Χρήστης:Vaggelitsa08/πρόχειρο

Παράγοντες

Μία άλγεβρα von Neumann N της οποίας το κέντρο αποτελείται μόνο από πολλαπλάσια της πράξης της ταυτότητας ονομάζεται παράγοντας. von Neumann (1949) έδειξε ότι κάθε von Neumann άλγεβρα σε διαχωρίσιμο χώρο Hilbert είναι ισόμορφη με ευθύ ολοκλήρωμα από παράγοντες. Αυτή η ανάλυση είναι ουσιαστικά μοναδική. Έτσι, το πρόβλημα της ταξινόμησης ισομορφισμού των τάξεων της άλγεβρας von Neumann σχετικά με διαχωρίσιμους χώρους Hilbert μπορεί να μειωθεί σε εκείνη της ταξινόμησης τάξεων σε ισομορφισμούς παραγόντων.

Murray & von Neumann (1936) έδειξε ότι κάθε παράγοντας έχει έναν από τους 3 τύπους, όπως περιγράφεται παρακάτω. Η ταξινόμηση τύπου μπορεί να επεκταθεί σε von Neumann άλγεβρες που δεν είναι παράγοντες, και μια von Neumann άλγεβρα είναι τύπου Χ, εάν μπορεί να αναλυθεί ως άμεσο ολοκλήρωμα του τύπου παραγόντων Χ; Για παράδειγμα, κάθε αντιμεταθετική von Neumann άλγεβρα έχει τύπου I₁. Κάθε άλγεβρα von Neumann μπορεί να γραφτεί με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα των von Neumann άλγεβρες των τύπων I₁. I₁.

Υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι για να διαιρέσει τους παράγοντες σε κλάσεις που χρησιμοποιούνται μερικές φορές:

• Ένας παράγοντας που ονομάζεται διακριτός (ή περιστασιακά tame) εάν έχει τύπου Ι, και συνεχής (ή περιστασιακά wild) αν έχει τύπο II ή III.
• Ένας παράγοντας που ονομάζεται ημιπεπερασμένος εάν έχει τύπου Ι ή II, και καθαρά άπειρος αν έχει τύπου III.
• Ένας παράγοντας που ονομάζεται πεπερασμένος εάν η προβολή 1 είναι πεπερασμένη και γνησίως άπειρη διαφορετικά. Παράγοντες των τύπων Ι και ΙΙ μπορεί να είναι είτε πεπερασμένοι είτε γνησίως άπειροι, αλλά και παράγοντες του τύπου III είναι πάντα γνησίως άπειροι.

Παράγοντες τύπου Ι

Ένας παράγοντας λέγεται ότι είναι 'τύπου Ι' αν υπάρχει μια ελάχιστη προβολή E ≠ 0,δηλαδή μια προβολή Ε, έτσι ώστε δεν υπάρχει άλλη προβολή F με 0 < F < Ε. Κάθε παράγοντας τύπου I είναι ισομορφικός στην von Neumann άλγεβρα όλων των φραγμένων τελεστών σε κάποιο χώρο Hilbert; Δεδομένου ότι υπάρχει ένας χώρος Hilbert για κάθε πληθικό αριθμό, οι κλάσεις ισομορφισμού των παραγόντων του τύπου Ι αντιστοιχούν ακριβώς στους πληθικούς αριθμούς. Δεδομένου ότι πολλοί συγγραφείς θεωρούν τις von Neumann άλγεβρες μόνο σε διαχωρίσιμους χώρους Hilbert, είναι σύνηθες να καλέσει τους φραγμένους τελεστές σε ένα χώρο Hilbert πεπερασμένης διάστασης n παράγοντα τύπου Ι _n και οι φραγμένοι τελεστές σε ένα διαχωρίσιμο απείρων διαστάσεων χώρο Hilbert, ένα παράγοντα τύπου Ι _∞.

Παράγοντες τύπου ΙΙ

Ένας παράγοντας λέγεται ότι είναι τύπου ΙΙ αν δεν υπάρχουν ελάχιστες προβολές, αλλά υπάρχουν μη-μηδενικές πεπερασμένες προβολές. Αυτό σημαίνει ότι κάθε προβολή Ε μπορεί να μειωθεί στο μισό, με την έννοια ότι υπάρχουν ισοδύναμες προβολές F και G, έτσι ώστε Ε =F+G. Εάν ο ταυτοτικός τελεστής σε έναν παράγοντα τύπου II είναι πεπερασμένος, ο παράγοντας λέγεται ότι είναι του τύπου II ₁; Σε αντίθετη περίπτωση, λέγεται ότι είναι του τύπου II _∞. Οι καλύτερα κατανοητοί παράγοντες του τύπου II είναι υπερπεπερασμένος τύπου II₁ παράγοντας και ο υπερπεπερασμένος τύπου II_∞ παράγοντας, βρέθηκε από Murray & von Neumann (1936). Αυτοί είναι οι μοναδικοί υπερπεπερασμένοι παραγοντες τύπου ΙΙ ₁ και ΙΙ _∞; υπάρχει ένας ανυπολόγιστος αριθμός άλλων παραγόντων από αυτούς τους τύπους που αποτελούν αντικείμενο εντατικής μελέτης. Murray & von Neumann (1937) αποδείχθηκε το βασικό αποτέλεσμα ότι ένας παράγοντας του τύπου ΙΙ ₁ έχει μία μοναδική πεπερασμένη tracial κατάσταση και το σύνολο των ιχνών των προβολών είναι [0,1].

Ένας παράγοντας του τύπου ΙΙ _∞ έχει μοναδικό ημιπεπερασμένο ίχνος με αναγωγή, και το σύνολο των ιχνών των προβολών είναι [0, ∞]. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών λ έτσι ώστε να υπάρχει μια κλίμακα αυτομορφισμού και το ίχνος από ένα συντελεστή λ ονομάζεται βασική ομάδα του τύπου II _∞ παράγοντα.

Το τανυστικό γινόμενο ενός παράγοντα του τύπου II ₁ και ενός άπειρου παράγοντα τύπου Ι έχει τον τύπο II _∞ και αντίστροφα κάθε παράγοντα του τύπου II _∞ μπορεί να κατασκευαστεί σαν αυτό. Η Βασική ομάδα τύπου II₁ παράγοντα ορίζεται ως η θεμελιώδης μονάδα τανυστικού γινομένου της με το άπειρο (διαχωρισμένο) παράγοντα του τύπου Ι. Για πολλά χρόνια, ήταν ένα ανοικτό πρόβλημα να βρει έναν παράγοντα τύπου II των οποίων η θεμελιώδη ομάδα δεν ήταν η ομάδα όλων των θετικών πραγματικών, αλλά Connes στη συνέχεια έδειξε ότι η ομάδα άλγεβρα von Neumann από μία αριθμήσιμη διακριτή ομάδα με την ιδιοτητα Kazhdan του T τετριμμένη αναπαράσταση απομονώνεται στο δυΪκό χώρο, όπως SL (3,Ζ), έχει μια μετρήσιμη βασική ομάδα. Στη συνέχεια ο Sorin Popa έδειξε ότι η βασική ομάδα μπορεί να είναι τετριμμένη για ορισμένες ομάδες, συμπεριλαμβανομένης και της ημιευθές γινόμενο του Z² από το SL(2,Z).

Ένα παράδειγμα ενός τύπου II ₁ παράγοντας είναι η ομάδα άλγεβρα von Neumann από ένα αριθμήσιμο άπειρο αριθμό διαφορετικών διακριτών ομάδων, έτσι ώστε κάθε μη τετριμμένη κλάση συζυγίας να είναι άπειρη. McDuff (1969) βρήκε μια οικογένεια αμέτρητες τέτοιες ομάδες με μη-ισομορφικές άλγεβρες ομάδες von Neumann, δείχνοντας έτσι την ύπαρξη πολλών διαφορετικών, αμέτρητων διαχωρίσιμων τύπου II₁ παραγόντων.

Παράγοντες τύπου ΙΙΙ

Τέλος, 'τύπου III' παράγοντες είναι παράγοντες που δεν περιέχουν μη μηδενικές πεπερασμένες προβολές καθόλου. Στην πρώτη εργασία τους οι Murray & von Neumann (1936) δεν ήταν σε θέση να αποφασίσουν κατά πόσον ή όχι υπήρχαν; τα πρώτα δείγματα βρέθηκαν αργότερα από von Neumann (1940). Δεδομένου ότι ο φραγμένος τελεστής είναι πάντα άπειρο σε αυτούς τους παράγοντες, που μερικές φορές ονομάζεται τύπου III _∞ κατά το παρελθόν, αλλά πρόσφατα αυτή η σημειογραφία έχει αντικατασταθεί από την παράσταση III _λ, όπου λ είναι ένας πραγματικός αριθμός στο διάστημα [0,1]. Πιο συγκεκριμένα, αν το φάσμα Connes (με μέτρο της ομάδας του) είναι 1, τότε ο συντελεστής είναι του τύπου III ₀, αν το φάσμα Connes είναι όλες οι αναπόσπαστες δυνάμεις του λ για 0 < λ < 1, τότε ο τύπος είναι III _λ, και αν το φάσμα Connes είναι όλοι οι θετικοί πραγματικοί τότε ο τύπος είναι III ₁. (Το φάσμα Connes είναι μια κλειστή υποομάδα των θετικών πραγματικών, ώστε αυτοί να είναι οι μόνες δυνατότητες.) Το μόνο ίχνος σχετικά με τον τύπο III παράγοντες παίρνει την τιμή ∞ σε όλα τα μη-μηδενικά θετικά στοιχεία, καθώς και κάθε δύο μη μηδενικές προβολές είναι ισοδύναμες. κάποτε οι παράγοντες τύπου III θεωρήθηκαν δυσεπίλυτο αντικείμενο, αλλά θεωρία Tomita-Takesaki, έχει οδηγήσει σε μια καλή θεωρία δομής. Ειδικότερα, κάθε παράγοντας τύπου III μπορεί να γραφτεί σε έναν κανονικό τρόπο όπως η διασταυρούμενο προιόν παράγοντας του τύπου II_∞ και οι πραγματικοί αριθμοί.

The predual

Κάθε von Neumann άλγεβρα Μ έχει predual M_∗, που είναι ο χώρος Banach όλων των εξαιρετικά ασθενώς συνεχών γραμμικών συναρτησοειδών στο Μ. Όπως υποδηλώνει το όνομα, Μ είναι (ως ένα χώρο Banach) η δυΪκη του predual της. Η predual είναι μοναδικό με την έννοια ότι σε κάθε άλλο χώρο Banach των οποίων είναι δυΪκη Μ είναι κανονικώς ισομορφικό στο M_∗. Sakai (1971) έδειξε ότι η ύπαρξη μιας predual χαρακτηρίζει μεταξύ νοn Neumann αλγεβρες και C * άλγεβρες. Ο ορισμός της predual δίνεται παραπάνω φαίνεται να εξαρτάται από την επιλογή του χώρου Hilbert που Μ δρα πάνω , καθώς αυτό καθορίζει την υπερασθενή τοπολογία. Ωστόσο, η predual μπορεί επίσης να οριστεί χωρίς τη χρήση του χώρου Hilbert που πάνω ενεργεί το Μ ορίζοντας ότι είναι ο χώρος που παράγεται από όλα τα θετικά κανονικά γραμμικά συναρτησοειδή στο Μ. (Εδώ "κανονική" σημαίνει ότι διατηρεί το ελάχιστο άνω φράγμα όταν εφαρμόζεται σε αύξοντα δίκτυα των συζυγών τελεστών; ή ισοδύναμα σε αύξουσες ακολουθίες των προβολών.)

The predual M_∗ είναι ένας κλειστός υπόχωρος του δυϊκου M* (το οποίο αποτελείται από όλες τις νόρμες-συνεχή γραμμικά συναρτησιακά στο Μ), αλλά είναι γενικά μικρότερος. Η απόδειξη είναι ότι M_∗ (συνήθως) δεν είναι το ίδιο όπως M* είναι μη εποικοδομητικές και χρησιμοποιεί το αξίωμα της επιλογής σε ένα βασικό τρόπο; είναι πολύ δύσκολο να παρουσιάζουν σαφή στοιχεία της M* που δεν είναι στο M_∗. Για παράδειγμα, με εξωτικά θετική γραμμική μορφή για την von Neumann άλγεβρα l^∞(Z) δίνονται από ελεύθερα υπερφίλτρα; που αντιστοιχούν σε εξωτικούς *-ομομορφισμούς στο C και να περιγράφουν την Stone-Čech συμπαγοποίηση του Ζ.

παραδείγματα:

1. Η predual της von Neumann άλγεβρα L^∞(R) των ουσιαστικά φραγμένων συνάρτησεων στο R είναι ο χώρος Banach L¹(R) των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. The dyal του L^∞(R) είναι αυστηρά μεγαλύτερο του L¹(R). Για παράδειγμα ένα συναρτησιοειδές στο L^∞(R) που επεκτείνει το Dirac μέτρο δ₀ σε ένα κλειστό υποχώρο φραγμένων συνεχών συναρτήσεων C⁰_b(R) δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια συνάρτηση στο L¹(R). #The predual της von Neumann άλγεβρας B(H) από φραγμένους τελεστές σε χώρο Hilbert H είναι ο χώρος Banach όλων των ίχνη κλάσεις τελεστών με το ίχνος νόρμα ||A||= Tr(|A|). Ο χώρος Banach του ίχνους των κλάσεων τελεστών είναι η ίδια η διπλή του C *-άλγεβρα των συμπαγών τελεστών (η οποία δεν είναι μια von Neumann άλγεβρα).

Βάρη, καταστάσεις, και ίχνη

Τα βάρη και οι ειδικές περιπτώσεις τους οι καταστάσεις και τα ίχνη που συζητήθηκαν λεπτομερώς στην (Takesaki 1979).

• Ένα βάρος ω σε μία von Neumann άλγεβρα είναι μία γραμμική απεικόνιση από το σύνολο των θετικών στοιχείων (εκείνα της μορφής a*a) στο [0,∞].
• Ένα θετικό γραμμικό συναρτησοειδές είναι ένα βάρος με ω(1) πεπερασμένο (ή μάλλον η επέκταση του ω στο σύνολο άλγεβρα με γραμμικότητα).
• Μία κατάσταση είναι ένα βάρος με ω(1) = 1.
• Ένα ίχνος είναι ένα βάρος με ω(aa*) = ω(a*a) για όλα τα a.
• Μία tracial κατάσταση είναι ένα ίχνος με ω(1) = 1.

Κάθε παράγοντας έχει ένα ίχνος τέτοιο ώστε το ίχνος μιας μη μηδενικής προβολής είναι μη μηδενικό και το ίχνος μιας προβολής είναι άπειρο αν και μόνο αν, η προβολή είναι άπειρη. Ένα τέτοιο ίχνος είναι μοναδικό μέχρι rescaling. Για τους παράγοντες που έχουν ή είναι πεπερασμένοι, δύο προβολές είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν έχουν το ίδιο ίχνος. Ο τύπος του παράγοντα μπορεί να διαβαστεί από τις πιθανές τιμές αυτής της ίχνος ως εξής:

• Τύπος I_n: 0, x, 2x, ....,nx για μερικά θετικά x (συνήθως κανονικοποιείται να είναι 1/n or 1).
• Τύπος I_∞: 0, x, 2x, ....,∞ για μερικά θετικά x (συνήθως κανονικοποιείται να είναι 1).
• Τύπος II₁: [0,x] για μερικά θετικάx (συνήθως κανονικοποιείται να είναι 1).
• Τύπος II_∞: [0,∞].
• Τύπος III: 0,∞.

Εάν μια άλγεβρα von Neumann δρα σε ένα χώρο Hilbert που περιέχει νόρμα 1 με διάνυσμα v, τότε το συναρτησοειδές a → (av,v) είναι μια κανονική κατάσταση. Η κατασκευή αυτή μπορεί να αντιστραφεί για να δώσει μία δράση σε ένα χώρο Hilbert από μια κανονική κατάσταση: αυτή είναι η GNS κατασκευή για κανονική κατάσταση.

