Σημείο Μισιουρέβιτς

Κύριο σημείο Μισιουρέβιτς του κυματισμού 1/31

Το σημείο Μισιουρέβιτς (επίσης γνωστό ως σημείο Μισιουρέβιτς-Τέρστον) πήρε το όνομά του από τον Πολωνό μαθηματικό Μίχαου Μισιουρέβιτς. Ένα τέτοιο σημείο υπολογίζεται για να αναδείξει την ομοιότητα ενός συνεχόμενου συνόλου Τζούλια με την ακμή του συνόλου Μάντελμπροτ για το ίδιο σημείο Μισιουρέβιτς σε γραφική αναπαράσταση. Σε μια δημοσίευση σχετικά με την ομοιότητα του συνόλου Μάντελμπροτ και του συνόλου Τζούλια, ο Ταν Λέι έδειξε ότι η απεικόνιση του συνόλου Μάντελμπροτ που βρίσκεται σε ένα σημείο Μισιουρέβιτς είναι, με ακρίβεια ενός συντελεστή μεγέθυνσης και μιας περιστροφής, μια παραμορφωμένη εικόνα του συνόλου Τζούλια στο ίδιο σημείο Μισιουρέβιτς.

Τα σημεία Μισιουρέβιτς χρησιμοποιούνται επίσης για τη γραφική αναπαράσταση της αυτο-ομοιότητας του συνόλου Μάντελμπροτ, του συνόλου multibrot και των φράκταλ.

Ορισμός

Ο ακόλουθος ορισμός του σημείου Μισιουρέβιτς μπορεί να βρεθεί σε έργα αναφοράς:

Η τιμή της παραμέτρου $c_{0}$ είναι σημείο Μισιουρέβιτς ακριβώς όταν η προ-περιοδική τροχιά οδηγεί σε περιοδική τροχιά.

Ο ορισμός αυτός βασίζεται στις ιδιότητες μιας αναδρομικής ακολουθίας, οι οποίες εξηγούνται παρακάτω.

Για ένα μιγαδικό τετραγωνικό πολυώνυμο, υποθέστε μια αναδρομή στην παράσταση $f_{c}\colon {\overline {\mathbb {C} }}\mapsto {\overline {\mathbb {C} }},\,z\mapsto z^{2}+c$ δίνεται. Η αρχική τιμή $z_{0}=0$ είναι μια σταθερή αρχική τιμή και η μιγαδική παράμετρος c c είναι μια ελεύθερα επιλέξιμη μεταβλητή. Με αυτές τις προδιαγραφές, η αναδρομική ακολουθία έχει την ακόλουθη μορφή:

$f_{c}^{0}(0)\mapsto f_{c}^{1}(0)\mapsto f_{c}^{2}(0)\mapsto f_{c}^{3}(0)\mapsto \cdots \mapsto f_{c}^{n}(0)$.

Εδώ, $f_{c}^{0}=z_{0}$ και $f_{c}^{n}$ υποδηλώνει τη διαδοχική εκτέλεση n φορές της $f_{c}$ και δεν πρέπει να θεωρείται ως n-te δύναμη.

Ας οριστεί η μιγαδική παράμετρος $c$ στην τιμή $c_{0}$ για τον περαιτέρω υπολογισμό και για συντόμευση, όπου έχει νόημα, ας οριστεί $f_{c}^{l}(c_{0})=\alpha$. Τότε η αναδρομική ακολουθία για την $l$-th και $p$-th διαδοχική εκτέλεση, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει σημείο Μισιουρέβιτς, έχει την αναπαράσταση:

$0\mapsto c_{0}\mapsto f_{c}(c_{0})\mapsto \cdots \mapsto f_{c}^{l}(c_{0})=\alpha \mapsto f_{c}(f_{c}^{l}(c_{0}))=f_{c}(\alpha )\mapsto \cdots \mapsto f_{c}^{p}(\alpha )=f_{c}(\alpha )\mapsto \cdots$.

Οι ιδιότητες αυτής της ακολουθίας μπορούν να συνοψιστούν ως εξής:

• Μια προ-περιοδική τροχιά δημιουργείται μέχρι το $l$-th μέλος της ακολουθίας. Η προπεριοδική τροχιά έχει την εξής αναπαράσταση $\{0,c_{0},f_{c}(c_{0}),\cdots ,f_{c}^{l}(c_{0})\}$ και ισχύει $l\geq 1$, αφού $c_{0}$ πρέπει να είναι μέρος της προπεριοδικής τροχιάς.
• Από το $p$-th επακόλουθο προκύπτει μια κυκλική τροχιά $\gamma =\{f_{c}^{p}(\alpha ),\cdots ,f_{c}^{2p-1}(\alpha )\}$ και επομένως πρέπει να είναι $p\geq 1$.
• Με επαγωγή μπορεί να αποδειχθεί ότι $f_{c}^{k\cdot p}(\alpha )=f_{c}^{p}(\alpha )$ ισχύει για κάθε $k\in \mathbb {N}$ .

Παραδείγματα

• Για την αρχική τιμή $c=i$ τα αποτελέσματα για $f_{i}\colon \ z\mapsto z^{2}+i\$, με $z_{0}=0$ η αναδρομική ακολουθία:

$0\ \mapsto \ i\ \mapsto \ i-1\ \mapsto -i\ \mapsto \ i-1\ \mapsto \ldots \mapsto \ i-1\ \mapsto -i\ \mapsto \ i-1\ \mapsto \ldots$ .

Η προπεριοδική τροχιά είναι $\{0,i\}$ και οδηγεί σε μια περιοδική τροχιά $\gamma =\{i-1,-i\}$. Κατά συνέπεια, το $i$ είναι ένα σημείο Μισιουρέβιτς.

• Με αρχική τιμή $c=-{\tfrac {1}{2}}$ για $f_{-1/2}\colon \ z\mapsto z^{2}-{\tfrac {1}{2}}$ με $z_{0}=0$ η αναδρομική ακολουθία:

$0\ \mapsto -{\tfrac {1}{2}}\ \mapsto -{\tfrac {1}{4}}\ \mapsto -{\tfrac {7}{16}}\ \mapsto -{\tfrac {79}{256}}\ \mapsto \ldots$ .

$c=-{\tfrac {1}{2}}$ δεν είναι σημείο Μισιουρέβιτς, διότι δεν υπάρχει ούτε προ-περιοδική τροχιά και ούτε περιοδική τροχιά.

Δημοσιεύσεις

• Dierk Schleicher: On Fibers and Local Connectivity of Mandelbrot and Multibrot Sets, in: M.Lapidus, M. van Frankenhuysen (eds): Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 72, Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία (2004), 477–507, 1999, pdf

Δείτε επίσης

• Αυτοομοιότητα
• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Τζούλια
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν