Τροπική γεωμετρία

Τροπική κυβική καμπύλη

Στα μαθηματικά, η τροπική γεωμετρία είναι η μελέτη των πολυωνύμων και των γεωμετρικών ιδιοτήτων τους, όταν η πρόσθεση αντικαθίσταται από την ελαχιστοποίηση και ο πολλαπλασιασμός από τη συνηθισμένη πρόσθεση:

$x\oplus y=\min\{x,y\},$

$x\otimes y=x+y.$

Ως εκ τούτου, το κλασικό πολυώνυμο $x^{3}+2xy+y^{4}$ θα γινόταν $\min\{x+x+x,\;2+x+y,\;y+y+y+y\}$. Τέτοια πολυώνυμα και οι λύσεις τους έχουν σημαντικές εφαρμογές σε προβλήματα βελτιστοποίησης, όπως για παράδειγμα το πρόβλημα της βελτιστοποίησης των χρόνων αναχώρησης ενός δικτύου τρένων.

Η τροπική γεωμετρία είναι μια παραλλαγή της αλγεβρικής γεωμετρίας στην οποία οι πολυωνυμικές γραφικές παραστάσεις μοιάζουν με γραμμικά πλέγματα, και στην οποία οι αριθμοί ανήκουν στο τροπικό ημιδακτύλιο αντί για ένα πεδίο. Επειδή η κλασική και η τροπική γεωμετρία είναι στενά συνδεδεμένες, τα αποτελέσματα και οι μέθοδοι μπορούν να μετατραπούν μεταξύ τους. Οι αλγεβρικές ποικιλίες μπορούν να απεικονιστούν σε ένα τροπικό αντίστοιχο και, δεδομένου ότι αυτή η διαδικασία εξακολουθεί να διατηρεί κάποιες γεωμετρικές πληροφορίες σχετικά με την αρχική ποικιλία, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βοηθήσει στην απόδειξη και τη γενίκευση κλασικών αποτελεσμάτων από την αλγεβρική γεωμετρία, όπως το θεώρημα Μπριλ-Νόετερ, χρησιμοποιώντας τα εργαλεία της τροπικής γεωμετρίας.

Ιστορία

Οι βασικές ιδέες της τροπικής ανάλυσης αναπτύχθηκαν ανεξάρτητα χρησιμοποιώντας τον ίδιο συμβολισμό από μαθηματικούς που εργάζονται σε διάφορους τομείς. Οι κεντρικές ιδέες της τροπικής γεωμετρίας εμφανίστηκαν με διαφορετικές μορφές σε διάφορα προηγούμενα έργα. Παραδείγματος χάριν, ο Βίκτορ Πάβλοβιτς Μάσλοφ εισήγαγε μια τροπική εκδοχή της διαδικασίας της ολοκλήρωσης. Παρατήρησε επίσης ότι ο μετασχηματισμός Legendre και οι λύσεις της εξίσωσης Χάμιλτον-Γιάκομπι είναι γραμμικές πράξεις με την τροπική έννοια. Ωστόσο, μόνο από τα τέλη της δεκαετίας του 1990 έχει γίνει προσπάθεια να παγιωθούν οι βασικοί ορισμοί της θεωρίας. Αυτό παρακινήθηκε από την εφαρμογή της στην απαριθμητική αλγεβρική γεωμετρία, με ιδέες από τον Μαξίμ Κόντσεβιτς και εργασίες του Γκριγκόρι Μιχάλκιν μεταξύ άλλων.

Το επίθετο τροπικός επινοήθηκε από Γάλλους μαθηματικούς προς τιμήν του ουγγρικής καταγωγής Βραζιλιάνου επιστήμονα υπολογιστών Imre Simon, ο οποίος έγραψε για το πεδίο. Ο Ζαν-Ερίκ Πιν αποδίδει την επινόηση στον Ντομινίκ Περρέν, ενώ ο ίδιος ο Σιμόν αποδίδει τη λέξη στον Κριστιάν Τσοφρούτ.

