Τυπικές εικασίες για αλγεβρικούς κύκλους

Στα μαθηματικά, οι τυπικές εικασίες για τους αλγεβρικούς κύκλους είναι διάφορες εικασίες που περιγράφουν τη σχέση των αλγεβρικών κύκλων και των θεωριών συνομολογίας Βέιλ. Μια από τις αρχικές εφαρμογές αυτών των εικασιών, που προβλέφθηκε από τον Αλεξάντερ Γκροτέντιεκ, ήταν να αποδειχθεί ότι η κατασκευή του για τα καθαρά μοτίβα έδινε μια αβελιανή κατηγορία που είναι ημιαπλή. Επιπλέον, όπως επεσήμανε ο ίδιος, οι πρότυπες εικασίες συνεπάγονται επίσης το δυσκολότερο μέρος των εικασιών Βέιλ, δηλαδή την εικασία της "υπόθεσης Ρίμαν", η οποία παρέμεινε ανοιχτή στα τέλη της δεκαετίας του 1960 και αποδείχθηκε αργότερα από τον Πιερ Ντελίν- για λεπτομέρειες σχετικά με τη σχέση μεταξύ των εικασιών Βέιλ και των πρότυπων εικασιών, βλέπε Κλίμαν Kleiman (1968). Οι πρότυπες εικασίες παραμένουν ανοιχτά προβλήματα, έτσι ώστε η εφαρμογή τους να δίνει μόνο υπό όρους αποδείξεις αποτελεσμάτων. Σε αρκετές περιπτώσεις, συμπεριλαμβανομένης αυτής των εικασιών Βέιλ, έχουν βρεθεί άλλες μέθοδοι για την άνευ όρων απόδειξη τέτοιων αποτελεσμάτων.

Οι κλασικές διατυπώσεις των τυπικών εικασιών περιλαμβάνουν μια σταθερή θεωρία συνομολογίας Βέιλ H. Όλες οι εικασίες ασχολούνται με "αλγεβρικές" κλάσεις συνομολογίας, που σημαίνει ότι ένας μορφισμός στη συνομολογία μιας ομαλής προβολικής ποικιλίας

H^∗(X) → H^∗(X)

που επάγεται από έναν αλγεβρικό κύκλο με ρητούς συντελεστές στο γινόμενο X' × X μέσω του χάρτη κλάσης κύκλου, ο οποίος αποτελεί μέρος της δομής μιας θεωρίας συνομολογίας Βέιλ.

Η εικασία Α είναι ισοδύναμη με την εικασία Β (βλέπε Γκροτέντιεκ Grothendieck (1969), σελ. 196), και έτσι δεν αναφέρεται.

Τυπική εικασία τύπου Λέφτσετς (Εικασία Β)

Ένα από τα αξιώματα μιας θεωρίας Βέιλ είναι το λεγόμενο σκληρό θεώρημα (ή αξίωμα) Λέφτσετς :

Ξεκινώντας με ένα σταθερό τμήμα ομαλού υπερεπιπέδου

W = H ∩ X,

ο οποίος ορίζεται από την τομή των κλάσεων συνομολογίας με W, παρέχει έναν ισομορφισμό

Lⁿ⁻ⁱ : Hⁱ(X) → H²ⁿ⁻ⁱ(X).

Τώρα, για i ≤ n ορίζουμε:

Λ = (Lⁿ⁻ⁱ⁺²)⁻¹ ∘ L ∘ (Lⁿ⁻ⁱ) : Hⁱ(X) → Hⁱ⁻²(X)

Λ = (Lⁿ⁻ⁱ) ∘ L ∘ (Lⁿ⁻ⁱ⁺²)⁻¹ : H²ⁿ⁻ⁱ⁺²(X) → H²ⁿ⁻ⁱ(X)

Η εικασία δηλώνει ότι ο τελεστής Λέφσετς (Λ) επάγεται από έναν αλγεβρικό κύκλο.

