Διάνυσμα Λαπλάς–Ραντζ–Λεντς

Σε αυτό το άρθρο, τα διανύσματα και τα μέτρα τους απεικονίζονται με έντονη γραφή και πλάγια γράμματα, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, $\left|\mathbf {A} \right|=A$.

Στην κλασική μηχανική, το διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz (ή απλά το διάνυσμα LRL) είναι ένα διάνυσμα που χρησιμοποιείται κυρίως για να περιγράψει το σχήμα και τον προσανατολισμό της τροχιάς ενός αστρονομικού σώματος γύρω από ένα άλλο, όπως ένας πλανήτης περιστρέφεται γύρω από ένα αστέρι. Για δύο σώματα που αλληλεπιδρούν με νευτώνεια βαρύτητα, το LRL διάνυσμα είναι μια σταθερά της κίνησης, πράγμα που σημαίνει ότι είναι το ίδιο χωρίς να έχει σημασία που υπολογίζεται στην τροχιά, ισοδύναμα, το LRL διάνυσμα λέγεται ότι πρέπει να διατηρηθεί. Γενικότερα, το LRL διάνυσμα διατηρείται σε όλα τα προβλήματα στα οποία αλληλεπιδρούν δύο σώματα ωθούμενα από μια κεντρική δύναμη που μεταβάλλεται ως το αντίστροφο τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους. Τέτοια προβλήματα ονομάζονται προβλήματα Κέπλερ.

Το άτομο του υδρογόνου είναι ένα πρόβλημα Kepler, δεδομένου ότι περιλαμβάνει δύο φορτισμένα σωματίδια που αλληλεπιδρούν σύμφωνα με το νόμο του Coulomb της ηλεκτροστατικής, μια άλλη κεντρική δύναμη του αντίστροφου τετράγωνου. Το διάνυσμα LRL ήταν απαραίτητο στην πρώτη κβαντική μηχανική παραγωγή του φάσματος του ατόμου του υδρογόνου, πριν από την ανάπτυξη της εξίσωσης Schrödinger. Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση χρησιμοποιείται σπάνια σήμερα.

Στην κλασσική και την κβαντική μηχανική, συντηρημένες ποσότητες αντιστοιχούν σε μια συμμετρία του συστήματος. Η διατήρηση του διανύσματος LRL αντιστοιχεί σε μια ασυνήθιστη συμμετρία, το πρόβλημα Κέπλερ είναι μαθηματικά ισοδύναμο με ένα σωματίδιο που κινείται ελεύθερα επί της επιφάνειας μίας τεσσάρων διαστάσεων (υπερ-) σφαίρα, so that the whole problem is symmetric under certain rotations of the four-dimensional space. έτσι ώστε όλο το πρόβλημα είναι συμμετρικό υπό ορισμένες περιστροφές του τετραδιάστατου χώρου. Αυτή η υψηλότερη συμμετρία προέρχεται από δύο ιδιότητες του προβλήματος Kepler: το διάνυσμα της ταχύτητας κινείται πάντα σε έναν τέλειο κύκλο και, για μια δεδομένη συνολική ενέργεια, όλοι αυτοι οι κύκλοι του διανύσματος της ταχύτητας τέμνουν ο ένας τον άλλο στα ίδια δύο σημεία.

Γενικό πλαίσιο

Ένα ενιαίο σωματίδιο το οποίο κινείται κάτω από οποιαδήποτε συντηρητική κεντρική δύναμη έχει τουλάχιστον τέσσερις σταθερές της κίνησης, την ολική ενέργεια (Ε) καθώς και τις τρεις καρτεσιανές συνιστώσες της στροφορμής διανύσματος (L). Η τροχιά του σωματιδίου περιορίζεται σε ένα επίπεδο που ορίζεται από την αρχική ορμή (p) του σωματιδίου (ή , ισοδύναμα, την ταχύτητά του (v) και το διάνυσμα r μεταξύ του σωματιδίου και του κέντρο της δύναμης (βλέπε εικόνα 1, παρακάτω).

Όπως ορίζεται παρακάτω (βλέπε μαθηματικό ορισμό), το διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz (διάνυσμα LRL ) Α βρίσκεται πάντα στο επίπεδο της κίνησης για κάθε κεντρική δύναμη. Ωστόσο, το Α είναι σταθερό μόνο για μια κεντρική δύναμη αντιστρόφου τετραγώνου. Για τις περισσότερες κεντρικές δυνάμεις, ωστόσο, αυτό το διάνυσμα Α δεν είναι σταθερό, αλλά αλλάζει τόσο σε μήκος 'όσο και σε κατεύθυνση, αν η κεντρική δύναμη υπακούει περίπου στο νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, το διάνυσμα Α είναι περίπου σταθερό σε μήκος, αλλά σιγά-σιγά περιστρέφει την κατεύθυνσή του. Ένα γενικευμένο συντηρημένη LRL διάνυσμα μπορεί να οριστεί για όλες τις κεντρικές δυνάμεις, αλλά αυτή το γενικευμένο διάνυσμα είναι μια πολύπλοκη συνάρτηση της θέσης, και συνήθως δεν εκφράζεται σε κλειστή μορφή.

