Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Εμβαδόν

'''Εμβαδόν''' ή ''έκταση'' είναι το μέγεθος [[μέτρηση]]ς των [[Επιφάνεια (γεωμετρία)|επιφανειών]].<ref name="Tav">{{cite book |last=Ταβανλης |first=Χ. |title=Επίπεδος Γεωμετρία |publisher=Ι. Χιωτελη |location=Αθήνα}}</ref>{{rp|232-245}}<ref>{{cite book |last=Στεργίου |first=Μπάμπης |title=Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, Πολύγωνα, Εμβαδά |publisher=Σαββάλας |location=Αθήνα |isbn=978-960-493-159-0}}</ref>{{rp|91-140}} Συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα <math>\rm E</math> ή το γράμμα <math>\rm A</math> (το τελευταίο χρησιμοποιείται συνήθως στην επιφάνεια [[διατομή]]ς). Η μονάδα μέτρησης στο [[διεθνές σύστημα μονάδων|διεθνές σύστημα]] είναι το [[Τετραγωνικό μέτρο|1m²]]. Το εμβαδόν θεωρείται ένα βασικό μέγεθος των δισδιάστατων σχημάτων, όπως τα τετράγωνα και οι κύκλοι, τα οποία δεν έχουν [[όγκος|όγκο]]. Όταν αναφέρεται σε τρισδιάστατα σχήματα συνήθως εννοείται το εμβαδόν της εξωτερικής επιφάνειας του σώματος.

==Λίστα τύπων υπολογισμού εμβαδού διαφόρων σχημάτων==

Παρακάτω δίνονται οι τύποι για τον υπολογισμό των πιο κοινών [[Γεωμετρικό σχήμα|γεωμετρικών σχημάτων]].

=== Τρίγωνο ===
Σε ένα τρίγωνο <math>\rm AB\Gamma</math> ισχύουν οι εξής τύποι για το εμβαδόν του
* Αν <math>\upsilon_{\rm A}, \upsilon_{\rm B}, \upsilon_{\rm \Gamma}</math> είναι τα [[ύψος τριγώνου|ύψη]] του τριγώνου, τότε{{r|T57|p=459}}
::<math>{\rm E} 
  = \tfrac{1}{2} \cdot \alpha \cdot \upsilon_{\rm A} 
  = \tfrac{1}{2} \cdot \beta \cdot \upsilon_{\rm B}
  = \tfrac{1}{2} \cdot \gamma \cdot \upsilon_{\rm \Gamma}</math>.
* ('''[[Τύπος του Ήρωνα]]''') Σε ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών <math>\alpha, \beta, \gamma</math>, έχουμε ότι{{r|T57|p=461}}
::<math>{\rm E} = \sqrt{\tau \cdot (\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma)}</math>,
:όπου <math>\tau</math> είναι η [[ημιπερίμετρος]].
* Αν <math>\hat{\rm A}</math>, <math>\hat{\rm B}</math>, <math>\hat{\rm \Gamma}</math> οι γωνίες του τριγώνου, τότε
::<math>{\rm E} 
  = \tfrac12 \beta\gamma \sin \hat{\rm A} 
  = \tfrac12 \alpha\gamma \sin \hat{\rm B}
  = \tfrac12 \alpha\beta \sin \hat{\rm\Gamma}</math>.
* Αν <math>\tau</math> είναι η [[ημιπερίμετρος]] και <math>\rho</math> η ακτίνα του [[εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου|εγγεγραμμένου κύκλου]] του τριγώνου, τότε{{r|Tav|p=238}}{{r|T57|p=462}}
::<math>{\rm E} = \tau \cdot \rho</math>.
* Αν <math>\tau</math> είναι η [[ημιπερίμετρος]] και <math>\rho_{\rm A}, \rho_{\rm B}, \rho_{\rm \Gamma}</math> οι ακτίνες των [[παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου|παρεγγεγραμμένων κύκλων]] του τριγώνου, τότε{{r|Tav|p=238}}{{r|T57|p=462}}
::<math>{\rm E} 
  = (\tau - \alpha) \cdot \rho_{\rm A} 
  = (\tau - \beta) \cdot \rho_{\rm B}
  = (\tau - \gamma) \cdot \rho_{\rm \Gamma}</math>.
* Αν <math>\tau</math> είναι η [[ημιπερίμετρος]], <math>\rho</math> η ακτίνα του [[εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου|εγγεγραμμένος κύκλος]] και <math>\rho_{\rm A}, \rho_{\rm B}, \rho_{\rm \Gamma}</math> οι ακτίνες των [[παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου|παρεγγεγραμμένων κύκλων]] του τριγώνου, τότε{{r|Tav|p=238}}
::<math>{\rm E} = \sqrt{\rho \cdot \rho_{\rm A} \cdot \rho_{\rm B} \cdot \rho_{\rm \Gamma}}</math>.
* Αν <math>R</math> η ακτίνα του [[περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου|περιγεγραμμένου κύκλου]] του τριγώνου, τότε{{r|Tav|p=238}}{{r|T57|p=461}}
::<math>{\rm E} = \frac{\alpha \beta \gamma}{4R}</math>.
* Αν οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι <math>{\rm A} = (x_{\rm A}, y_{\rm A})</math>, <math>{\rm B} = (x_{\rm B}, y_{\rm B})</math> και <math>{\rm \Gamma} = (x_{\rm \Gamma}, y_{\rm \Gamma})</math>, τότε 
::<math>{\rm E} = \frac{1}{2} \begin{vmatrix}
x_{\rm A} & y_{\rm A} & 1 \\
x_{\rm B} & y_{\rm B} & 1 \\
x_{\rm \Gamma} & y_{\rm \Gamma} & 1\\
\end{vmatrix}.</math>