Bασικές αρχές

Η τροπική γεωμετρία βασίζεται στο τροπικό ημίδακτύλιο. Αυτό ορίζεται με δύο τρόπους, ανάλογα με τη σύμβαση max ή min.

Το min τροπικό ημίδακτύλιο είναι το ημίδακτύλιο $(\mathbb {R} \cup \{+\infty \},\oplus ,\otimes )$, με τις πράξεις:

$x\oplus y=\min\{x,y\},$

$x\otimes y=x+y.$

Οι πράξεις $\oplus$ και $\otimes$ αναφέρονται ως τροπική πρόσθεση και τροπικός πολλαπλασιασμός αντίστοιχα. Το στοιχείο ταυτότητας για την $\oplus$ είναι $+\infty$, και το στοιχείο ταυτότητας για την $\otimes$ είναι 0.

Αντίστοιχα, το μέγιστο τροπικό ημιδακτύλιο είναι το ημιδακτύλιο $(\mathbb {R} \cup \{-\infty \},\oplus ,\otimes )$, με πράξεις:

$x\oplus y=\max\{x,y\},$

$x\otimes y=x+y.$

Το στοιχείο ταυτότητας για το $\oplus$ είναι $-\infty$, και το στοιχείο ταυτότητας για το $\otimes$ είναι 0.

Αυτά τα ημιδακτύλια είναι ισόμορφα, υπό την άρνηση $x\mapsto -x$, και γενικά επιλέγεται ένα από αυτά και αναφέρεται απλά ως τροπικό ημίρρυθμο. Οι συμβάσεις διαφέρουν μεταξύ συγγραφέων και υποπεδίων: κάποιοι χρησιμοποιούν τη σύμβαση min, κάποιοι χρησιμοποιούν τη σύμβαση max.

Οι πράξεις του τροπικού ημιδακτύλιου διαμορφώνουν τον τρόπο με τον οποίο οι αποτιμήσεις συμπεριφέρονται κατά την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό σε ένα πεδίο με αποτιμήσεις.

Μερικά κοινά πεδία με τιμές που συναντώνται στην τροπική γεωμετρία (με σύμβαση min) είναι:

• $\mathbb {Q}$ ή $\mathbb {C}$με την τετριμμένη αξιολόγηση, $v(a)=0$ for all $a\neq 0$.
• $\mathbb {Q}$ ή τις επεκτάσεις της με την p-adic αποτίμηση, $v_{p}(p^{n}a/b)=n$ for a και b coprime to p.
• Το πεδίο των σειρών Λοράν $\mathbb {C} (\!(t)\!)$ (ακέραιες δυνάμεις), ή το πεδίο των (μιγαδικών) σειρών Πουισιέ $\mathbb {C} \{\!\{t\}\!\}$, με την αποτίμηση να επιστρέφει τον μικρότερο εκθέτη του t που εμφανίζεται στη σειρά.

Τροπικά πολυώνυμα

Ένα τροπικό πολυώνυμο είναι μια συνάρτηση $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ που μπορεί να εκφραστεί ως το τροπικό άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού μονώνυμων όρων. Ένας μονώνυμος όρος είναι ένα τροπικό γινόμενο (ή/και πηλίκο) μιας σταθεράς και μεταβλητών από τα $X_{1},\ldots ,X_{n}$. Έτσι, ένα τροπικό πολυώνυμο F είναι το ελάχιστο μιας πεπερασμένης συλλογής αφινικών-γραμμικών συναρτήσεων στις οποίες οι μεταβλητές έχουν ακέραιους συντελεστές, οπότε είναι κοίλο, συνεχές και τμηματικά γραμμικό.