Το επίπεδο της κίνησης είναι κάθετο προς το διάνυσμα της στροφορμής L, που είναι σταθερό. Αυτό μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά ως το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων r · L = 0, ομοίως δεδομένου ότι το Α βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο προκύπτει, A · L = 0.

Το διάνυσμα LRL διαφέρει από τις άλλες διατηρούμενες ποσότητες στην ακόλουθη ιδιότητα: Λαμβάνοντας υπόψη ότι για τυπικές διατηρούμενες ποσότητες υπάρχουν οι αντίστοιχες κυκλικές συντεταγμένες στο τρισδιάστατο σύστημα Lagrangian , εκεί δεν υπάρχουν τέτοιες συντεταγμένες για τον φορέα LRL. Έτσι, η διατήρηση του διανύσματος LRL πρέπει να προέρχεται απευθείας π.χ. από τη μέθοδο των αγκύλων Poisson, η οποία περιγράφεται παρακάτω. Οι συντηρημένες ποσότητες αυτού του είδους ονομάζονται «δυναμικές», σε αντίθεση με τους συνήθεις «γεωμετρικούς» νόμους διατήρησης, π.χ. εκείνους της στροφορμής.

Ιστορία επανακάλυψης

Το διάνυσμα LRL Α είναι μια σταθερά της κίνησης του σημαντικού προβλήματος Κέπλερ και είναι χρήσιμο για την περιγραφή αστρονομικών τροχιών όπως η κίνηση των πλανητών. Παρ 'όλα αυτά ποτέ δεν ήταν ιδιαίτερα διαδεδομένο στους φυσικούς. Κατά συνέπεια έχει ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα αρκετές φορές κατά τη διάρκεια των τελευταίων τριών αιώνων. Ο Jakob Hermann ήταν ο πρώτος που δείχνει ότι το Α διατηρείται για μια ειδική περίπτωση μιας κεντρικής δύναμης του αντίστροφου τετραγώνου και επεξεργάστηκε τη σύνδεσή της με την εκκεντρικότητα της τροχιακής έλλειψης. Η εργασία του Hermann γενικεύτηκε σε σύγχρονη μορφή από τον Johann Bernoulli το 1710. Στο τέλος του αιώνα ο Pierre-Simon de Laplace ανακάλυψε ξανά τη διατήρηση του A περισσότερο αναλυτικά παρά γεωμετρικά. Στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα ο William Rowan Hamilton βρίσκει το αντίστοιχο διάνυσμα εκκεντρότητας που ορίζεται παρακάτω, , και το χρησιμοποιεί για να αποδείξει ότι το διάνυσμα p της ορμής κινείται σε έναν κύκλο για την κίνηση κάτω από την επίδραση μιας δύναμης αντιστρόφως ανάλογης του τετραγώνου (Σχήμα 3) .

Στις αρχές του εικοστού αιώνα ο Josiah Willard Gibbs βρίσκει το ίδιο διάνυσμα με διανυσματική ανάλυση. Η ανακάλυψη του Gibbs χρησιμοποιήθηκε ως παράδειγμα από τον Runge Carle σε ένα δημοφιλές γερμανικό βιβλίο για διανύσματα, στην οποία αναφέρεται ο Wilhelm Lenz στην εργασία του σχετικά με την (παλιά) κβαντική μηχανική επεξεργασία του ατόμου του υδρογόνου. Το 1926, το διάνυσμα είχε χρησιμοποιηθεί από τον Wolfgang Pauli για να ερευνήσει το φάσμα του υδρογόνου με τη χρήση σύγχρονης κβαντομηχανικής, αλλά όχι την εξίσωση Schrödinger; από τη δημοσίευσή του Pauli έμεινε γνωστό ως το διάνυσμα Runge-Lenz .

Μαθηματικός ορισμός

Για ένα μόνο σωματίδιο κάτω από την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης του αντιστρόφου τετραγώνου που περιγράφεται από την εξίσωση $\mathbf {F} (r)={\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$, το LRL διάνυσμα Α ορίζεται μαθηματικά από τον τύπο

$\mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}}$

όπου,

• $m\!\,$ είναι η μάζα του σημειακού σωματιδίου κινούμενο κάτω από την κεντρική δύναμη
• $\mathbf {p} \!\,$ είναι το διάνυσμα της ορμής
• $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \!\,$ είναι η στροφορμή
• $k\!\,$ είναι μια παράμετρος που περιγράφει την ισχύ της κεντρικής δύναμης
• $\mathbf {r} \!\,$ είναι το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου (Σχήμα 1)
• $\mathbf {\hat {r}} \!\,$ είναι το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα, δηλαδή $\mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}$ όπου το r είναι το μέγεθος του r.