==== Ειδικά τρίγωνα ====

* ('''[[Ισόπλευρο τρίγωνο]]''') Το εμβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου με  μήκος πλευράς <math>x</math> είναι{{r|T57|p=461}}
::<math>{\rm E} = \frac{1}{4} \sqrt{3}x^2</math>.
* ('''[[Ορθογώνιο τρίγωνο]]''') Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με <math>\hat{\rm A} = 90^\circ</math> είναι{{r|T57|p=460}}
::<math>{\rm E} = \tfrac{1}{2} \beta \cdot \gamma</math>.

=== Τετράπλευρο ===
* ('''[[Τύπος Bretschneider]]''') Το εμβαδόν ενός [[τετράπλευρο|τετραπλεύρου]] <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> με μήκη πλευρών <math>\alpha, \beta, \gamma, \delta</math> και ημιπερίμετρο <math>\rm \tau</math> είναι<ref>{{cite book |last=Andreescu |first=Titu |title=Complex numbers from A to ... Z |year=2006 |url=https://archive.org/details/complexnumbersfr0000andr |publisher=Birkhäuser |location=Boston Basel Berlin |isbn=9780817643263 |last2=Dorin |first2=Andrica }}</ref>{{rp|207}}
:<math>{\rm E} = \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma) \cdot (\tau - \delta) - \alpha\beta\gamma\delta \cdot \cos^2 \left( \tfrac{\rm \hat{A} + \hat{\Gamma}}{2}\right)}</math>.
* Αν οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι <math>{\rm A} = (x_{\rm A}, y_{\rm A})</math>, <math>{\rm B} = (x_{\rm B}, y_{\rm B})</math>, <math>{\rm \Gamma} = (x_{\rm \Gamma}, y_{\rm \Gamma})</math> και <math>{\rm \Delta} = (x_{\rm \Delta}, y_{\rm \Delta})</math>, τότε 
::<math>{\rm E} = \frac{1}{2} \begin{vmatrix}
x_{\rm A} & y_{\rm A} & 1 \\
x_{\rm B} & y_{\rm B} & 1 \\
x_{\rm \Gamma} & y_{\rm \Gamma} & 1\\
\end{vmatrix} + \frac{1}{2} \begin{vmatrix}
x_{\rm B} & y_{\rm B} & 1 \\
x_{\rm \Gamma} & y_{\rm \Gamma} & 1\\
x_{\rm \Delta} & y_{\rm \Delta} & 1 \\
\end{vmatrix}.</math>