Τυπική εικασία τύπου Κύνεθ (Εικασία C)

Εικάζεται ότι οι προβολείς

H^∗(X) ↠ Hⁱ(X) ↣ H^∗(X)

είναι αλγεβρικοί, δηλαδή επάγονται από έναν κύκλο πⁱ ⊂ X × X με ρητούς συντελεστές. Αυτό συνεπάγεται ότι το κίνητρο κάθε ομαλής προβολικής ποικιλίας (και γενικότερα, κάθε καθαρό κίνητρο) αναλύεται ως εξής

$h(X)=\bigoplus _{i=0}^{2dim(X)}h^{i}(X).$

Τα μοτίβα $h^{0}(X)$ και $h^{2dim(X)}$ μπορούν πάντα να διαχωριστούν ως άμεσα αθροίσματα. Η εικασία επομένως ισχύει αμέσως για τις καμπύλες. Αποδείχθηκε για επιφάνειες από τον Μουρ Murre (1990). Οι Κατζ & Μέσινγκ Katz & Messing (1974) χρησιμοποίησαν τις εικασίες Βέιλ για να δείξουν την εικασία για αλγεβρικές ποικιλίες που ορίζονται πάνω σε πεπερασμένα πεδία, σε αυθαίρετη διάσταση.

Ο Σέρμενεφ Šermenev (1974) απέδειξε την αποσύνθεση Κούνεθ για αβελιανές ποικιλίες Α. Ο Μουρ Deninger & Murre (1991) βελτίωσε αυτό το αποτέλεσμα παρουσιάζοντας μια συναρτησιακή αποσύνθεση Κύνεθ του κινήτρου Τσάου της Α έτσι ώστε ο n-πολλαπλασιασμός στην αβελιανή ποικιλία να δρα ως $n^{i}$ στο i-th άθροισμα $h^{i}(A)$. Οι ντε Κατάλντο & Μιγκλιορίνι de Cataldo & Migliorini (2002) απέδειξαν την αποσύνθεση Κύνεθ για το σχήμα Χίλμπερτ των σημείων σε μια λεία επιφάνεια.

Εικασία "D" (αριθμητική ισοδυναμία έναντι ομολογικής ισοδυναμίας)

Η εικασία D δηλώνει ότι η αριθμητική και η ομολογική ισοδυναμία ταυτίζονται. (Συνεπάγεται ειδικότερα ότι η τελευταία δεν εξαρτάται από την επιλογή της θεωρίας συνομολογίας Βέιλ). Αυτή η εικασία συνεπάγεται την εικασία Λέφσετς. Αν ισχύει η εικασία του προτύπου Χοτζ, τότε η εικασία Λέφσετς και η εικασία D είναι ισοδύναμες.

Η εικασία αυτή αποδείχθηκε από τον Λίμπερμαν για ποικιλίες διάστασης το πολύ 4 και για αβελιανές ποικιλίες.

Η πρότυπη εικασία του Χοτζ

Η πρότυπη εικασία Χοτζ βασίζεται στο θεώρημα του δείκτη Χοτζ. Δηλώνει τον οριστικό χαρακτήρα (θετική ή αρνητική, ανάλογα με τη διάσταση) του ζεύγους του τεμαχιακού γινομένου σε πρωταρχικές κλάσεις αλγεβρικής συνομολογίας. Αν ισχύει, τότε η εικασία Λέφτσετς συνεπάγεται την εικασία D. Σε χαρακτηριστική μηδέν η πρότυπη εικασία Χοτζ ισχύει, ως συνέπεια της θεωρίας Χοτζ. Σε θετική χαρακτηριστική η πρότυπη εικασία Χοτζ είναι γνωστή για επιφάνειες Γκρότεντιεκ (Grothendieck (1958)) και για αβελιανές ποικιλίες διάστασης 4 Ανκόνα (Ancona (2020)).

Η πρότυπη εικασία του Χοτζ δεν πρέπει να συγχέεται με την εικασία του Χοτζ η οποία δηλώνει ότι για λείες προβολικές ποικιλίες πάνω από 'C, κάθε ορθολογική (p, p)-τάξη είναι αλγεβρική. Η εικασία Χοτζ συνεπάγεται τις εικασίες Λέφσετς και Κύνεθ και την εικασία D για ποικιλίες πάνω από πεδία χαρακτηριστικών μηδέν. Η εικασία Tate συνεπάγεται τις εικασίες Λέφτσετς, Κύνεθ και την εικασία D για ℓ-adic συνομολογία πάνω από όλα τα πεδία.

