Μείωση (μαθηματικά)

Στην καθολική άλγεβρα και στη θεωρία μοντέλων, η μείωση (reduct) μιας αλγεβρικής δομής προκύπτει από την παράλειψη κάποιων από τις πράξεις και τις δομές της δομής αυτής. Το αντίστροφο της "μείωσης" είναι η "επέκταση" ("expansion").

Ορισμός

Έστω ότι A είναι μια αλγεβρική δομή (στην καθολική άλγεβρα) ή ισοδύναμα μια δομή (στη θεωρία μοντέλων), που οργανώνεται σαν ένα σύνολο X μαζί με μια δεικτοδοτημένη οικογένεια πράξεων και σχέσεων φ_i σε αυτό το σύνολο, με σύνολο δεικτών I. Τότε η μείωση της A ορίζεται από ένα υποσύνολο J του I και είναι η δομή που αποτελείται από το σύνολο X και την οικογένεια με δείκτες στο J από πράξεις και σχέσεις των οποίων η πράξη ή σχέση με δείκτη j για j∈J είναι η πράξη ή σχέση με δείκτη j της A. Δηλαδή, αυτή η μείωση είναι η δομή A χωρίς τις πράξεις και δομές φ_i για τις οποίες το i δεν ανήκει στο J.

Η δομή A είναι μια επέκταση (expansion) της B ακριβώς όταν η B είναι μια μείωση της A. Δηλαδή, η μείωση και η επέκταση είναι αμοιβαία αντίστροφες.

Παραδείγματα

Το μονοειδές (Z, +, 0) των ακεραίων με πρόσθεση είναι μια μείωση της ομάδας (Z, +, −, 0) των ακεραίων με πρόσθεση και άρνηση, που προκύπτει αν παραλειφθεί η άρνηση.

Αντίστροφα, η ομάδα (Z, +, −, 0) είναι η επέκταση του μονοειδούς (Z, +, 0), επεκτείνοντάς το με την πράξη της άρνησης.

Αναφορές

• Burris, Stanley N.; H. P. Sankappanavar (1981). A Course in Universal Algebra. Springer. ISBN 3-540-90578-2. http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html. 
• Hodges, Wilfrid (1993). Model theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-30442-3.