Αναλλοίωτοι Γκρόμοφ-Βίτεν

Στα μαθηματικά, και συγκεκριμένα στη συμπλεκτική τοπολογία και την αλγεβρική γεωμετρία, οι αναλλοίωτοι Γκρόμοφ-Βίτεν^[1] (GW) είναι ρητοί αριθμοί που, σε ορισμένες περιπτώσεις, μετράνε αντι-ολομορφικές καμπύλες που πληρούν καθορισμένες συνθήκες σε μια δεδομένη συμπλεκτική πολλαπλότητα. Οι αναλλοίωτοι GW μπορούν να παρουσιαστούν ως κλάση ομολογίας ή συνομολογίας σε έναν κατάλληλο χώρο ή ως παραμορφωμένο τεμαχισμένο γινόμενο της κβαντικής συνομολογίας. Αυτοί οι αναλλοίωτοι χρησιμοποιήθηκαν για να διακρίνουν συμπλεκτικές πολλαπλότητες που προηγουμένως ήταν δυσδιάκριτες. Παίζουν επίσης κρίσιμο ρόλο στην κλειστή θεωρία χορδών τύπου ΙΙΑ. Πήραν το όνομά τους από τους Μιχαήλ Γκρόμοφ και Έντουαρντ Βίτεν.

Ο αυστηρός μαθηματικός ορισμός των αναλλοίωτων Γκρόμοφ- Βίτεν είναι μακροσκελής και δύσκολος, γι' αυτό και αντιμετωπίζεται ξεχωριστά στο άρθρο για τους σταθερούς χάρτες^[2]. Αυτό το άρθρο επιχειρεί μια πιο διαισθητική εξήγηση του τι σημαίνουν οι αναλλοίωτοι, πώς υπολογίζονται και γιατί είναι σημαντικοί.

Ορισμός

Έστω τα ακόλουθα:^[3]

X: μια κλειστή συμπλεκτική πολλαπλότητα διάστασης 2k,
A: μια 2-διάστατη τάξη ομολογίας στην X,
g: ένας μη αρνητικός ακέραιος,
n: ένας μη αρνητικός ακέραιος.

Τώρα καθορίζουμε τους αναλλοίωτους Γκρόμοφ - Βίτεν που σχετίζονται με την 4tuple: (X, A, g, n). Έστω ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ ο χώρος Ντελίν-Μάμφορντ moduli των καμπυλών γένους g με n σημειωμένα σημεία και ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ συμβολίζουμε το χώρο moduli των σταθερών χαρτών στο X της κλάσης A, για κάποια επιλεγμένη σχεδόν μιγαδική δομή J στο X συμβατή με τη συμπλεκτική του μορφή. Τα στοιχεία της ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ είναι της μορφής:

(C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)

,

όπου C είναι μια (όχι απαραίτητα σταθερή) καμπύλη με n σημειωμένα σημεία x₁, ..., x_n και f : C → X είναι ᾱντι-ολομορφική. Ο χώρος moduli έχει πραγματική διάσταση

d:=2c_{1}^{X}(A)+(2k-6)(1-g)+2n.

Έστω

\mathrm {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}

υποδηλώνουν τη σταθεροποίηση της καμπύλης. Έστω

Y:={\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times X^{n},

η οποία έχει πραγματική διάσταση $6g-6+2(k+1)n$ . Υπάρχει ένας χάρτης αξιολόγησης

{\begin{cases}\mathrm {ev} :{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)\to Y\\\mathrm {ev} (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)=\left(\operatorname {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})\right).\end{cases}}

Ο χάρτης αξιολόγησης μετατρέπει τη θεμελιώδη κλάση της ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ σε μια d-διάστατη ρητή τάξη ομολογίας στο Y, που συμβολίζεται με

GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}(Y,\mathbb {Q} ).

Κατά μία έννοια, αυτή η κλάση ομολογίας είναι οι αναλλοίωτοι Γκρόμοφ - Βίτεν του X για τα δεδομένα g, n, και A. Είναι αναλλοίωτο της συμπλεκτικής κλάσης ισοτοπίας της συμπλεκτικής πολλαπλότητας X.

