Ο Κουρτουά γεννήθηκε στην πόλη Μπρέε της Φλάνδρας, από έναν πατέρα που κατάγεται από την Βαλλωνική Περιοχή και μια μητέρα από την Φλαμανδία. Ξεκίνησε την καριέρα του με την τοπική ομάδα Μπίλζεν Β.Β., ως αριστερός μπακ. Λίγο αργότερα, το 1999, έγινε μέλος της ομάδας Ρασίνγκ Γκενκ στην ηλικία των επτά και εκεί μετατράπηκε σε τερματοφύλακα.
Μετά την Μπίλζεν Β.Β. πήγε στην ομάδα νέων της ΚΡΚ Γκενκ, από το 2009-2011.[1] Το 2011 έκανε το σημαντικότερο βήμα στην καριέρα του πηγαίνοντας στην Τσέλσι ΦΚ.[2] Αμέσως μετά δόθηκε δανεικός στην Ατλέτικο Μαδρίτης για τρία χρόνια[3] έχοντας 111 συμμετοχές μαζί της. Τον Ιούνιο του 2014 επέστρεψε στην Τσέλσι κάνοντας ντεμπούτο στο ματς ενάντια στην Μπέρνλεϊ Φ.Κ. για την πρώτη αγωνιστική του πρωταθλήματος.[4] Τον Αύγουστο του 2018 υπέγραψε στη Ρεάλ Μαδρίτης για έξι χρόνια.[5]
.svg){kind=small}
