Μηχανική ισορροπία

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Ένα εκκρεμές σε ευσταθή ισορροπία (αριστερά) και σε ασταθή ισορροπία (δεξιά).

Ένας ορισμός της μηχανικής ισορροπίας είναι:

'Ενα σύστημα βρίσκεται σε μηχανική ισορροπία όταν το άθροισμα των δυνάμεων και ροπών, σε κάθε σωματίδιο που αποτελεί το σύστημα, είναι μηδέν.
\Sigma\tau_{orque} = 0.\,

Ένα σωματίδιο σε μηχανική ισορροπία δεν υπόκειται σε γραμμικές ή περιστροφικές επιταχύνσεις, εντούτοις μπορεί να μετατοπίζεται ή να περιστρέφεται έχοντας σταθερή ταχύτητα.

Ο παραπάνω ορισμός ωστόσο, δεν έχει ευρεία χρήση στη μηχανική συνεχών μέσων, για την οποία η έννοια του σωματιδίου δε χρησιμοποιείται. Επιπρόσθετα, αυτό ο ορισμός δε δίνει ιδιαίτερες πληροφορίες ως προς τις πιο σημαντικές και ενδιαφέρουσες διαστάσεις των καταστάσεων ισορροπίας, τη σταθερότητά τους.

Ένας εναλλακτικός ορισμός της ισορροπίας που είναι πιο γενικός και πολλές φορές πιο χρήσιμος είναι:

Ένα σύστημα βρίσκεται σε μηχανική ισορροπία αν η θέση του στον χώρο όπου το θεωρούμε, βρίσκεται σε σημείο στο οποίο η κλίση της δυναμικής ενέργειάς του είναι μηδέν.

Εξαιτίας της θεμελιώδους σχέσης μεταξύ δύναμης και ενέργειας, ο παραπάνω ορισμός είναι ισοδύναμος με τον πρώτο. Εντούτοις, ο ορισμός που περιλαμβάνει την ενέργεια μπορεί να επεκταθεί άμεσα για να δώσει πληροφορίες για το είδος και την κατάσταση της ισορροπίας.

Καταστάσεις ευσταθούς ισορροπίας (Α - ολικό ελάχιστο, Β - τοπικό ελάχιστο) και ασταθούς ισορροπίας (C).
Κατάσταση αδιάφορης ισορροπίας.

Για παράδειγμα, από την ανάλυση, είναι γνωστό ότι η αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη τοπικού ελαχίστου ή τοπικού μεγίστου σε μία διαφορίσιμη συνάρτηση είναι ο μηδενισμός της πρώτης παραγώγου. Για να καθορίσουμε αν ένα σημείο είναι ελάχιστο ή μέγιστο, μπορεί να γίνει χρήση του κριτηρίου της δεύτερης παραγώγου. Οι διακρίσεις στις καταστάσεις ισορροπίας έχουν ως εξής:

  • Δεύτερη παράγωγος < 0 : Η δυναμική ενέργεια βρίσκεται σε ένα τοπικό μέγιστο, που σημαίνει ότι το σύστημα βρίσκεται σε μια ασταθή κατάσταση. Αν το σύστημα μετατοπιστεί αυθαίρετα προς μια μικρή απόσταση από την κατάσταση ισορροπίας, οι δυνάμεις του συστήματος το εξαναγκάζουν να μετακινηθεί ακόμη πιο μακριά από αυτήν.
  • Δεύτερη παράγωγος > 0 : Η δυναμική ενέργεια βρίσκεται σε τοπικό ελάχιστο. Αυτή είναι η κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας. Η αντίδραση προς μια μικρή διαταραχή της ισορροπίας, θα είναι οι δυνάμεις που επιδρούν στο σύστημα να τείνουν να επαναφέρουν την ισορροπία. Αν είναι δυνατές πάνω από μία καταστάσεις ευσταθούς ισορροπίας για ένα σύστημα, κάθε κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας της οποίας η δυναμική ενέργεια είναι υψηλότερη από το ολικό ελάχιστο, αντιπροσωπεύουν μετασταθείς καταστάσεις.
  • Δεύτερη παράγωγος = 0 ή δεν υπάρχει: Το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου δεν μπορεί να εφαρμοστεί και έτσι πρέπει να καταφύγουμε στο κριτήριο της πρώτης παραγώγου. Κάθε μια από τις παραπάνω καταστάσεις είναι δυνατή σε αυτή την περίπτωση όπως και μια τρίτη κατάσταση: η ύπαρξη μιας περιοχής όπου η ενέργεια δε μεταβάλλεται. Σε αυτή την περίπτωση η ισορροπία λέγεται ουδέτερη ή αδιάφορη. Εδώ, αν το σύστημα μετατοπιστεί λίγο, θα παραμείνει στη νέα του κατάσταση.

Σε περισσότερες της μίας διάστασης, είναι δυνατό να λάβουμε διαφορετικά αποτελέσματα για διαφορετικές κατευθύνσεις, για παράδειγμα η σταθερότητα ως προς τη μετατόπιση στον άξονα των x μπορεί να υπάρχει, ενώ ταυτόχρονα να υπάρχει αστάθεια στον άξονα των y, μία περίπτωση που λέμε πως έχουμε σαγματικό σημείο, όπου τη συναντούμε. Γενικά, η ισορροπία είναι ευσταθής όταν είνα ευσταθής προς όλες τις κατευθύνσεις.

Ένα Gomboc το οποίο είναι κατασκευασμένο έτσι ώστε να ανακτά την ισορροπία από μόνο του, αν τη χάσει.

Η ειδική κατάσταση μηχανικής ισορροπίας ενός ακίνητου αντικειμένου λέγεται στατική ισορροπία. Μία οθόνη πάνω σε ένα γραφείο μπορεί να βρίσκεται σε στατική ισορροπία. Ο ελάχιστος αριθμός καταστάσεων στατικής ισορροπίας που εμφανίζεται σε ομογενή κυρτά σώματα (που βρίσκονται υπό βαρύτητα σε οριζόντια επιφάνεια) παρουσιάζει ειδικό ενδιαφέρον. Στην περίπτωση που βρίσκονται στο επίπεδο, ο ελάχιστος αριθμός είναι 4, ενώ στις τρεις διαστάσεις μπορεί κάποιος να δημιουργήσει ένα αντικείμενο με μόνο ένα σημείο ευσταθούς ισορροπίας και ένα σημείο ασταθούς ισορροπίας, που λέγεται Gomboc, http://www.gomboc.eu.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Επιπλέον ανάγνωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Marion & Thornton, Classical Dynamics of Particles and Systems. Fourth Edition, Harcourt Brace & Company (1995).