Μείωση (μαθηματικά)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στην καθολική άλγεβρα και στη θεωρία μοντέλων, η μείωση (reduct) μιας αλγεβρικής δομής προκύπτει από την παράλειψη κάποιων από τις πράξεις και τις δομές της δομής αυτής. Το αντίστροφο της "μείωσης" είναι η "επέκταση" ("expansion").

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ότι A είναι μια αλγεβρική δομή (στην καθολική άλγεβρα) ή ισοδύναμα μια δομή (στη θεωρία μοντέλων), που οργανώνεται σαν ένα σύνολο X μαζί με μια δεικτοδοτημένη οικογένεια πράξεων και σχέσεων φi σε αυτό το σύνολο, με σύνολο δεικτών I. Τότε η μείωση της A ορίζεται από ένα υποσύνολο J του I και είναι η δομή που αποτελείται από το σύνολο X και την οικογένεια με δείκτες στο J από πράξεις και σχέσεις των οποίων η πράξη ή σχέση με δείκτη j για jJ είναι η πράξη ή σχέση με δείκτη j της A. Δηλαδή, αυτή η μείωση είναι η δομή A χωρίς τις πράξεις και δομές φi για τις οποίες το i δεν ανήκει στο J.

Η δομή A είναι μια επέκταση (expansion) της B ακριβώς όταν η B είναι μια μείωση της A. Δηλαδή, η μείωση και η επέκταση είναι αμοιβαία αντίστροφες.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το μονοειδές (Z, +, 0) των ακεραίων με πρόσθεση είναι μια μείωση της ομάδας (Z, +, −, 0) των ακεραίων με πρόσθεση και άρνηση, που προκύπτει αν παραλειφθεί η άρνηση.

Αντίστροφα, η ομάδα (Z, +, −, 0) είναι η επέκταση του μονοειδούς (Z, +, 0), επεκτείνοντάς το με την πράξη της άρνησης.

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Reduct της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).