${\begin{aligned}F(X_{1},\ldots ,X_{n})&=\left(C_{1}\otimes X_{1}^{\otimes a_{11}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{n1}}\right)\oplus \cdots \oplus \left(C_{s}\otimes X_{1}^{\otimes a_{1s}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{ns}}\right)\\&=\min\{C_{1}+a_{11}X_{1}+\cdots +a_{n1}X_{n},\;\ldots ,\;C_{s}+a_{1s}X_{1}+\cdots +a_{ns}X_{n}\}.\end{aligned}}$

Δεδομένου ενός πολυωνύμου f στον πολυωνυμικό δακτύλιο Λοράν$K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]$ όπου K είναι ένα πεδίο με τιμές, η τροπικοποίηση του f, που συμβολίζεται $\operatorname {Trop} (f)$, είναι το τροπικό πολυώνυμο που προκύπτει από το f αντικαθιστώντας τον πολλαπλασιασμό και την πρόσθεση με τα τροπικά τους αντίστοιχα και κάθε σταθερά στο K με την αποτίμησή της. Δηλαδή, αν

$f=\sum _{i=1}^{s}c_{i}x^{A_{i}}\quad {\text{ with }}A_{1},\ldots ,A_{s}\in \mathbb {Z} ^{n},$

τότε

$\operatorname {Trop} (f)=\bigoplus _{i=1}^{s}v(c_{i})\otimes X^{\otimes A_{i}}.$

Το σύνολο των σημείων όπου ένα τροπικό πολυώνυμο F είναι μη διαφορίσιμο ονομάζεται η σχετική τροπική υπερεπιφάνεια, που συμβολίζεται $\mathrm {V} (F)$ (κατ' αναλογία με το σύνολο εξαφάνισης ενός πολυωνύμου). Αντίστοιχα, $\mathrm {V} (F)$ είναι το σύνολο των σημείων όπου το ελάχιστο μεταξύ των όρων του F επιτυγχάνεται τουλάχιστον δύο φορές. Όταν $F=\operatorname {Trop} (f)$ για ένα πολυώνυμο Λοράν f, αυτός ο τελευταίος χαρακτηρισμός του $\mathrm {V} (F)$ αντικατοπτρίζει το γεγονός ότι σε οποιαδήποτε λύση του $f=0$, η ελάχιστη αποτίμηση των όρων του f πρέπει να επιτευχθεί τουλάχιστον δύο φορές για να ακυρωθούν όλοι.

Τροπικές ποικιλίες

Ορισμοί

Για X μια αλγεβρική ποικιλία στον αλγεβρικό τόρο $(K^{\times })^{n}$, η τροπική ποικιλία του X ή τροπικοποίηση του X, που συμβολίζεται Trop ( X ) $\operatorname {Trop} (X)$, είναι ένα υποσύνολο του $\mathbb {R} ^{n}$ που μπορεί να οριστεί με διάφορους τρόπους. Η ισοδυναμία αυτών των ορισμών αναφέρεται ως το Θεμελιώδες Θεώρημα της Τροπικής Γεωμετρίας.

Τομή τροπικών υπερεπιφανειών

Έστω $\mathrm {I} (X)$ το ιδανικό των πολυωνύμων Λωράν που εξαφανίζονται στο X στο $K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]$. Ορίζουµε

$\operatorname {Trop} (X)=\bigcap _{f\in \mathrm {I} (X)}\mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$

Όταν η X είναι μια υπερεπιφάνεια, το εξαφανιζόμενο ιδεώδες της $\mathrm {I} (X)$ είναι ένα κύριο ιδεώδες που παράγεται από ένα πολυώνυμο Λωράν f, και η τροπική ποικιλία $\operatorname {Trop} (X)$ είναι ακριβώς η τροπική υπερεπιφάνεια $\mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))$.

Κάθε τροπική ποικιλία είναι η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού τροπικών υπερεπιφανειών. Ένα πεπερασμένο σύνολο πολυωνύμων $\{f_{1},\ldots ,f_{r}\}\subseteq \mathrm {I} (X)$ ονομάζεται τροπική βάση για το X αν $\operatorname {Trop} (X)$ είναι η τομή των τροπικών υπερεπιφανειών του $\operatorname {Trop} (f_{1}),\ldots ,\operatorname {Trop} (f_{r})$. Κατά κανόνα, ένα σύνολο παραγωγής του $\mathrm {I} (X)$ δεν αρκεί για να σχηματίσει μια τροπική βάση. Η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού τροπικών υπερεπιφανειών ονομάζεται τροπική προπορεία και γενικά δεν είναι τροπική ποικιλία.