Δεδομένου ότι η υποτιθέμενη δύναμη είναι συντηρητική, η ολική ενέργεια Ε είναι μια σταθερά της κίνησης

$E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}$

Επιπλέον, η υποτιθέμενη δύναμη είναι μια κεντρική δύναμη, και έτσι η στροφορμή L διατηρείται καθώς και καθορίζει το επίπεδο στο οποίο το σωματίδιο ταξιδεύει. Το LRL διάνυσμα Α είναι κάθετο στη στροφορμή L, διότι και το p × L και το R είναι κάθετα στο L. Συνεπάγεται ότι το Α βρίσκεται στο επίπεδο της τροχιάς.

Αυτός ο ορισμός του LRL διανύσματος A αναφέρεται σε ένα μοναδικό σημειακό σωματίδιο μάζας m που κινείται υπό την επίδραση μιας σταθερής δύναμης. Ωστόσο, ο ίδιος ορισμός μπορεί να επεκταθεί σε δύο προβλήματα, όπως το πρόβλημα του Kepler, θεωρώντας ως m τη μειωμένη μάζα των δύο σωμάτων και r ως το διάνυσμα μεταξύ των δύο σωμάτων.

Μία ποικιλία εναλλακτικών τύπων για την ίδια σταθερά της κίνησης μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν. Η πιο συνηθισμένη είναι η κλίμακα από mk για να ορίσει το διάνυσμα εκκεντρικότητας

$\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}}$

Προέλευση των τροχιών Kepler

Το σχήμα και ο προσανατολισμός του προβλήματος των τροχιών Κέπλερ μπορεί να προσδιορισθεί από το LRL διάνυσμα ως ακολούθως. [1] Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο του Α με το διάνυσμα θέσεως r έχουμε την εξίσωση

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =Ar\cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr$

όπου θ είναι η γωνία μεταξύ και Α (Σχήμα 2). Μετασχηματίζοντας το εσωτερικό γινόμενο τριών διανυσμάτων

$\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\cdot \mathbf {L} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}$

και αναδιατάσσοντας τις αποδόσεις ο τύπος για μια κωνική τομή

${\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)$

της εκκεντρικότητας e

$e={\frac {A}{mk}}={\frac {\left|\mathbf {A} \right|}{mk}}$

και latus rectum

$\left|4p\right|={\frac {2L^{2}}{mk}}$

Ο κύριος ημιάξονας a της κωνικής τομής μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας το latus rectum και την εκκεντρικότητα

$a\left(1\pm e^{2}\right)=2p={\frac {L^{2}}{mk}}$

όπου το σύμβολο μείον αφορά στις ελλείψεις και το σύμβολο συν στις υπερβολές.

Παίρνοντας το γινόμενο του A με τον εαυτό του έχουμε μια εξίσωση που αφορά στην ενέργεια E

$A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}\,$

η οποία μπορεί να ξαναγραφτεί ως προς την εκκεντρικότητας

$e^{2}-1={\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E$

Έτσι, εάν η ενέργεια E είναι αρνητική (δεσμευμένες τροχιές), η εκκεντρότητα είναι μικρότερη από το ένα και η τροχιά είναι μία έλλειψη. Αντιστρόφως, αν η ενέργεια είναι θετική (τροχιές χωρίς περιορισμούς, που ονομάζονται επίσης "διάσπαρτες τροχιές»), η εκκεντρότητα είναι μεγαλύτερη από το ένα και η τροχιά είναι μία υπερβολή. Τέλος, αν η ενέργεια είναι ακριβώς μηδέν, η εκκεντρότητα είναι μία και η τροχιά είναι μία παραβολή. Σε όλες τις περιπτώσεις, η κατεύθυνση του A βρίσκεται κατά μήκος του άξονα συμμετρίας της κωνικής τομής και τα σημεία από το κέντρο της δύναμης προς το periapsis, το σημείο της πλησιέστερης προσέγγισης.

---

---

Κυκλικά διαγράμματα της ορμής

Σχήμα 3: Το διάνυσμα ορμής p (με μπλε χρώμα) κινείται σε έναν κύκλο,καθώς το σωματίδιο κινείται σε μια έλλειψη. Τα τέσσερα επισημασμένα σημεία αντιστοιχούν σε εκείνα του σχήματος 1. Ο κύκλος έχει κέντρο στον άξονα y στη θέση Α / L ( με ροζ χρώμα), και ακτίνα mk / L (με πράσινο χρώμα). Η γωνία η καθορίζει την εκκεντρότητα e της ελλειπτικής τροχιάς (cos η = e). Από το θεώρημα εγγεγραμμένης γωνίας για κύκλους, το η είναι και η γωνία μεταξύ κάθε σημείο του κύκλου και των δύο σημείων τομής με τον άξονα px, px = ± p0.

Η διατήρηση του LRL διανυσματος Α και της στροφορμής L είναι χρήσιμη καθώς δείχνει οτι το διάνυσμα όρμης p κινείται σε έναν κύκλο με μια αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου κεντρική δύναμη.