Προκειμένου να ερμηνεύσουμε γεωμετρικά τους αναλλοίωτους Γκρόμοφ-Βίτεν, έστω β μια κλάση ομολογίας στο ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ και $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ κλάσεις ομολογίας στο X, έτσι ώστε το άθροισμα των κωδικοδιαστάσεων των $\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ να ισούται με d. Αυτές οδηγούν σε κλάσεις ομολογίας στο Y μέσω του τύπου Κύνεθ. Έστω

GW_{g,n}^{X,A}(\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}):=GW_{g,n}^{X,A}\cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdots \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbb {Q} ),

όπου $\cdot$ δηλώνει το γινόμενο τομής στην ρητή ομολογία του Y. Πρόκειται για έναν ρητό αριθμό, αναλλοίωτο Γκρόμοφ - Βίτεν για τις συγκεκριμένες κλάσεις. Ο αριθμός αυτός δίνει μια "εικονική" καταμέτρηση του αριθμού των ψευδοχωρομορφικών καμπυλών (στην κλάση A, γένους g, με πεδίο στο β-μέρος του χώρου Ντελίν-Μάμφορντ) των οποίων τα n σημειωμένα σημεία αντιστοιχίζονται σε κύκλους που αντιπροσωπεύουν το $\alpha _{i}$ .

Με απλά λόγια, ένα αναλλοίωτο GW μετράει πόσες καμπύλες υπάρχουν που τέμνουν n επιλεγμένες υποπολλαπλότητες του X. Ωστόσο, λόγω της "εικονικής" φύσης της καταμέτρησης, δεν χρειάζεται να είναι ένας φυσικός αριθμός, όπως θα περίμενε κανείς να είναι μια καταμέτρηση. Διότι ο χώρος των σταθερών χαρτών είναι μια τροχιακή πολλαπλότητα, της οποίας τα σημεία ισοτροπίας μπορούν να συνεισφέρουν μη ακέραιες τιμές στο αναλλοίωτο.

Υπάρχουν πολυάριθμες παραλλαγές αυτής της κατασκευής, στις οποίες η συνομολογία χρησιμοποιείται αντί της ομολογίας, η ολοκλήρωση αντικαθιστά την τομή, οι κλάσεις Τσερν που απομακρύνονται από το χώρο Ντελίν-Μάμφορντ ενσωματώνονται επίσης, κ.λπ.

Τεχνικές υπολογισμών

Οι αναλλοίωτοι Γκρόμοφ - Βίτεν είναι γενικά δύσκολο να υπολογιστούν. Ενώ ορίζονται για οποιαδήποτε γενική σχεδόν σύνθετη δομή J, για την οποία η γραμμικοποίηση D του ${\bar {\partial }}_{j,J}$ λειτουργού είναι υποθετική, στην πραγματικότητα πρέπει να υπολογιστούν σε σχέση με ένα συγκεκριμένο, επιλεγμένο J. Είναι πιο βολικό να επιλέγουμε το J με ειδικές ιδιότητες, όπως μη-γενικές συμμετρίες ή ολοκληρωσιμότητα. Πράγματι, οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται συχνά σε πολλαπλότητες Κέλερ χρησιμοποιώντας τις τεχνικές της αλγεβρικής γεωμετρίας.^[4]

Ωστόσο, ένα ειδικό J μπορεί να προκαλέσει ένα μη-επιρρίπτικό D και συνεπώς έναν χώρο moduli αντι-ολομορφικών καμπυλών που είναι μεγαλύτερος από τον αναμενόμενο. Σε ελεύθερη απόδοση, διορθώνουμε αυτό το φαινόμενο σχηματίζοντας από τον πυρήνα του D μια διανυσματική δέσμη, που ονομάζεται δέσμη παρεμπόδισης, και στη συνέχεια υλοποιούμε το αναλλοίωτο GW ως το ολοκλήρωμα της κλάσης Όιλερ της δέσμης παρεμπόδισης. Για να γίνει αυτή η ιδέα ακριβής απαιτούνται σημαντικά τεχνικά επιχειρήματα με τη χρήση δομών Κουρανίσκι.

Η κύρια υπολογιστική τεχνική είναι ο εντοπισμός. Αυτή εφαρμόζεται όταν το Χ είναι τορικός, που σημαίνει ότι επιδρά πάνω του ένας μιγαδικός τόρος, ή τουλάχιστον τοπικά τορικός. Τότε μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει το θεώρημα σταθερού σημείου Ατίγια-Μποτ, των Μιχαέλ Ατίγια και Ραούλ Μποτ, για να μειώσει, ή να εντοπίσει, τον υπολογισμό ενός αναλλοίωτου GW σε μια ολοκλήρωση πάνω στον τόπο σταθερού σημείου της δράσης.