Αρχικό ιδεώδες

Επιλέγοντας ένα διάνυσμα $\mathbf {w}$ στο $\mathbb {R} ^{n}$ ορίζεται ένας χάρτης από τους μονώνυμους όρους του $K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]$ στο $\mathbb {R}$ στέλνοντας τον όρο m στο $\operatorname {Trop} (m)(\mathbf {w} )$. Για ένα πολυώνυμο Laurent $f=m_{1}+\cdots +m_{s}$, ορίζουμε την αρχική μορφή του f ως το άθροισμα των όρων $m_{i}$ του f για τους οποίους το $\operatorname {Trop} (m_{i})(\mathbf {w} )$ είναι ελάχιστο. Για το ιδεώδες $\mathrm {I} (X)$, ορίζουμε το αρχικό ιδεώδες του ως προς το $\mathbf {w}$ ως εξής

$\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)=(\operatorname {in} _{\mathbf {w} }(f):f\in \mathrm {I} (X)).$

Στη συνέχεια, ορίζουμε

$\operatorname {Trop} (X)=\{\mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{n}:\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)\neq (1)\}.$

Δεδομένου ότι χρησιμοποιούμε τον δακτύλιο Λοράν, αυτό είναι το ίδιο με το σύνολο των διανυσμάτων βάρους για τα οποία το $\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)$ δεν περιέχει ένα μονώνυμο.

Όταν το K έχει τετριμμένη αποτίμηση, το $\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)$ είναι ακριβώς το αρχικό ιδεώδες του $\mathrm {I} (X)$ σε σχέση με τη μονώνυμη τάξη που δίνεται από ένα διάνυσμα βάρους $\mathbf {w}$. Προκύπτει ότι η $\operatorname {Trop} (X)$ είναι υποεπαρχία της ανεμιστήρα Γκρόμπνερ της $\mathrm {I} (X)$.

Εικόνα του χάρτη αξιολόγησης

Ας υποθέσουμε ότι X είναι μια ποικιλία πάνω από ένα πεδίο K με αποτίμηση v της οποίας η εικόνα είναι πυκνή στο $\mathbb {R}$ ( παραδείγματος χάριν ένα πεδίο σειρών του Πουισό). Ενεργώντας συντεταγμένα, το v ορίζει έναν χάρτη από τον αλγεβρικό τόρο $(K^{\times })^{n}$ στο $\mathbb {R} ^{n}$. Τότε ορίζουμε

$\operatorname {Trop} (X)={\overline {\{(v(x_{1}),\ldots ,v(x_{n})):(x_{1},\ldots ,x_{n})\in X\}}},$

όπου η γραμμή υποδεικνύει το κλείσιμο στην Ευκλείδεια τοπολογία. Αν η αποτίμηση του K δεν είναι πυκνή στο $\mathbb {R}$, τότε ο παραπάνω ορισμός μπορεί να προσαρμοστεί επεκτείνοντας τα κλιμάκια σε μεγαλύτερο πεδίο που έχει πυκνή αποτίμηση.

Αυτός ο ορισμός δείχνει ότι $\operatorname {Trop} (X)$ είναι η μη-Αρχιμήδειος αμοιβάδα πάνω σε ένα αλγεβρικά κλειστό μη-Αρχιμήδειο πεδίο K.

Αν X είναι μια ποικιλία πάνω στο $\mathbb {C}$, το $\operatorname {Trop} (X)$ μπορεί να θεωρηθεί ως το οριακό αντικείμενο της αμοιβάδας $\operatorname {Log} _{t}(X)$ καθώς η βάση t του λογαριθμικού χάρτη πηγαίνει στο άπειρο.