Λαμβάνοντας το γινόμενο

$mk~{\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {A}$

με τον εαυτό του δίνει

$(mk)^{2}=A^{2}+p^{2}L^{2}+2\mathbf {L} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {A} )~.$

Περαιτέρω επιλέγοντας L κατά μήκος του ζ-άξονα, και τον μεγαλο ημιάξονα ως τον άξονα χ, παίρνουμε την εξίσωση τόπου για p,

$p_{x}^{2}+\left(p_{y}-A/L\right)^{2}=\left(mk/L\right)^{2}$

Με άλλα λόγια, το p διάνυσμα ορμής περιορίζεται σε έναν κύκλο ακτίνας mk / L με κεντρο (0, A / L). Η εκκεντρότητα e αντιστοιχεί στο συνημίτονο της γωνίας η που φαίνεται στο Σχήμα 3. Στο εκφυλισμένο όριο των κυκλικών τροχιών, και ως εκ τούτου εξαφανίζοντας το Α ,ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων (0,0). Για λόγους συντομίας, είναι επίσης χρήσιμο να εισάγουμε την μεταβλητή $p_{0}={\sqrt {2m\left|E\right|}}$. Αυτό το κυκλικό διάγραμμα ταχύτητας είναι χρήσιμο στην απεικόνιση της συμμετρίας του προβλήματος Κέπλερ.

Σταθερές της κίνησης και υπερ-ολοκλήρωση

Οι επτά μονοδιάστατες ποσότητες Ε, Α και L (που είναι διανύσματα, οι δύο τελευταίες συνεισφέρουν τρεις διατηρημένες ποσότητες κάθε μία) σχετίζονται με δύο εξισώσεις, Α · L = 0 και Α2 = m2k2 + 2 m Ε L2, δίνοντας πέντε ανεξάρτητες σταθερές κίνησης. Αυτό είναι σύμφωνο με τις έξι αρχικές συνθήκες (αρχική θέση του σωματιδίου και διανύσματα ταχύτητας, το καθένα με τρεις συνιστώσες) που προσδιορίζουν την τροχιά του σωματιδίου, δεδομένου ότι ο αρχικός χρόνος δεν καθορίζεται από μια συνέχεια της κίνησης. Δεδομένου ότι το μέγεθος του Α (και η εκκεντρότητα e της τροχιάς) μπορεί να προσδιοριστεί από τη συνολική στροφορμή L και η ενέργεια Ε, μόνο η κατεύθυνση της Α διατηρείται ανεξάρτητα. Περαιτέρω, εφόσον το Α πρέπει να είναι κάθετο στο L, συμβάλλει μόνον μία επιπλέον διατηρημένη ποσότητα.

Ένα μηχανικό σύστημα με d βαθμούς ελευθερίας μπορεί να έχει το πολύ 2d - 1 σταθερές της κίνησης, δεδομένου ότι υπάρχουν 2d αρχικές συνθήκες και ο αρχικός χρόνος δεν μπορεί να προσδιοριστεί από μια σταθερά της κίνησης. Ένα σύστημα με περισσότερες από d σταθερές της κίνησης ονομάζεται υπερ-ολοκληρώσιμο και ένα σύστημα με 2d - 1 σταθερές ονομάζεται μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμο. Δεδομένου ότι η λύση της εξίσωσης Hamilton-Jacobi σε ένα σύστημα συντεταγμένων μπορεί να δώσει μόνο d σταθερές της κίνησης, τα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα πρέπει να να διαχωρισθούν σε περισσότερα από ένα σύστημα συντεταγμένων. Το πρόβλημα Kepler είναι μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμο, δεδομένου ότι έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας (d = 3), και πέντε ανεξάρτητες σταθερές της κίνησης. Η Hamilton-Jacobi εξίσωση της είναι διαχωρίσιμη τόσο για σφαιρικές συντεταγμένες όσο και για τις παραβολικές συντεταγμένες , όπως περιγράφεται στη συνέχεια.

Τα μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα ακολουθούν κλειστές, μονοδιάστατες τροχιές στον χώρο, καθώς η τροχιά είναι η τομή των επιφανειών που καταλαμβάνουν στον τρισδιάστατο χώρο οι σταθερές της κίνησης. Κατά συνέπεια, οι τροχιές είναι κάθετες με όλες τις βαθμίδες όλων αυτών των ανεξάρτητων επιφανειών, πέντε σε αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα, και ως εκ τούτου καθορίζονται από τα συνήθη εξωτερικά γινόμενα όλων αυτών των βαθμίδων Ως εκ τούτου, όλα τα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα περιγράφονται αυτόματα από την μηχανική Nambu, , εναλλακτικά, και ισοδύναμα, από την Χαμιλτονιανή μηχανική. Τα μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τις σχέσεις μετατροπής, όπως παρουσιάζεται στη συνέχεια. Ωστόσο, ισόποσα, είναι επίσης υπολογισμένα με το πλαίσιο Nambu, όπως αυτό το κλασσικό πρόβλημα Kepler στο άτομο του υδρογόνου.

Εξέλιξη υπό διαταραγμένα δυναμικά

Σχήμα 5: Σταδιακή μετάπτωση της ελλειπτική τροχιά, με εκκεντρότητα e = 0,667. Αυτή η μετάπτωση προκύπτει από το πρόβλημα Kepler εάν η κεντρική δύναμη έλξης αποκλίνει ελαφρώς από τον νόμος του αντιστρόφου τετραγώνου. Ο ρυθμός της μετάπτωσης μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο στο κείμενο.

