Μετασχηματισμός Clarke

Στην ηλεκτρική  μηχανική, ο μετασχηματισμός  άλφα-βήτα ($\alpha -\beta$)  (γνωστός επίσης και ως  μετασχηματισμός Clarke) είναι ένα μαθηματικός μετασχηματισμός που χρησιμοποιείται για να απλοποιηθεί η ανάλυση των τριφασικών κυκλώματων. Εννοιολογικά είναι παρόμοιος με τον μετασχηματισμό dq0. Μια πολύ χρήσιμη εφαρμογή του μετασχηματισμού $\alpha \beta \gamma$  είναι η δημιουργία του  σήματος αναφοράς, που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της διαμόρφωσης των διανυσμάτων χώρου (space vector modulation control) των  τριφασικών  inverter.

Ορισμός

O μετασχηματισμός $\alpha \beta \gamma$ που εφαρμόζεται σε τριφασικά ρεύματα, όπως χρησιμοποιήθηκε από την Edith Clarke, είναι:

$i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}$

όπου $i_{abc}(t)$ είναι μία  γενική ακολουθία  τριφασικών ρευμάτων και $i_{\alpha \beta \gamma }(t)$ είναι η αντίστοιχη  ακολουθία ρευμάτων, που προκύπτει από το μετασχηματισμό $T$. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:

$i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.$

Ο παραπάνω μετασχηματισμός του Clarke διατηρεί τα πλάτη των ηλεκτρικών μεταβλητών πάνω στις οποίες εφαρμόζεται. Πράγματι, θεωρήστε τη συμμετρική τριφασική, ακολουθία ρευμάτων:

${\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}$

πού $I$ είναι η Ενεργός τιμή (RMS) των $i_{a}(t)$, $i_{b}(t)$, $i_{c}(t)$ και $\theta (t)$ είναι μία γενική χρονικά μεταβαλλόμενη γωνία, που μπορεί επίσης να τεθεί και σαν $\omega t$,  χωρίς απώλεια της γενικότητας. Στη συνέχεια, με την εφαρμογή του $T$ στην ακολουθία ρευμάτων, προκύπτει:

${\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0,\end{aligned}}$

όπου η τελευταία εξίσωση ισχύει εφ' όσον θεωρούμε ισοσταθμισμένα ρεύματα. Όπως φαίνεται από τις παραπάνω σχέσεις, τα πλάτη των ρευμάτων στο σύστημα αναφοράς $\alpha \beta \gamma$  είναι τα ίδια, όπως και στο φυσικό σύστημα αναφοράς.

Μετασχηματισμός αμετάβλητης ισχύος

Η πραγματική και η άεργος ισχύς που υπολογίζονται στο πεδίο του Clarke  με τον παραπάνω μετασχηματισμό, δεν είναι τα ίδιες με αυτές που υπολογίζονται στο φυσικό σύστημα αναφοράς. Αυτό συμβαίνει επειδή ο $T$ δεν είναι μοναδιαίος. Προκειμένου να διατηρηθεί η πραγματική και άεργος ισχύς πρέπει αντ' αυτού, να χρησιμοποιηθεί ο μετασχηματισμός:

$i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},$

Σε αυτή την περίπτωση τα πλάτη των μετασχηματισμένων ρευμάτων δεν είναι τα ίδια με εκείνα του φυσικού συστήματος αναφοράς, δηλ.:

${\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0.\end{aligned}}$

Τελικά, ο αντίστροφος μετασχηματισμός σε αυτή την περίπτωση είναι

$i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.$

Απλοποιημένος μετασχηματισμός

Δεδομένου ότι σε ένα ισορροπημένο σύστημα $i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)=0$ και έτσι $i_{\gamma }(t)=0$, μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τον απλοποιημένο μετασχηματισμό:

$i_{\alpha \beta }(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}$

ο οποίος είναι απλά ο αρχικός μετασχηματισμός του Clarke,  μετά  την αφαίρεση της 3ης εξίσωσης. Στην περίπτωση του απλοποιημένου μετασχηματισμού ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:

$i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}.$

Γεωμετρική Αναπαράσταση

Ο μετασχηματισμός $\alpha \beta \gamma$ μπορεί να θεωρηθεί σαν η προβολή των τριφασικών ποσοτήτων (τάσεων ή ρευμάτων) σε δύο στατικούς άξονες, τον  άξονα-$\alpha$ και τον άξονα-$\beta$.

Παραπάνω φαίνεται ο μετασχηματισμός $\alpha \beta \gamma$ , όπως εφαρμόζεται σε τρία συμμετρικά ρεύματα που ρέουν μέσα από τρεις περιελίξεις που διαφέρουν κατά 120 μοίρες. Τα τριφασικά ρεύματα έπονται των αντίστοιχων τάσεων φάσης κατά $\delta$. Το σύστημα αναφοράς $\alpha$-$\beta$, εμφανίζεται με τον άξονα $\alpha$ να ευθυγραμμίζεται με την φάση"Α". Το διάνυσμα ρεύματος $I_{\alpha \beta \gamma }$περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα $\omega$. Η συνιστώσα $\gamma$ δεν υπάρχει, δεδομένου ότι τα ρεύματα είναι ισορροπημένα.

Μετασχηματισμός $dq0$

Ο μετασχηματισμός $dq0$  είναι εννοιολογικά παρόμοιος με το μετασχηματισό $\alpha \beta \gamma$. Ενώ ο μετασχηματισμός $dq0$ είναι η προβολή των φασικών ποσότητων επάνω σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς δύο-αξόνων, ο μετασχηματισμός $\alpha \beta \gamma$  μπορεί να θεωρηθεί ως η προβολή των φασικών ποσοτήτων σε ένα στατικό σύστημα αναφοράς δύο αξόνων.

Δείτε επίσης

• Symmetrical components
• Y-Δ transform
• Field-oriented control