Πολυεδρικό σύμπλεγμα

Ο ακόλουθος χαρακτηρισμός περιγράφει τις τροπικές ποικιλίες εγγενώς χωρίς αναφορά στις αλγεβρικές ποικιλίες και την τροπικοποίηση.

Ένα σύνολο V στον $\mathbb {R} ^{n}$ είναι μια μη αναγώγιμη τροπική ποικιλία αν είναι η υποστήριξη ενός σταθμισμένου πολυεδρικού συμπλέγματος καθαρής διάστασης d που ικανοποιεί τη συνθήκη μηδενικής τάσης και είναι συνδεδεμένο στην κωδικοδιάσταση ένα. Όταν το d είναι ένα, η συνθήκη μηδενικής τάσης σημαίνει ότι γύρω από κάθε κορυφή, το σταθμισμένο άθροισμα των κατευθύνσεων εξόδου των ακμών ισούται με μηδέν. Για υψηλότερη διάσταση, τα αθροίσματα λαμβάνονται αντ' αυτού γύρω από κάθε κελί διάστασης $d-1$ μετά από πηλίκο του affine span του κελιού. Η ιδιότητα ότι το V είναι συνδεδεμένο στην συνδιάσταση ένα σημαίνει ότι για οποιαδήποτε δύο σημεία που βρίσκονται σε κελιά διάστασης d, υπάρχει ένα μονοπάτι που τα συνδέει και δεν περνάει από κανένα κελί διάστασης μικρότερης από $d-1$.

Τροπικές καμπύλες

Η μελέτη των τροπικών καμπυλών (τροπικές ποικιλίες διάστασης ένα) είναι ιδιαίτερα ανεπτυγμένη και συνδέεται στενά με τη θεωρία γραφημάτων. Παραδείγματος χάριν, η θεωρία των διαιρετών των τροπικών καμπυλών σχετίζεται με τα παιγνίδια chip-firing σε γραφήματα που σχετίζονται με τις τροπικές καμπύλες[13].

Πολλά κλασικά θεωρήματα της αλγεβρικής γεωμετρίας έχουν αντίστοιχα στην τροπική γεωμετρία, όπως:

• Θεώρημα εξαγώνου του Πάππου .
• Θεώρημα του Μπεζού.
• Τύπος βαθμού-γένος.
• Θεώρημα Ρίμαν-Ροχ
• Ομαδικός νόμος των κυβικών.

Ο Όλεγκ Βίρο χρησιμοποίησε τις τροπικές καμπύλες για να ταξινομήσει τις πραγματικές καμπύλες βαθμού 7 στο επίπεδο μέχρι την ισοτοπία. Η μέθοδός του patchworking δίνει μια διαδικασία για την κατασκευή μιας πραγματικής καμπύλης μιας δεδομένης κλάσης ισοτοπίας από την τροπική καμπύλη της.

Εφαρμογές

Μια τροπική γραμμή εμφανίστηκε στο σχεδιασμό του Πολ Κλεμπέρερ για τις δημοπρασίες που χρησιμοποιήθηκαν από την Τράπεζα της Αγγλίας κατά τη διάρκεια της χρηματοπιστωτικής κρίσης το 2007.Ο Γιοσινόρι Σιοζάβα όρισε την υποτροπική άλγεβρα ως ημιπερίοδο max-times ή min-times (αντί για max-plus και min-plus). Διαπίστωσε ότι η ρικαρδιανή εμπορική θεωρία (διεθνές εμπόριο χωρίς εμπόριο εισροών) μπορεί να ερμηνευθεί ως υποτροπική κυρτή άλγεβρα Η τροπική γεωμετρία έχει επίσης χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση της πολυπλοκότητας των νευρωνικών δικτύων τροφοδότησης με ενεργοποίηση ReLU.