Το Laplace-Runge-Lenz Α διατηρείται μόνο για μια τέλεια αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου κεντρική δύναμη. Σε πιο πρακτικά προβλήματα, όπως η πλανητική κίνηση, ωστόσο, η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο σωμάτων δεν είναι ακριβώς ένας νόμος αντιστρόφου τετραγώνου αλλά μπορεί να περιλαμβάνει μια πρόσθετη κεντρική δύναμη η λεγόμενη διαταραχή περιγράφεται από μια δυναμική ενέργεια h (R). Σε τέτοιες περιπτώσεις, το LRL περιστρέφεται αργά στο επίπεδο της τροχιάς, που αντιστοιχεί σε αργή αψιδωτή εκτροπή της τροχιάς. Παραδεχόμαστε ότι το διαταράσσων δυναμικό h (r) είναι μια συντηρητική κεντρική δύναμη πράγμα που σημαίνει ότι το ολική ενέργεια Ε και η στροφορμή L διατηρούνται. Έτσι, η κίνηση εξακολουθεί να βρίσκεται σε ένα επίπεδο κάθετο στο L και το μέτρο Α διατηρείται από την εξίσωση = Α2 + m2k2 2mEL2. Το διαταράσσων δυναμικό h (r) μπορεί να είναι οποιοδήποτε είδος της λειτουργία, αλλά θα πρέπει να είναι σημαντικά ασθενέστερη από την κύρια αντιστρόφου τετραγώνου δύναμη μεταξύ των δύο φορέων.

Το ρυθμός με τον οποίο το περιστρέφεται LRL δίνει πληροφορίες σχετικά με το δυναμικό διαταράσσων h (R). Χρησιμοποιώντας κανονική θεωρία διαταραχών και τις δράσης-γωνίας συντεταγμένες είναι απλό να δείξουμε [1] ότι το Α περιστρέφεται με ρυθμό

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle &=\displaystyle {\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}\\[1em]&=\displaystyle {\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\}.\end{aligned}}$

όπου Τ είναι η τροχιακή περίοδος και η ταυτότητα L dt = m r2 dθ χρησιμοποιήθηκε για να μετατρέψει το ολοκλήρωμα χρόνου σε ένα γωνιακό ολοκλήρωμα (Σχήμα 5). Η έκφραση σε ορθογώνιες παρενθέσεις <h(r)> αντιπροσωπεύει το διαταράσσων δυναμικό, αλλά κατά μέσο όρο πάνω από μια πλήρη περίοδο, που είναι κατά μέσο όρο πάνω από ένα πλήρη πέρασμα του σώματος γύρω από την τροχιά του. Από μαθηματική άποψη ο μέσος όρος του χρόνου αντιστοιχεί στην ακόλουθη ποσότητα σε αγκύλες. Αυτός ο μέσος όρος βοηθά στην ελλαχιστοποιήση των διακυμάνσεων του ρυθμού περιστροφής.

Η προσέγγιση αυτή χρησιμοποιείται για να βοηθήσει ελέγξει τη θεωρία του Αϊνστάιν της γενικής σχετικότητας η οποία προσθέτει μια μικρή αντίστροφη κυβικών διαταραχών στην κανονική νευτώνεια βαρυτική δυναμική. [23]

$h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)$

Εισάγοντας αυτή τη λειτουργία στο ολοκλήρωμα και χρησιμοποιώντας την εξίσωση

${\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)$

για να εκφράσουμε την r συναρτήση της θ, ο ρυθμός εκτροπή της περίαψης προκαλείται από αυτή την μη-Νευτώνεια διαταραχή υπολογίζεται να είναι [23]

${\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}$

που ταιριάζει με την παρατηρούμενη ανώμαλη εκτροπή του Ερμή [24] και των πάλσαρ [25] Αυτή η συμφωνία με το πείραμα θεωρείται ότι είναι ισχυρή ένδείξη για τη γενική σχετικότητα. [26] [27]

Αγκύλες Poisson

Οι τρεις συνιστώσες Li της στροφορμής L έχουν τις αγκύλες Poisson [1]

$\left\{L_{i},L_{j}\right\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}~,$

όπου i = 1,2,3 και εijs είναι ο πλήρως αντισυμμετρικός τανυστής δηλαδή το Levi-Civita σύμβολο. Το άθροισμα του δείκτη s χρησιμοποιείται εδώ για να αποφεύγεται η σύγχυση με τις παράμετρο δύναμης k που ορίζεται παραπάνω. Οι αγκύλες Poisson που εκπροσωπούνται εδώ ως τετραγωνικές παρενθέσεις (όχι αγκύλες) τόσο για λόγους συνοχής με τις αναφορές και επειδή θα πρέπει να ερμηνευθεί ως σχέσεις μετατροπής κβαντομηχανικής στην επόμενη ενότητα και ως Lie παρένθεση σε μια επόμενη ενότητα.

