Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Θεώρημα τέμνουσας και εφαπτόμενης

[[File:Secant tangent theorem el.svg|thumb|250px|Το θεώρημα τέμνουσας και εφαπτομένης λέει ότι <math>\rm PA \cdot PB = P\Gamma^2</math>.]]
Στην [[γεωμετρία]], το '''θεώρημα τέμνουσας και εφαπτόμενης''' δίνει μία μετρική σχέση μεταξύ μίας [[Ευθεία εφαπτόμενη σε κύκλο|εφαπτόμενης]] και μίας [[Ευθεία τέμνουσα κύκλου|τέμνουσας ενός κύκλου]] που ξεκινάνε από το ίδιο σημείο.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ένας κύκλος με κέντρο <math>\rm O</math> και ένα σημείο <math>\rm P</math> εξωτερικό αυτού. Έστω μία τέμνουσα αυτού που ξεκινάει από το <math>\rm P</math> και τέμνει τον κύκλο στα σημεία <math>\rm A</math> και <math>\rm B</math>, και μία εφαπτόμενη με σημείο επαφής το <math>\rm \Gamma</math>. Τότε, ισχύει ότι<ref>{{cite book |chapter=Κεφάλαιο 9: Μετρικές σχέσεις |author1=Αργυρόπουλος Ηλίας |author2=Βλάμος Παναγιώτης |author3=Κατσουλης Γεωργιος |author4=Μαρκατης Στυλιανος |author5=Σιδερης Πολυχρονης |title=Ευκλείδεια Γεωμετρία Τεύχος Β' |publisher=Διόφαντος |location=Αθήνα |url=http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547/2694/Geometria_B-Lykeiou_html-empl/index9.html }}</ref><ref>{{cite book |title=Στοιχεία γεωμετρίας Μέρος α' επιπεδομετρία |last=Παπανικολάου |first=Χρήστος Γ. |location=Αθήνα |year=1971 }}</ref>{{rp|309}}
:<math>\rm PA \cdot PB =P\Gamma^2</math>.

Το θεώρημα είναι ειδική περίπτωση της [[Δύναμη σημείου ως προς κύκλο|δύναμης σημείου ως προς κύκλου]]. Το θεώρημα είναι η πρόταση 36 στο Βιβλίο 3 των [[Στοιχεία|Στοιχείων]] του Ευκλείδη.<ref>{{cite book |author=Ευκλείδης |editor-first1=Νίκος |editor-last1= Ροκοπάνος |editor-first2=Στέλλα |editor-last2=Σακελλάρη |editor-first3=Αντώνης |editor-last3=Τσολομύτης |title=Στοιχεία |url=https://myria.math.aegean.gr/elements/Stoixeia.pdf |page=108 |location=Σάμος |year=2024|isbn=9786180052046 }}</ref>

== Απόδειξη ==
{{Μαθηματική απόδειξη|τίτλος=|
[[File:Secant tangent theorem proof el.svg|thumb|250px|Τα τρίγωνα <math>\rm PA\Gamma</math> και <math>\rm P\Gamma B</math> είναι όμοια.]]
Η απόδειξη προκύπτει από το γεγονός ότι τα τρίγωνα <math>\rm PA\Gamma</math> και <math>\rm P\Gamma B</math> είναι [[όμοια τρίγωνα|όμοια]]. Τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια καθώς έχουν δύο γωνίες ίσες: 
* <math>\widehat{\rm A\Gamma P} = \widehat{\rm PB\Gamma}</math>, ως γωνία χορδής και εφαπτομένης, και
* η γωνία <math>\rm \hat{P}</math> είναι κοινή.
Επομένως, έχουμε ότι 
:<math>\rm \frac{PA}{P\Gamma} = \frac{P\Gamma}{PB}</math>.
Πολλαπλασιάζοντας χιαστί καταλήγουμε στην ζητούμενη σχέση.
}}

== Δείτε επίσης ==
* [[Δύναμη σημείου ως προς κύκλο]]
* [[Θεώρημα τεμνουσών]]
* [[Θεώρημα τεμνόμενων χορδών]]

== Παραπομπές ==
<references/>

[[Κατηγορία:Κύκλος]]
[[Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία]]