==== Ειδικά τετράπλευρα ====

* ('''[[Τετράγωνο]]''') Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς <math>x</math> είναι 
::<math>{\rm E} = x^2</math>.
* ('''[[Ρόμβος]]''') Το εμβαδόν ενός ρόμβου είναι{{r|T57|p=463}}
::<math>{\rm E} = \tfrac{1}{2} \cdot \delta_1 \cdot \delta_2</math>
:όπου <math>\delta_1</math> και <math>\delta_2</math> είναι τα μήκη των διαγωνίων του.
* ('''[[Παραλληλόγραμμο]]''') Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι{{r|T57|p=458}}
::<math>{\rm E} = \beta \cdot \upsilon</math>
:όπου <math>\beta</math> είναι το μήκος της μίας πλευράς (αποκαλούμενης ''βάσης'') και <math>\upsilon</math> το μήκος της απόστασης μεταξή των δύο παράλληλων βάσεων (αποκαλούμενου ύψους).
* ('''[[Τραπέζιο]]''') Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι{{r|T57|p=464}}
::<math>{\rm E} = \tfrac{1}{2} \cdot (B + \beta) \cdot \upsilon</math>,
:όπου <math>B</math> και <math>\beta</math> είναι τα μήκη των δύο παράλληλων πλευρών του (αποκαλούμενες ως ''βάση'' και ''μικρή βάση'' αντίστοιχα) και <math>\upsilon</math> το ύψος του, δηλαδή η απόσταση ανάμεσα στις δύο παράλληλες.
* Το εμβαδόν ενός τραπεζίου με πλευρές <math>\alpha, \beta, \gamma, \delta</math> και ημιπερίμετρο <math>\tau</math> είναι{{r|T57|p=465}}
::<math>{\rm E} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} \cdot \sqrt{(\tau - \alpha) (\tau - \beta) (\tau - \beta - \gamma) (\tau - \beta - \delta)}</math>.
* ('''[[Τύπος Βραχμαγκούπτα]]''') Το εμβαδόν ενός [[Εγγράψιμο τετράπλευρο|εγγράψιμου τετραπλεύρου]] δίνεται από
::<math>{\rm E} = \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma) \cdot (\tau - \delta)}</math>
:όπου <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math> και <math>\delta</math> είναι τα μήκη των πλευρών του και <math>\tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma + \delta)</math> η ημιπερίμετρός του.

=== Κανονικό πολύγωνο ===

*Το εμβαδόν ενός κανονικού <math>n</math>-γώνου με πλευρά μήκους <math>x</math> είναι
::<math>{\rm E} = \frac{1}{4}nx^2\cdot \cot(\pi/n)</math>.
*Το εμβαδόν ενός κανονικού <math>n</math>-γώνου με ημιπερίμετρο <math>\tau</math> είναι
::<math>{\rm E} = \frac{1}{n} \cdot \tau \cdot \cot(\pi/n)</math>
*Το εμβαδόν ενός κανονικού <math>n</math>-γώνου είναι
::<math>{\rm E} = \frac{1}{2}nR^2\cdot \sin(2\pi/n) = nr^2 \tan(\pi/n)</math>
:όπου <math>R</math> είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, και <math>r</math> είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.
*Το εμβαδόν ενός κανονικού <math>n</math>-γώνου είναι{{r|T57|p=466}}
::<math>{\rm E} = \tau \cdot \rho</math>
:όπου <math>r</math> είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, και <math>\tau</math> η ημιπερίμετρος του.

==== Ειδικές περιπτώσεις ====
* ('''[[Κανονικό εξάγωνο]]''') Το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς <math>x</math> δίνεται από
::<math>{\rm E} = \frac{3}{2} \sqrt{3}x^2</math>.
* ('''[[Κανονικό οκτάγωνο]]''') Το εμβαδόν ενός κανονικού οκταγώνου πλευράς <math>x</math> δίνεται από
::<math>{\rm E} = 2(1+\sqrt{2})x^2</math>

=== Κύκλος και κυκλικός τομέας ===
* Το εμβαδόν ενός [[κύκλος|κύκλου]] είναι ίσο με{{r|T57|p=474}}
::<math>{\rm E} = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}</math>,
:όπου <math>r</math> είναι η ακτίνα του και <math>d = 2r</math> είναι η [[διάμετρος]] του.
* Το εμβαδόν ενός [[Κυκλικός τομέας|κυκλικού τομέα]] είναι{{r|T57|p=474}}
::<math>{\rm E} = \frac{\theta}{2}r^2 = \frac{\Pi \cdot r}{2}</math>
:όπου <math>r</math> είναι η ακτίνα του κύκλου, <math>\theta</math> είναι η γωνία του (σε [[ακτίνια]]), και <math>\Pi</math> η περίμετρός του.

== Επιφάνεια γεωματερικών στερεών ==

=== Κύλινδρος ===

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός [[Κύλινδρος (γεωμετρία)|κυλίνδρου]] δίνεται από
:<math>{\rm E}_{\text{π}} = 2\pi r \cdot \upsilon</math>,
και το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας του από<ref name="T57">{{cite book |last=Τόγκας |first=Πέτρος Γ. |title=Θεωρητική Γεωμετρία |year=1957 |publisher=Πέτρου Γ. Τόγκα |location=Αθήνα}}</ref>{{rp|738}}
:<math>{\rm E}_{\text{ολ}} = 2\pi r (r + \upsilon)</math>,
όπου <math>r</math> είναι η ακτίνα και <math>\upsilon</math> το ύψος του.

=== Σφαίρα ===
Το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας μίας [[σφαίρα]]ς δίνεται από{{r|T57|p=780}}
:<math>{\rm E}_{\text{σφ}} = 4\pi r^2 = \pi d^2</math>,
όπου <math>r</math> είναι η ακτίνα της και <math>d = 2r</math> η διάμετρός της.