Όπως αναφέρεται παρακάτω ένα απλοποιημένο Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα D μπορεί να οριστεί με τις ίδιες μονάδες ως στροφορμή διαιρώντας A με $p_{0}={\sqrt {2m|E|}}$ . Οι αγκύλες Poisson του D με την γωνιακές L μπορεί να γραφεί σε μια παρόμοια μορφή [28]

$\left\{D_{i},L_{j}\right\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}D_{s}~.$

Οι αγκύλες Poisson της D με τον εαυτό της εξαρτάται από το πρόσημο του Ε, δηλαδή, από το αν η ολική ενέργεια Ε είναι αρνητική (που παράγει κλειστές, ελλειπτικές τροχιές υπό μια αντιστρόφου τετραγώνου κεντρική δύναμη) ή θετική (που παράγει ανοικτές, υπερβολικές τροχιές υπό μια αντιστρόφου τετράγωνου κεντρική δύναμη). Για τις αρνητικές ενέργειες - δηλαδή, για τα εξαρτημένα συστήματα - οι αγκύλες Poisson είναι

$\left\{D_{i},D_{j}\right\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}~,$

λαμβάνοντας υπόψη ότι, για τη θετική ενέργεια, οι αγκύλες Poisson έχουν το αντίθετο πρόσημο,

$\left\{D_{i},D_{j}\right\}=-\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}~.$

Οι σταθερές Casimir για αρνητικές ενέργειες είναι

$C_{1}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2\left|E\right|}}$

$C_{2}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0,$

και έχουν μηδενικές αγκύλες Poisson με όλες τις συνιστώσες των Α και L,

$\left\{C_{1},L_{i}\right\}=\left\{C_{1},D_{i}\right\}=\left\{C_{2},L_{i}\right\}=\left\{C_{2},D_{i}\right\}=0~.$

Η C2 είναι τετριμμένα μηδέν, δεδομένου ότι οι δύο διανύσματα είναι πάντα κάθετα.

Ωστόσο,η άλλη σταθερά, C1, δεν είναι τετριμένη και εξαρτάται μόνο από τα m, k και Ε.Μετά τον υπολογισμό, αυτή η σταθερά αφήνει αμετάβλητη την ενέργεια ατόμων όμοιων με το υδρογόνο που μπορούν να προκύπτουν με τη χρήση μόνο κβαντομηχανικών σχέσεων μετατροπής, αντί της συμβατικής λύσης της εξίσωσης Schrödinger.

Κβαντομηχανική του ατόμου του υδρογόνου

Σχήμα 6: Τα επίπεδα ενέργειας του ατόμου του υδρογόνου όπως προβλέφθηκαν από τις σχέσεις μετατροπής της στροφορμής και των διανυσματικών τελεστών Laplace-Runge-Lenz.. Αυτά τα επίπεδα ενέργειας έχουν επαληθευτεί πειραματικά.

Οι αγκύλες Poisson παρέχουν έναν απλό οδηγό για τον υπολογισμό των περισσότερων κλασικών συστημάτων: η σχέση μετατροπής των δύο κβαντομηχανικών τελεστών προκύπτει από την αγκύλη Poisson των αντίστοιχων κλασικών μεταβλητών, πολλαπλασιαζόμενη με iħ [29]

Με τη διεξαγωγή αυτού του υπολογισμού και υπολογίζοντας τις ιδιοτιμές του $C_{1}$ τελεστή Casimir για το πρόβλημα του Kepler, ο Wolfgang Pauli ήταν σε θέση να κατανοήσει τα επίπεδα ενέργειας ατόμων όμοιων με το υδρογόνο (Σχήμα 6) και, ως εκ τούτου, το ατομικό φάσμα εκπομπής τους. [3] Αυτό το κομψό δημιούργημα επιτεύχθηκε πριν από την ανάπτυξη της εξίσωσης Schrödinger. [30] Η λεπτότητα του κβαντομηχανικού τελεστή για το LRL διάνυσμα Α είναι ότι οι τελεστές ορμής και στροφορμής δεν μετακινούνται,ως εκ τούτου, το εξωτερικό γινόμενο των p και L πρέπει να ορίζεται με προσοχή. [28] Συνήθως, οι τελεστές για τις καρτεσιανές συνιστώσες As ορίζονται βάσει ενός συμμετρικού γινομένου,

$A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\epsilon _{sij}\left(p_{i}l_{j}+l_{j}p_{i}\right),$

από το οποίο οι αντίστοιχοι πρόσθετοι κλιμακωτοί τελεστές για το L μπορούν να οριστούν,

$J_{0}=A_{3}\,$

$J_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(A_{1}\pm iA_{2}\right)~.$

Αυτές περαιτέρω συνδέουν διαφορετικές ιδιοκαταστάσεις της L2.

Ένας κανονικοποιημένος σταθερός πρώτος τελεστής Casimir, με κβάντο ανάλογο του παραπάνω, μπορεί επίσης να οριστεί,

$C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{-1}-I~,$

όπου Η⁻¹ είναι το αντίστροφο του Χαμιλτονιανού τελεστή ενέργειας, και το Ι είναι ο ταυτοτικός τελεστής.