Επιπλέον, διάφορα προβλήματα βελτιστοποίησης που προκύπτουν από τον προγραμματισμό εργασιών, την ανάλυση τοποθεσίας, τα δίκτυα μεταφορών, τη λήψη αποφάσεων και τα δυναμικά συστήματα διακριτών γεγονότων μπορούν να διατυπωθούν και να επιλυθούν στο πλαίσιο της τροπικής γεωμετρίας. Ένα τροπικό αντίστοιχο του χάρτη Άμπελ-Γιάκομπι μπορεί να εφαρμοστεί σε ένα σχεδιασμό κρυστάλλων . Τα βάρη σε έναν σταθμισμένο μετατροπέα πεπερασμένων καταστάσεων απαιτείται συχνά να είναι ένα τροπικό ημίρριζο. Η τροπική γεωμετρία μπορεί να παρουσιάσει αυτο-οργανωμένη κρισιμότητα.

Βιβλιογραφία

• Maslov, Victor (1986). "New superposition principle for optimization problems", Séminaire sur les Équations aux Dérivées Partielles 1985/6, Centre de Mathématiques de l’École Polytechnique, Palaiseau, exposé 24.
• Maslov, Victor (1987). "Méthodes Opératorielles". Moscou, Mir, 707 p. (See Chapter 8, Théorie linéaire sur semi moduli, pp. 652–701).
• Bogart, Tristram; Jensen, Anders; Speyer, David; Sturmfels, Bernd; Thomas, Rekha (2005). «Computing Tropical Varieties». Journal of Symbolic Computation 42 (1–2): 54–73. doi:10.1016/j.jsc.2006.02.004. Bibcode: 2005math......7563B. 
• Einsiedler, Manfred; Kapranov, Mikhail; Lind, Douglas (2006). «Non-archimedean amoebas and tropical varieties». J. Reine Angew. Math. 601: 139–157. Bibcode: 2004math......8311E. 
• Gathmann, Andreas (2006). «Tropical algebraic geometry». arXiv:math/0601322v1. 

• Gross, Mark (2010). Tropical geometry and mirror symmetry. Providence, R.I.: Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences by the American Mathematical Society with support from the National Science Foundation. ISBN 9780821852323. 
• Itenberg, Illia· :en:Grigory Mikhalkin· Eugenii Shustin (2009). Tropical algebraic geometry (2nd έκδοση). Basel: Birkhäuser Basel. ISBN 9783034600484. Zbl 1165.14002. 
• Maclagan, Diane· Sturmfels, Bernd (2015). Introduction to tropical geometry. American Mathematical Soc. ISBN 9780821851982. 
• Mikhalkin, Grigory (2006). «Tropical Geometry and its applications». arXiv:math/0601041v2. 

• Mikhalkin, Grigory (2004). «Enumerative tropical algebraic geometry in R2». arXiv:math/0312530v4. 

• Mikhalkin, Grigory (2004). «Amoebas of algebraic varieties and tropical geometry». arXiv:math/0403015v1. 

• Pachter, Lior; Sturmfels, Bernd (2004). «Tropical geometry of statistical models». en:Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 101 (46): 16132–16137. doi:10.1073/pnas.0406010101. PMID 15534224. Bibcode: 2004PNAS..10116132P. Zbl 1135.62302. 
• Speyer, David E. (2003). «The Tropical Grassmannian». arXiv:math/0304218v3. 

• Speyer, David; Sturmfels, Bernd (2009). «Tropical Mathematics». Mathematics Magazine 82 (3): 163–173. doi:10.4169/193009809x468760. Zbl 1227.14051. 
• Theobald, Thorsten (2003). «First steps in tropical geometry». arXiv:math/0306366v2. 

Δημοσιεύσεις

• Amini, Omid· Baker, Matthew· Faber, Xander, επιμ. (2013). Tropical and non-Archimedean geometry. Bellairs workshop in number theory, tropical and non-Archimedean geometry, Bellairs Research Institute, Holetown, Barbados, USA, May 6–13, 2011. Contemporary Mathematics. 605. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1021-6. Zbl 1281.14002. 
• Tropical geometry and mirror symmetry

Δείτε επίσης

• Degenerate fibres and stable reduction of curves

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο