Συνήθης διαφορική εξίσωση

Στα μαθηματικά, μία συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) είναι μια διαφορική εξίσωση η οποία περιέχει μία ή περισσότερες συναρτήσεις που αποτελούνται από μία ανεξάρτητη μεταβλητή και τις παραγώγους της. Ο όρος συνήθης χρησιμοποιείται σε αντίθεση με τον όρο μερική διαφορική εξίσωση το οποίο μπορεί να εκτιμηθεί σε περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές.

Οι ΣΔΕ που είναι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις έχουν ακριβείς κλειστής μορφής λύσεις οι οποίες μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν με συντελεστές.Από την άλλη,ΣΔΕ που δεν έχουν προσθετικές λύσεις είναι μη γραμμικές και η λύση τους είναι αρκετά πολύπλοκη,καθώς μπορούν να απεικονιστούν από στοιχειώδεις συναρτήσεις που έχουν λύσεις κλειστής μορφής.Αντ'αυτού ακριβής και αναλυτικές λύσεις ΣΔΕ βρίσκονται σε σειρές και ολοκληρώματα.Γραφικές και αριθμητικές μέθοδοι που εφαρμόζονται είτε χειρόγραφα είτε στον υπολογιστή,μπορεί να προσεγγίσουν λύσεις ΣΔΕ και ίσως να αποδώσουν χρήσιμες πληροφορίες,συχνά επαρκής εν απουσία αναλυτικών λύσεων.

Ιστορικό Σημείωμα

Οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) προκύπτουν σε πολλά πλαίσια των μαθηματικών και της επιστήμης (κοινωνική καθώς και φυσική). Οι σύγχρονες μαθηματικές περιγραφές αλλάζουν τη χρήση των διαφορικών και των παραγώγων. Ποικίλα διαφορικά, παράγωγα και συναρτήσεις σχετίζονται μεταξύ τους μέσω εξισώσεων, έτσι μία διαφορική εξίσωση είναι αποτέλεσμα που περιγράφει τα δυναμικά μεταβαλλόμενα φαινόμενα, την εξέλιξη και τη διακύμανση. Συχνά, οι ποσότητες ορίζονται ως ο ρυθμός μεταβολής των άλλων ποσοτήτων (για παράδειγμα, παράγωγα της μετατόπισης ως προς το χρόνο), ή οι κλίσεις των ποσοτήτων που είναι το πως θα εισαχθούν οι διαφορικές εξισώσεις.

Οι ειδικοί τομείς των μαθηματικών περιλαμβάνουν την γεωμετρία και την αναλυτική μηχανική. Οι επιστημονικοί τομείς περιλαμβάνουν ένα μεγάλο μέρος της φυσικής και της αστρονομίας (μηχανική ουρανίων σωμάτων), τη μετεωρολογία (μοντελοποίηση των καιρικών συνθηκών), τη χημεία (ποσοστά αντίδρασης), τη βιολογία (λοιμώδη νοσήματα, γενετική παραλλαγή), την οικολογία και την μοντελοποίηση του πληθυσμού (ανταγωνισμός πληθυσμού), την οικονομία (τάσεις των αποθεμάτων, τα επιτόκια και οι μεταβολές των τιμών ισορροπίας της αγοράς).

Πολλοί μαθηματικοί έχουν μελετήσει τις διαφορικές εξισώσεις και συνέβαλαν στον τομέα αυτό, μερικοί από αυτούς είναι οι Ισαάκ Νεύτων, Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς, οικογένεια Bernoulli, Riccati, Clairaut, Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ και Λέοναρντ Όιλερ.

Ένα απλό παράδειγμα είναι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα - η σχέση ανάμεσα στη μετατόπιση x και το χρόνο t ενός αντικειμένου με δύναμη F δίνεται από τη διαφορική εξίσωση

$m{d^{2}x(t) \over dt^{2}}=F(x(t))$

η οποία περιορίζει την κίνηση ενός σωματιδίου σταθερής μάζας m. Σε γενικές γραμμές, F είναι η συνάρτηση θέσης x(t) του σωματιδίου στο χρόνο t. Η άγνωστη συνάρτηση x(t) εμφανίζεται και στα δύο μέρη της διαφορικής εξίσωσης, και περιλαμβάνεται στην παράσταση F(x(t)).

Ορισμοί

Σε ότι ακολουθήσει, ας είναι y μια εξαρτημένη μεταβλητή και x μια ανεξάρτητη μεταβλητή, και y = f(x) μια άγνωστη συνάρτηση του x. Η σημειογραφία της διαφόρισης ποικίλλει ανάλογα με τον συγγραφέα και πια σημειογραφία είναι πιο χρήσιμη για την εργασία που κάνουμε. Σε αυτό το πλαίσιο, η σημειογραφία του Λάιμπιντς(dy/dx,d²y/dx²,...dⁿy/dxⁿ) είναι πιο χρήσιμη για την παραγώγιση και την διαφόριση, ενώ η σημειογραφία του Νεύτωνα και του Λαγκράνζ (y′,y′′, ... y⁽ⁿ⁾) είναι πιο χρήσιμη για την απεικόνιση παραγώγων οποιασδήποτε τάξης συμπαγώς.

Γενικός ορισμός μίας ΣΔΕ

Δίνεται F, μία συνάρτηση του x, y, και παραγώγων του y. Τότε μία εξίσωση της μορφής

$F\left(x,y,y',\cdots y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

ονομάζεται μη πεπλεγμένη συνήθης διαφορική εξίσωση τάξης n.

Γενικότερα, μία πεπλεγμένη διαφορική εξίσωση τάξης n παίρνει την μορφή:

$F\left(x,y,y',y'',\ \cdots ,\ y^{(n)}\right)=0$

Υπάρχουν περαιτέρω κατηγοριοποιήσεις:

Αυτόνομη

Μία διαφορική εξίσωση που δεν εξαρτάται από το x ονομάζεται αυτόνομη.

Γραμμική

Μία διαφορική εξίσωση ονομάζεται γραμμική αν η F μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδιασμός των παραγώγων του y:

$y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)$

όπου a_i(x) και r(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις του x.Μη γραμμικές εξισώσεις δεν μπορούν να γραφτούν σε αυτήν την μορφή.Η συνάρτηση r(x)ονομάζεται πηγαίος όρος,οδηγώντας σε δύο περαιτέρω κατηγοριοποιήσεις:

Ομογενής:Αν r(x) = 0, και συνεπώς μία ''αυτόματη'' λύση είναι η απλή λύση, y = 0. Η λύση μίας γραμμικής ομογενούς εξίσωσης είναι μία συμπληρωματική συνάρτηση που εδώ συμβολίζεται με y_c.

Μή ομογενής:Αν r(x) ≠ 0. Η πρόσθετη λύση στην συμπληρωματική συνάρτηση είναι το ορισμένο ολοκλήρωμα που εδώ συμβολίζεται με y_p.

Η γενική λύση μίας γραμμικής εξίσωσης μπορεί να γραφτεί ως y = y_c + y_p.

Σύστημα των ΣΔΕ

Ένας αριθμός από ζεύγη διαφορικών εξισώσεων σχηματίζουν ένα σύστημα εξισώσεων.Αν y ένα διάνυσμα του οποίου τα στοιχεία είναι συναρτήσεις:

y(x) = [y₁(x), y₂(x),..., y_m(x)],και F είναι μία συνάρτηση διανυσματικών τιμών του y και των παραγώγων του, τότε

$\mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n-1)}\right)$

είναι ένα μη πεπλεγμένο σύστημα από συνήθεις διαφορικές εξίσώσεις τάξης m. Σε μορφή διανύσματος στήλης:

${\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\end{pmatrix}}$

Οι παραπάνω δεν είναι απαραίτητα γραμμικές. Το πεπλεγμένο ανάλογο είναι:

$\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}$

όπου 0 = (0, 0,... 0) είναι το μηδενικό διάνυσμα.Σε μορφή πίνακα:

${\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n)})\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}}$

Για ένα σύστημα της μορφής $\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}$, κάποιες πηγές επίσης απαιτούν τον Ιακωβιανό πίνακα ${\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}$να είναι μη-μοναδικός με σκοπό να ονομάζεται πεπλεγμένο σύστημα ΣΔΕ.Ένα πεπλεγμένο σύστημα ΣΔΕ που ικανοποιεί αυτόν τον Ιακωβιανό όρο της μη μοναδικότητας μπορεί να μετατραπεί σε ένα μη πεπλεγμένο σύστημα ΣΔΕ.Με τα ίδια δεδομένα,πεπλεγμένα συστήματα ΣΔΕ με μοναδικό Ιακωβιανό ορίζονται ως διαφορικές αλγεβρικές εξισώσεις (ΔΑΕ).Η διαφορά δεν είναι απλά μία διαφορά ορολογίας.Οι ΔΑΕ έχουν ουσιαστικά διαφορετικά χαρακτηριστικά και γενικότερα είναι περισσότερο περίπλοκο να λυθούν σε σχέση με (μη μοναδικά)συστήματα ΣΔΕ. Ενδεχομένως για πρόσθετες παραγώγους,ο Εσσιανός πίνακας και ούτω καθεξής θεωρούνται επίσης μη μοναδικοί σύμφωνα με αυτή τη στρατηγική αν και παρατηρείται ότι οποιαδήποτε ΣΔΕ τάξης μεγαλύτερης της πρώτης,μπορεί να γραφεί ως σύστημα ΣΔΕ πρώτης τάξης,το οποίο κάνει την Ιακωβιανή μοναδικότητα επαρκές κριτήριο ώστε να υπάρχει ολοκληρωμένη ταξινόμιση σε όλες τις τάξεις.

Λύσεις

Δίνεται η διαφορική εξίσωση

$F\left(x,y,y',\cdots ,y^{(n)}\right)=0$

μία συνάρτηση u: I ⊂ R → R ονομάζεται λύση ή ολοκληρωτική καμπύλη για την F, αν u είναι n-φορές διαφορίσιμη στο I, και

$F(x,u,u',\ \cdots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.$

Δίνονται δύο λύσεις u: J ⊂ R → R και v: I ⊂ R → R, u ονομάζεται μία επέκταση της v if I ⊂ J και

$u(x)=v(x)\quad x\in I.\,$

Μία λύση που δεν έχει επέκταση ονομάζεται μέγιστη λύση. Μία λύση που ορίζεται σε όλο το R ονομάζεται καθολική λύση.

Μία γενική λύση μιας εξίσωσης n-οστής τάξης είναι λύση που περιέχει n αυθαίρετες ανεξάρτητες σταθερές ολοκλήρωσης.Μία ορισμένη λύση πηγάζει από τη γενική λύση βάζοντας στις σταθερές ορισμένες τιμές,συχνά επιλεγμένες έτσι ώστε να ικανοποιούν 'αρχικές ή οριακές συνθήκες'.Μία μοναδική λύση είναι η λύση η οποία δεν μπορεί να βρεθεί βάζοντας ορισμένες τιμές σε αυθαίρετες σταθερές σε μία γενική λύση.