. Εφαρμόζοντας αυτούς τους κλιμακωτούς τελεστές στις ιδιοκαταστάσεις $\left|lmn\right.\rangle$ της συνολικής στροφορμής, αζιμουθιακής στροφορμής και τους ενεργειακούς τελεστές, οι ιδιοτιμές του πρώτου τελεστή Casimir C1 είναι n² - 1. Είναι αξιοσημείωτο, ότι λόγω του μηδενισμού του C2, είναι ανεξάρτητα από τους l και m κβαντικούς αριθμούς, καθιστώντας τα ενεργειακά επίπεδα εκφυλισμένα. [28]

Ως εκ τούτου, τα επίπεδα της ενέργειας δίνονται από τον τυπο

$E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},$

η οποία συμπίπτει με τον τύπο Rydberg για ατομα όμοια με το υδρογόνο (Σχήμα 6). Οι πρόσθετοι τελεστές συμμετρίας Α έχουν συνδέσει εμμέσως τις διάφορες πολλαπλές Ι μεταξύ τους, για μία δεδομένη ενέργεια (και την C1). Στην πραγματικότητα, έχουν διευρύνει την ομάδα SO (3) σε SO (4).

Διατήρηση και συμμετρία

Η διατήρηση του διανύσματος LRL αντιστοιχεί σε μια ανεπαίσθητη συμμετρία του συστήματος. Στην κλασική μηχανική,οι συμμετρίες είναι συνεχείς διαδικασίες που απεικονίζουν μία τροχιά επί μίας άλλης χωρίς να αλλάζει την ενέργεια του συστήματος. Στην κβαντομηχανική, συμμετρίες είναι συνεχείς διαδικασίες, που συνδυάζουν τροχιακά της ίδιας ενέργειας, δηλαδή, εκφυλίζουν τα επίπεδα ενέργειας. Μια συντηρημένη ποσότητα είναι συνήθως συνδεδεμένη με αυτές τις συμμετρίες. [1] Για παράδειγμα, κάθε κεντρική δύναμη είναι συμμετρική με την ομάδα περιστροφής SO (3), με αποτέλεσμα τη διατήρηση της στροφορμής L. Κλασικά, μια συνολική περιστροφή του συστήματος δεν επηρεάζει την ενέργεια μιας τροχιάς. Από πλευρά κβαντομηχανικής ,οι περιστροφές αναμιγνύουν τις σφαιρικές αρμονικές του ίδιου κβαντικού αριθμού l χωρίς να να αλλάζουν την ενέργεια.

Σχήμα 7: Η οικογένεια των κυκλικών διαγραμμάτων της ορμής διαγραμμάτων για μια δοθείσα ενέργεια Ε. Όλες το κύκλων διέρχονται από τα ίδια δύο σημεία $\pm p_{0}=\pm {\sqrt {2m\left|E\right|}}$ πάνω το px άξονα (βλέπε Σχήμα 3). Αυτή η οικογένεια των διαγραμμάτων αντιστοιχεί σε μία οικογένεια Απολλωνίων κύκλων, και το σ είναι η επιφάνεια που καταλαμβάνουν στον τρισδιάστατο χώρο οι διπολικές συντεταγμένες.

Η συμμετρία για την αντιστρόφου τετραγώνου κεντρική δύναμη είναι μεγαλύτερη και πιο ανεπαίσθητη. Η ιδιόμορφη συμμετρία των αποτελεσμάτων του προβλήματος Κέπλερ στη διατήρηση τόσο του διανύσματος στροφορμής L και του LRL διανύσματος Α (όπως ορίστηκε ανωτέρω) και, από πλευρά κβαντομηχανικής , διασφαλίζει ότι τα επίπεδα ενέργειας του υδρογόνου δεν εξαρτώνται από τους κβαντικούς αριθμούς στροφορμής l και m. Η συμμετρία είναι πιο λεπτεπίλεπτη, καθώς η συμμετρία πρέπει να πραγματοποιείται σε έναν υψηλότερων διαστάσεων χώρο. Αυτές οι συμμετρίες συχνά αποκαλούνται "κρυφές συμμετρίες". [31] Κλασικά, η μεγαλύτερη συμμετρία του προβλήματος Kepler επιτρέπει τις συνεχείς εναλλαγές των τροχιών που διατηρούν την ενέργεια, αλλά όχι την στροφορμή. Με άλλα λογια, οι τροχιές της ίδιας ενέργειας αλλά διαφορετικής στροφορμής (εκκεντρότητας) μπορούν να μετασχηματιστούν συνεχώς η μιία στην άλλη.Από πλευρά κβαντομηχανικής , αυτό αντιστοιχεί σε αναμειγμένα τροχιακά που διαφέρουν στο I και m κβαντικούς αριθμούς, όπως τα s (l = 0) και p (l = 1) ατομικά τροχιακά. Η εν λόγω ανάμιξη δεν μπορεί να γίνει με τους συνήθεις τρισδιάστατους μετασχηματισμούς ή τις περιστροφές, αλλά είναι ισοδύναμη με μια περιστροφή σε μια υψηλότερη διάσταση.