Μια άλλη προσέγγιση είναι να χρησιμοποιήσουμε συμπλεκτικές επεμβάσεις για να συσχετίσουμε τον Χ με έναν ή περισσότερους άλλους χώρους των οποίων οι αναλλοίωτοι GW υπολογίζονται ευκολότερα. Φυσικά, πρέπει πρώτα να κατανοήσουμε πώς συμπεριφέρονται οι αναλλοίωτοι κάτω από τις χειρουργικές επεμβάσεις. Για τέτοιες εφαρμογές χρησιμοποιούνται συχνά οι πιο περίπλοκες σχετικές GW αναλλοίωτους, οι οποίες μετρούν καμπύλες με προδιαγεγραμμένες συνθήκες εφαπτομένων κατά μήκος μιας συμπλεκτικής υποδιαστολής του X πραγματικής κωδικοδιάστασης δύο

Σχετικοί αναλλοίωτοι και άλλες κατασκευές

Οι αναλλοίωτοι GW είναι στενά συνδεδεμένοι με έναν αριθμό άλλων εννοιών στη γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένων των αναλλοίωτων Ντόναλντσον και των αναλλοίωτων Σάιμπεργκ-Βίτεν στη συμπλεκτική κατηγορία και της θεωρίας Ντόναλντσον-Τόμας στην αλγεβρική κατηγορία. Για συμπαγείς συμπλεκτικές τετραπλές πολλαπλότητες, ο Κλίφορντ Τάουμπς έδειξε ότι μια παραλλαγή των αναλλοίωτων GW (βλ. αναλλοίωτη Γκρόμοφ του Τάουμπς) είναι ισοδύναμη με τους αναλλοίωτους Σάιμπεργκ-Βίτεν. Για αλγεβρικές τριπλότητες, εικάζεται ότι περιέχουν την ίδια πληροφορία με τους αναλλοίωτους Ντόναλντσον-Τόμας με ακέραιες τιμές. Οι φυσικές εκτιμήσεις οδηγούν επίσης στους αναλλοίωτους Γκοπακουμάρ-Vafa, οι οποίες προορίζονται να δώσουν μια υποκείμενη ακέραια μέτρηση στην τυπικά ρητή θεωρία Γκρόμοφ- Βίτεν. Οι αναλλοίωτοι Γκοπακουμάρ-Vafa δεν έχουν επί του παρόντος έναν αυστηρό μαθηματικό ορισμό, και αυτό είναι ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα του θέματος.

Οι αναλλοίωτοι Γκρόμοφ- Βίτεν των λείων προβολικών ποικιλιών μπορούν να οριστούν εξ ολοκλήρου στο πλαίσιο της αλγεβρικής γεωμετρίας. Η κλασική απαριθμητική γεωμετρία των επίπεδων καμπυλών και των ρητών καμπυλών σε ομογενείς χώρους αποτυπώνονται αμφότερες από τις αναλλοίωτοι GW. Ωστόσο, το σημαντικό πλεονέκτημα που έχουν οι αναλλοίωτοι GW σε σχέση με τις κλασικές απαριθμητικές απαριθμήσεις είναι ότι είναι αναλλοίωτοι κάτω από παραμορφώσεις της μιγαδικής δομής του στόχου. Οι αναλλοίωτοι GW παρέχουν επίσης παραμορφώσεις της δομής του γινομένου στον δακτύλιο συνομολογίας μιας συμπλεκτικής ή προβολικής πολλαπλότητας- μπορούν να οργανωθούν για να κατασκευάσουν τον κβαντικό δακτύλιο συνομολογίας της πολλαπλότητας X, ο οποίος είναι μια παραμόρφωση της συνήθους συνομολογίας. Η συσχετιστικότητα του παραμορφωμένου γινομένου είναι ουσιαστικά συνέπεια της αυτο-ομοιομορφίας του χώρου moduli των σταθερών χαρτών που χρησιμοποιούνται για τον ορισμό των αναλλοίωτων.

Ο δακτύλιος κβαντικής συνομολογίας είναι γνωστό ότι είναι ισομορφικός με τη συμπλεκτική ομολογία του Φλόερ με το γινόμενο του ζεύγους των παντελονιών.^[5]

Εφαρμογή στη φυσική

Οι αναλλοίωτοι GW παρουσιάζουν ενδιαφέρον στη θεωρία χορδών, έναν κλάδο της φυσικής που προσπαθεί να ενοποιήσει τη γενική σχετικότητα και την κβαντομηχανική. Στη θεωρία αυτή, τα πάντα στο σύμπαν, ξεκινώντας από τα στοιχειώδη σωματίδια, αποτελούνται από μικροσκοπικές χορδές. Καθώς μια χορδή ταξιδεύει στο χωροχρόνο, διαγράφει μια επιφάνεια, που ονομάζεται φύλλο κόσμου της χορδής. Δυστυχώς, ο χώρος moduli αυτών των παραμετρικών επιφανειών, τουλάχιστον εκ των προτέρων, είναι άπειρης διάστασης- δεν είναι γνωστό κανένα κατάλληλο μέτρο σε αυτόν τον χώρο, και έτσι τα ολοκληρώματα διαδρομής της θεωρίας στερούνται αυστηρού ορισμού.^[6]

Η κατάσταση βελτιώνεται στην παραλλαγή που είναι γνωστή ως κλειστό πρότυπο Α. Εδώ υπάρχουν έξι χωροχρονικές διαστάσεις, οι οποίες συνιστούν μια συμπλεκτική πολλαπλότητα, και αποδεικνύεται ότι τα worldsheets παραμετροποιούνται αναγκαστικά από ψευδοχωρομορφικές καμπύλες, που οι χώροι moduli τους είναι μόνο πεπερασμένης διάστασης. Οι αναλλοίωτοι GW, ως ολοκληρώματα επί αυτών των χώρων moduli, είναι τότε ολοκληρώματα διαδρομής της θεωρίας. Ειδικότερα, η ελεύθερη ενέργεια του μοντέλου Α στο γένος g είναι η παραγωγός συνάρτηση των αναλλοίωτων GW του γένους g.

Βιβλιογραφία

Moduli Spaces of Genus-One Stable Maps, Virtual Classes and an Exercise of Intersection Theory - Andrea Tirelli
Kock, Joachim· Vainsencher, Israel (2007). An Invitation to Quantum Cohomology: Kontsevich's Formula for Rational Plane Curves. New York: Springer. ISBN 978-0-8176-4456-7. A nice introduction with history and exercises to the formal notion of moduli space, treats extensively the case of projective spaces using the basics in the language of schemes.
Vakil, Ravi (2006). «The Moduli Space of Curves and Gromov–Witten Theory». Enumerative Invariants in Algebraic Geometry and String Theory. 1947. Springer. σελίδες 143–198. arXiv:math/0602347 . Bibcode:2006math......2347V. doi:10.1007/978-3-540-79814-9_4.
Notes on stable maps and quantum cohomology

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Gromov-Witten theory of schemes in mixed characteristic

Παραπομπές

↑ «Introduction to Gromov-Witten Theory».
↑ Golubitsky, M.· Guillemin, V. (6 Δεκεμβρίου 2012). Stable Mappings and Their Singularities. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4615-7904-5.
↑ «Gromov-Witten Invariants» (PDF).
↑ Clader, Emily· Ruan, Yongbin (8 Απριλίου 2019). B-Model Gromov-Witten Theory. Springer. ISBN 978-3-319-94220-9.
↑ «Genus of a pair of pants». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 17 Απριλίου 2024.
↑ «Hamiltonian Gromov–Witten invariants on ℂ n+1 with S 1-action».

[1] «Introduction to Gromov-Witten Theory».

[2] Golubitsky, M.· Guillemin, V. (6 Δεκεμβρίου 2012). Stable Mappings and Their Singularities. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4615-7904-5.

[3] «Gromov-Witten Invariants» (PDF).

[4] Clader, Emily· Ruan, Yongbin (8 Απριλίου 2019). B-Model Gromov-Witten Theory. Springer. ISBN 978-3-319-94220-9.

[5] «Genus of a pair of pants». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 17 Απριλίου 2024.

[6] «Hamiltonian Gromov–Witten invariants on ℂ n+1 with S 1-action».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]