πρότυπα πάνω σε έναν παράγοντα

Λαμβάνοντας υπόψη έναν αφηρημένο διαχωρίσιμο παράγοντα, μπορεί κανείς να ζητήσει για μια ταξινόμηση των προτύπων της, δηλαδή τα διαχωρίσιμους χώρους Hilbert στους οποίους ενεργεί. Η απάντηση δίνεται ως εξής: κάθε τέτοιο πρότυπο H μπορεί να δοθεί μία Μ διάσταση dim_Μ(H) (όχι η διάσταση τους ως ένα πολύπλοκο δίανυσμα χώρο) έτσι ώστε τα πρότυπα είναι ισομορφικά αν και μόνο αν έχουν την ίδια Μ διάσταση. Η Μ διάσταση είναι προσθετική, και ένα πρότυπο είναι ισόμορφο με ένα υποχώρο του άλλου προτύπου, αν και μόνο αν έχει μικρότερη η ίση Μ διάσταση .

Ένα πρότυπο καλείται τυπικό αν έχει ένα κυκλικό διάνυσμα διαχωρισμού. Κάθε παράγοντας έχει μια τυπική αναπαράσταση, η οποία είναι μοναδική μέχρι τον ισομορφισμό. Η τυπική αναπαράσταση έχει αντιγραμμικη ενέλιξη J έτσι ώστε JMJ = M′. Για πεπερασμένους παράγοντες, το τυπικό πρότυπο δίνεται από την GNS κατασκευή που εφαρμόζεται στη μοναδική κανονική tracial κατάσταση και η Μ διάσταση κανονικοποιείται έτσι ώστε το τυπικό πρότυπο έχει Μ διάσταση 1, ενώ για άπειρους παράγοντες το τυπικό πρότυπο είναι το πρ[οτυπο με Μ διάσταση ίση με ∞.

Οι πιθανές Μ-διαστάσεις των προτύπων δίνονται ως εξής:

• Τύπου I_n (n πεπερασμένο): Η Μ-διάσταση μπορεί να είναι οποιοδήποτε από 0/n, 1/n, 2/n, 3/n, ..., ∞. Το τυπικό πρότυπο έχει M-διάσταση 1 (και πολύπλοκη διάσταση n².)
• Τύπου I_∞ Η Μ-διάσταση μπορεί να είναι οποιοδήποτε από 0, 1, 2, 3, ..., ∞. Η τυπική αναπαράσταση των B(H) είναι H⊗H; η M-διάστασή τους είναι ∞.
• Τύπου II₁: Η Μ-διάσταση μπορεί να είναι κάτι στο [0, ∞]. Κανονικοποιείται έτσι ώστε το τυπικό πρότυπο να έχει Μ-διάσταση 1. Η Μ διάσταση επίσης ονομάζεται σταθερά σύζευξης του προτύπου Η.
• Τύπου II_∞: Η Μ-διάσταση μπορεί να είναι κάτι στο [0, ∞]. Δεν υπάρχει γενικά κανένας κανονικός τρόπος για να ομαλοποιήσει; ο παράγοντας μπορεί να έχει εξωτερικό αυτομορφισμό πολλαπλασιάζοντας την Μ διάσταση με σταθερές. Η τυπική αναπαράσταση είναι το ένα με την Μ διάσταση ∞.
• Τύπου III: Η Μ διάσταση μπορεί να είναι 0 ή ∞. Κάθε δύο μη μηδενικά πρότυπα είναι ισομορφικά, και όλα τα μη-μηδενικά πρότυπα είναι τυπικά.

Επιδεκτικές von Neumann άλγεβρες

Connes (1976) και άλλοι απέδειξαν ότι οι ακόλουθες προϋποθέσεις για μια von Neumann άλγεβρα Μ διαχωρίσιμο χώρο Hilbert H είναι όλες ισοδύναμες:

• M είναι υπερπεπερασμένο ή AFD ή περίπου πεπερασμένων διαστάσεων ή περίπου πεπερασμένο: Αυτό σημαίνει ότι η άλγεβρα περιέχει μια αύξουσα ακολουθία πεπερασμένων διαστάσεων υποάλγεβρας με πυκνή ένωση. (Προσοχή: ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν "υπερπεπερασμένο" σημαίνει "AFD και πεπερασμένο".)
• M είναι επιδεκτικό: αυτό σημαίνει ότι το παραγώγιση του M τιμές σε ένα κανονικό διϋκό bimodule Banach είναι όλα εσωτερικά.Πρότυπο:Clarify
• M έχει την ιδιότητα P του Schwartz's: για κάθε φραγμένο τελεστή Τ στο Η ο αδύναμος τελεστής κλειστός κυρτό περίβλημα των στοιχείων uTu* περιέχει ένα στοιχείο αντιμεταθετικό με το M.
• M είναι ημιδιακριτός: αυτό σημαίνει ότι η ταυτοτική απεικόνιση από Μ στο Μ είναι ένα σημειακό αδύναμο όριο εντελώς θετικών απεικονήσεων πεπερασμένου βαθμού.
• M έχει την ιδιότητα E ή την Hakeda-Tomiyama επέκταση ιδιότητα: αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια προβολή της νόρμας 1 από φραγμένους τελεστές πάνω από Η στο Μ '.
• M είναι αμφιμονότιμη: κάθε απολύτως θετική γραμμική απεικόνιση από οποιοδήποτε αυτόσυζυγή κλειστό υποχώρο που περιέχει 1 από κάθε μοναδιαία C *-άλγεβρα Α στο Μ μπορεί να επεκταθεί σε μια εντελώς θετική απεικόνιση από το A στο Μ.

Δεν υπάρχει γενικά αποδεκτός όρος για την κατηγορία αλγεβρών παραπάνω; Connes πρότεινε ότι επιδεκτικά θα πρέπει να είναι ο καθιερωμένος όρος.

Οι επιδεκτικοί παράγοντες έχουν ταξινομηθεί: υπάρχει ένα μοναδικό από κάθε ένα από τους τύπους I_n, I_∞, II₁, II_∞, III_λ, for 0 < λ ≤ 1, και αυτά του τύπου III₀ αντιστοιχούν σε ορισμένες εργοδικές ροές. (Για τον τύπο III₀ καλώντας αυτό μια ταξινόμηση είναι λίγο παραπλανητικό, δεδομένου ότι είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει εύκολος τρόπος για να χαρακτηρίσει τις αντίστοιχα εργοδικές ροές.) Αυτοί του τύπου Ι και II₁ ταξινομήθηκαν από Murray & von Neumann (1943), και οι υπόλοιπες ταξινομήθηκαν από Connes (1976), εκτός από τον τύπο III₁ υπόθεση η οποία ολοκληρώθηκε από τον Haagerup.

Όλοι οι επιδεκτικοί παράγοντες μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας το ομάδα μέτρου χώρος κατασκευής του Murray και von Neumann για ένα απλό εργοδικό μετασχηματισμό. Στην πραγματικότητα είναι ακριβώς οι παράγοντες που προκύπτουν ως εξωτερικό γινόμενο από ελεύθερες εργοδικές δράσεις του Z ή του Z/nZ για αβελιανές von Neumann άλγεβρες L^∞(X). Τύπου I παράγοντες συμβαίνουν όταν ο χώρος μέτρου X είναι ατομικό και η δράση μεταβατική. Όταν Χ είναι διάχυτη ή μη ατομικό, είναι ισοδύναμη στο [0,1] ως ένας χώρος μέτρου. Παράγοντες τύπου ΙΙ συμβαίνουν όταν το Χ επιδέχεται ένα ισοδύναμη πεπερασμένη (II₁) ή άπειρη (II_∞) μέτρο, αναλλοίωτες στο πλαίσιο μιας δράσης της Ζ. Τύπου ΙΙΙ παράγοντες συμβαίνουν στις υπόλοιπες περιπτώσεις όπου δεν υπάρχει αναλλοίωτο μέτρο, αλλά μόνο ένα αναλλοίωτο μέτρο τάξη: Οι παράγοντες αυτοί ονομάζονται Krieger factors.