Για τις αρνητικές ενέργειες - δηλαδή, για τα εξαρτημένα συστήματα - η μεγαλύτερη ομάδα συμμετρία είναι η SO (4), η οποία διατηρεί το μήκος των διανυσμάτων τεσσάρων διαστάσεων

$\left|\mathbf {e} \right|^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}$

Το 1935, ο Vladimir Fock έδειξε ότι το περιορισμένο κβαντομηχανικά πρόβλημα Kepler είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα ενός ελεύθερου σωματιδίου που περιορίζεται σε μια τρισδιάστατη σφαίρα σε χώρο τεσσάρων διαστάσεων. [4] Συγκεκριμένα, ο Fock έδειξε ότι η κυματοσυνάρτηση Schrödinger στον χώρο ορμής για το πρόβλημα Kepler ήταν η στερεογραφική προβολή των σφαιρικών αρμονικών στη σφαίρα. Περιστρέφοντας την σφάιρα και παίρνοντας πάλι τήν προβολή έχουμε ως αποτέλεσμα μια συνεχή αποτύπωση των ελλειπτικών τροχιών χωρίς αλλαγή της ενέργειας.Από πλευρά κβαντομηχανικής , αυτό αντιστοιχεί σε μια ανάμειξη όλων των τροχιακών της ίδιας ενέργειας με κβαντικό αριθμό n.Από πλευρά κβαντομηχανικής , αυτό αντιστοιχεί σε μια ανάμειξη όλων των τροχιακών της ίδιας ενέργειας με κβαντικό αριθμό n. Ο Valentine Bargmann πρόσεξε στη συνέχεια ότι οι αγκύλες Poisson για το διάνυσμα στροφορμής L και το κλιμακωτό LRL διάνυσμα D σχημάτησαν τη άλγεβρα Lie για το SO (4). [5]Με απλά λόγια, οι έξι ποσότητες D και L αντιστοιχούν στις έξι σταθερές στροφορμές σε τέσσερις διαστάσεις, που συνδέονται με τις έξι πιθανές απλές περιστροφές σε αυτόν τον χώρο (υπάρχουν έξι τρόποι επιλογής δύο αξόνων από τους τέσσερις). Το συμπέρασμα αυτό δεν σημαίνει ότι το σύμπαν μας είναι μια τρισδιάστατη σφαίρα. Αυτό σημαίνει απλώς ότι αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα φυσικής (το πρόβλημα των δύο σωμάτων για τις αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου κεντρικές δυνάμεις) είναι μαθηματικά ισοδύναμο με ένα ελεύθερο σωματίδιο σε μια τρισδιάστατη σφαίρα. Για θετικές ενέργειες - δηλαδή, για τα ανεξάρτητα συστήματα - η μεγαλύτερη ομάδα συμμετρία είναι η SO (3,1), η οποία διατηρεί το μήκος Minkowski 4-διανυσμάτων

$ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}$

Και οι δύο περιπτώσεις-αρνητικής και θετικής ενέργειας-εξετάστηκαν από τον Fock [4] και τον Bargmann [5], και έχουν αξιολογηθεί εγκυκλοπεδικά από τον Bander και τον Itzykson. [32] [33] Οι τροχιές των συστημάτων κεντρικών δυνάμεων - και εκείνων του προβλήματος Kepler ιδίως - είναι επίσης συμμετρικές ύστερα από αντικατοπτρισμό. Ως εκ τούτου, οι SO (3), SO (4) και SO (3,1) ομάδες που αναφέρονται παραπάνω δεν είναι οι πλήρεις συμμετρικές ομάδες των τροχιών τους. Οι πλήρεις ομάδες είναι οι O (3), O (4) και Ο (3, 1), αντίστοιχα. Παρ 'όλα αυτά, μόνο οι συνδεδεμένες υποομάδες, SO (3), SO (4) και SO (3,1), απαιτούνται για να αποδειχθεί η διατήρηση της στροφορμής και τών LRL διανυσμάτων. Η αντικατοπτρική συμμετρία δεν επιρρεάζει τη διατήρηση, η οποία μπορεί να προέρχεται από την άλγεβρα Lie της ομάδας.

---

---

Περιστροφική συμμετρία σε τέσσερις διαστάσεις

Η σχέση μεταξύ του προβλήματος Κέπλερ και τεσσάρων διαστάσεων περιστροφική συμμετρία SO (4) μπορεί να είναι εύκολα ορατό.Έστω τα τεσσάρων διαστάσεων καρτεσιανές συντεταγμένες θα συμβολίζεται (W, Χ, Υ, Ζ), όπου (x, y, z) αντιπροσωπεύουν την καρτεσιανές συντεταγμένες της κανονικής r διάνυσμα θέσης.Το τρισδιάστατο διάνυσμα p ορμή συνδέεται με ένα τετραδιάστατο διάνυσμα ${\boldsymbol {\eta }}$ σε μια τρισδιάστατη σφαίρα μονάδα

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\eta }}&=\displaystyle {\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} \\[1em]&=\displaystyle {\frac {mk-rp_{0}^{2}}{mk}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {rp_{0}}{mk}}\mathbf {p} \end{aligned}}$