=== Πυραμίδα ===
Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας μίας [[πυραμίδα (γεωμετρία)|πυραμίδας]] δίνεται από{{r|T57|p=683}}
:<math>{\rm E}_\text{π} = \tfrac{1}{2} \Pi \cdot \upsilon</math>
και το εμβαδόν της συνολικής της επιφάνειας από 
:<math>{\rm E}_\text{ολ} = {\rm E}_B</math>,
όπου <math>{\rm E}_B</math> είναι το εμβαδόν της επιφάνειας της βάσης, <math>\Pi</math> είναι η περίμετρος της βάσης και <math>\upsilon</math> το παράπλευρο ύψος. 

=== Κώνος ===
Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός [[κώνος|κώνου]] είναι{{r|T57|p=747}}
:<math>{\rm E}_{\text{π}} = \pi r \ell = \pi r \sqrt{r^2+\upsilon^2}</math>
και της συνολικής του επιφάνειας είναι
:<math>{\rm E}_{\text{ολ}} = \pi r(r+\ell) = \pi r(r+\sqrt{r^2+\upsilon^2})</math>,
όπου <math>r</math> είναι η ακτίνα της βάσης, <math>\upsilon</math> το ύψος του κώνου, και <math>\ell</math> η ακμή του.

== Μεταξύ όμοιων σχημάτων ==

{{μαθηματικό θεώρημα|Έστω δύο [[ομοιότητα (γεωμετρία)|όμοια]] πολύγωνα <math>\Sigma_1</math> και <math>\Sigma_2</math> με λόγο ομοιότητας <math>\lambda</math>. Τότε ο λόγος των εμβαδών τους ικανοποιεί{{r|T57|p=487}}
:<math>\frac{{\rm E}_1}{{\rm E}_2} = \lambda^2</math>.
}}

== Δείτε επίσης ==
* [[Περίμετρος]]
* [[Όγκος]]

== Περαιτέρω ανάγνωση ==

=== Ελληνικά άρθρα ===
* {{cite journal |last1=Καρδαμίτσης |first1=Σπύρος |title=Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=2021 |month=Οκτωβρίου |issue=122 |pages=36-38 |url=http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_t122_2021.pdf }}
* {{cite journal |title=Παραδείγματα και ασκήσεις στα εμβαδά πολυγώνων |pages=28-30 |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=1977 |issue=2 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2918}}
* {{cite journal |title=Η μέθοδος των εμβαδών και η μέθοδος των όγκων |author=Κισκύρας Νίκος |pages=39-46 |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=1977 |issue=2 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2918}}
* {{cite journal |title=Εμβαδό Κυρτού Πολυγώνου |author=Γ. Τασσόπουλος |pages=155-157 |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=1978 |issue=4 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4110}}
* {{cite journal |title=Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων |author=Γιαννέλος, Δρακόπουλος |pages=24-26 |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=1978 |issue=4 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3951 }}
* {{cite journal |title=Εμβαδό τριγώνου |author=Χ. Παπαδόπουλος |pages=49-51 |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=1981 |issue=1 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3951 }}
* {{cite journal |title=Μια σημείωση στα εμβαδά, στα κανονικά πολύγωνα και στον κύκλο |author=Β. Γιαννακόπουλος |pages=201-204 |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=1981 |issue=3 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3149 }}
* {{cite journal |title=Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων |author=Δ. Λιουδάκης |pages=25-28 |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=1989 |issue=3 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3228 }}
* {{cite journal |title=Τα εμβαδά των επίπεδων χώρων |author=Γκαμψάλα Χρύσα |pages=30-34 |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=1990 |issue=4 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3403 }}

=== Ξενόγλωσσα άρθρα ===
* {{cite journal |last=Trainin |first=J. |title=91.70 an Elementary Proof of Pick's Theorem |journal=The Mathematical Gazette |year=2007 |volume=91 |issue=522 |pages=536-540 |url=https://www.jstor.org/stable/40378436}}
* {{cite journal |last=Stein |first=Sherman |title=Cutting a Polygon into Triangles of Equal Areas |journal=The Mathematical Intelligencer |date=Δεκεμβρίου 2004 |volume=26 |issue=1 |pages=17–21 |doi=10.1007/BF02985395}}
* {{cite journal |last=Di Domenico |first=Angelo S. |title=87.46 A property of triangles involving area |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2003-07_87_509/page/323 |journal=The Mathematical Gazette |date=Ιουλίου 2003 |volume=87 |issue=509 |pages=323–324 |doi=10.1017/S0025557200172870}}

==Παραπομπές==
<references />

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
{{βικιλεξικό}}
{{commonscat}}

{{Authority control}}
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
[[Κατηγορία:Εμβαδόν| ]]
[[Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία]]