. Έτσι, T_h=e^hD, και τυπικά αναστρέφοντας τις εκθετικές αποδόσεις

$hD=\log(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\Delta _{h}^{3}+\cdots .\,$

Ο τύπος αυτός οδηγεί στην έννοια ότι και οι δυο τύποι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα όταν εφαρμόζεται σε ένα πολυώνυμο.

Ακόμα και για τις αναλυτικές συναρτήσεις,οι σειρές στα δεξιά δεν εγγυάται ότι συγκλίνουν: μπορεί να είναι ασυμπτωτική σειρά. Ωστόσο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρεθούν πιο ακριβείς μετασχηματισμοί για την παράγωγο. Για παράδειγμα, διατηρώντας τους πρώτους δύο όρους της σειράς παράγει η προσέγγιση της δεύτερης τάξης την f’(x) όπως αναφέρθηκε στο τέλος της mentioned at the end of the ενότητας των υψηλότερης τάξης διαφορών. Οι ανάλογοι τύποι για τους φορείς της προς τα πίσω και κεντρικής διαφοράς είναι

$hD=-\log(1-\nabla _{h})\quad {\text{and}}\quad hD=2\,\operatorname {arsinh} ({\tfrac {1}{2}}\delta _{h}).$

Ο λογισμός των πεπερασμένων διαφορών σχετίζεται με τον umbral λογισμό της συνδυαστικής. Αυτή η εξαιρετικά συστηματική αντιστοιχία οφείλεται στην ταυτότητα των μετατροπέων των umbral ποσοτήτων στο αναλογικό συνεχές τους (h→0 limits),

Ένας μεγάλος αριθμός των τυπικών διαφορικών σχέσεων του λογισμού με νόρμα αφορά συναρτήσεις f(x) άρα καθορίζει συστηματικά την umbral αναλογική πεπερασμένη διαφορά που αφορά την f(xT_h⁻¹).

Για παράδειγμα, η umbral αναλογική ενός μονώνυμου xⁿ είναι μια γενίκευση της falling παραγοντικό (Pochhammer k-symbol),

$~(x)_{n}\equiv (xT_{h}^{-1})^{n}=x(x-h)(x-2h)\cdots (x-(n-1)h)$ ,

έτσι ώστε

${\frac {\Delta _{h}}{h}}~(x)_{n}=n~(x)_{n-1}~,$

άρα ο παραπάνω τύπος παρεμβολής Τέιλορ (αντιστοιχίζοντας συντελεστές στην επέκταση μιας αυθαίρετης συνάρτησης f(x) σε τέτοια σύμβολα), και ούτω καθεξής.

Για παράδειγμα, το ημίτονο είναι

$\sin(x\,T_{h}^{-1})=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots .$

Όπως στο συνεχές όριο, η ιδιοσυνάρτηση της Δ_h /h επίσης συμβαίνει να είναι μια εκθετική,

${\frac {\Delta _{h}}{h}}~(1+\lambda h)^{x/h}={\frac {\Delta _{h}}{h}}~e^{\ln(1+\lambda h)~x/h}=\lambda ~e^{\ln(1+\lambda h)~x/h}~,$

και άρα τα αθροίσματα Φουριέρ των συνεχών συναρτήσεων αντιστοιχίζονται εύκολα σε umbral αθροίσματα Φουριέρ ακριβώς, που αφορούν τους ίδιους συντελεστές Φουριέρ πολλαπλασιάζοντας αυτές τις umbral εκθετικές βάσεις. Αυτή η umbral εκθετική ισοδυναμεί με την εκθετική συνάρτηση παραγωγής των Pochhammer συμβόλων.

Έτσι,για παράδειγμα, η συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ καθορίζει τους umbral αντιπροσώπους, την απόλυτη ημιτονοειδή συνάρτηση,

$\delta (x)\mapsto {\frac {\sin {\bigl [}{\frac {\pi }{2}}(1+x/h){\bigr ]}}{\pi (x+h)}}~,$

και ούτω καθεξής. Οι πεπερασμένες εξισώσεις μπορούν συχνά να λυθούν με τεχνικές πολύ όμοιες με εκείνες για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων.

O αντίστροφος φορέας του φορέα της προς τα εμπρός διαφοράς, ώστε στη συνέχεια το umbral ολοκλήρωμα, είναι το αόριστο άθροισμα ή ο φορέας της αντί διαφοράς.