Ιδιότητες μονιμότητας των τυπικών εικασιών

Για δύο αλγεβρικές ποικιλίες X και Y, ο Αραπούρα θέσπισε τη συνθήκη ότι η Y είναι υποκινούμενη από την X. Η ακριβής συνθήκη είναι ότι το κίνητρο του Y είναι (στην κατηγορία των κινήτρων του Αντρέ) εκφραζόμενο με βάση το κίνητρο του X μέσω αθροισμάτων, αθροισμάτων και προϊόντων. Παραδείγματος χάριν, το Y έχει κίνητρο αν υπάρχει ένας υπερθετικός μορφισμός $X^{n}\to Y$. Εάν το Υ δεν συναντάται στην κατηγορία, είναι μη παρακινούμενο σε αυτό το πλαίσιο. Για ομαλές προβολικές σύνθετες αλγεβρικές ποικιλίες X και Y, τέτοιες ώστε η Y να είναι αιτιολογημένη από την X, οι συνήθεις εικασίες D (ομολογική ισοδυναμία ισούται με αριθμητική), B (Λέφτσετς), η εικασία Χοτζ και επίσης η γενικευμένη εικασία Χοτζ ισχύουν για την Y αν ισχύουν για όλες τις δυνάμεις της X. Το γεγονός αυτό μπορεί να εφαρμοστεί για να δείξει, παραδείγματος χάριν, την εικασία Λέφσετς για το σχήμα Χίλμπερτ των σημείων σε μια αλγεβρική επιφάνεια.

Σχέση με άλλες εικασίες

Ο Μπίλινσον έδειξε ότι η (υποθετική) ύπαρξη της λεγόμενης motivic τ-δομής στην τριγωνική κατηγορία των μοτίβων συνεπάγεται τις πρότυπες εικασίες B και C των Λέφσετς και Κύνεθ.

Δημοσιεύσεις

• Ancona, Giuseppe (2020), «Standard conjectures for abelian fourfolds», Invent. Math., doi:10.1007/s00222-020-00990-7 

• Arapura, Donu (2006), «Motivation for Hodge cycles», Advances in Mathematics 207 (2): 762–781, doi:10.1016/j.aim.2006.01.005 

• Beilinson, A. (2012), «Remarks on Grothendieck's standard conjectures», Regulators, Contemp. Math., 571, Amer. Math. Soc., Providence, RI, σελ. 25–32, doi:10.1090/conm/571/11319, ISBN 9780821853221 

• de Cataldo, Mark Andrea A.; Migliorini, Luca (2002), «The Chow groups and the motive of the Hilbert scheme of points on a surface», Journal of Algebra 251 (2): 824–848, doi:10.1006/jabr.2001.9105 

• Deninger, Christopher; Murre, Jacob (1991), «Motivic decomposition of abelian schemes and the Fourier transform», J. Reine Angew. Math. 422: 201–219 

• Grothendieck, A. (1969), «Standard Conjectures on Algebraic Cycles», Algebraic Geometry (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968), Oxford University Press, σελ. 193–199, http://www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/StandardConjs.pdf, ανακτήθηκε στις 2024-05-25 .

• Grothendieck, A. (1958), «Sur une note de Mattuck-Tate», J. Reine Angew. Math. 1958 (200): 208–215, doi:10.1515/crll.1958.200.208 

• Katz, Nicholas M.; Messing, William (1974), «Some consequences of the Riemann hypothesis for varieties over finite fields», Inventiones Mathematicae 23: 73–77, doi:10.1007/BF01405203 
• Kleiman, Steven L. (1968), «Algebraic cycles and the Weil conjectures», Dix exposés sur la cohomologie des schémas, Amsterdam: North-Holland, σελ. 359–386 .

• Murre, J. P. (1990), «On the motive of an algebraic surface», J. Reine Angew. Math. 1990 (409): 190–204, doi:10.1515/crll.1990.409.190 

• Kleiman, Steven L. (1994), «The standard conjectures», Motives (Seattle, WA, 1991), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 55, American Mathematical Society, σελ. 3–20 .

• Šermenev, A. M. (1974), «Motif of an Abelian variety», Funckcional. Anal. I Priložen 8 (1): 55–61 

Δείτε επίσης

• Algebraic Geometry
• Ζαν-Πιερ Σερ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Progress on the standard conjectures on algebraic cycles
• Analogues Kähleriens de certaines conjectures de Weil. J.-P Serre (extrait d'une lettre a A. Weil, 9 Nov. 1959) scan

Σημειώσεις

• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
• Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:10.1017/S0027763000000076, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157