Κλάση Τοντ

Στα μαθηματικά, η κλάση Τοντ είναι μια ορισμένη κατασκευή που σήμερα θεωρείται μέρος της θεωρίας της αλγεβρικής τοπολογίας των χαρακτηριστικών κλάσεων. Η κλάση Τοντ μιας διανυσματικής δέσμης μπορεί να οριστεί μέσω της θεωρίας των κλάσεων Τσερν και συναντάται όπου υπάρχουν κλάσεις Τσερν - κυρίως στη διαφορική τοπολογία, τη θεωρία της μιγαδικής πολλαπλότητας και την αλγεβρική γεωμετρία. Σε γενικές γραμμές, μια κλάση Τοντ ενεργεί σαν το αντίστροφο μιας κλάσης Τσερν, ή στέκεται σε σχέση με αυτήν όπως μια κανονική δέσμη με μια κανονική δέσμη.

Η κλάση Τοντ παίζει θεμελιώδη ρόλο στη γενίκευση του κλασικού θεωρήματος Ρίμαν-Ροχ σε υψηλότερες διαστάσεις, στο θεώρημα Χίρζεμπρουχ-Ρίμαν-Ροχ και στο θεώρημα Γκρόθεντιεκ-Χίρζεμπρουχ-Ρίμαν-Ροχ.

Ιστορία

Πήρε το όνομά της από τον Τζ. Α. Τοντ, ο οποίος εισήγαγε μια ειδική περίπτωση της έννοιας στην αλγεβρική γεωμετρία το 1937, πριν οριστούν οι κλάσεις Τσερν. Η γεωμετρική ιδέα που εμπλέκεται ονομάζεται μερικές φορές κλάση Τοντ-Έγκερ. Ο γενικός ορισμός σε υψηλότερες διαστάσεις οφείλεται στον Φρήντριχ Χίρτσεμπρουχ.

Ορισμός

Για να ορίσουμε την κλάση Todd $\operatorname {td} (E)$ όπου $E$ είναι μια μιγαδική διανυσματική δέσμη σε έναν τοπολογικό χώρο $X$, είναι συνήθως δυνατό να περιορίσουμε τον ορισμό στην περίπτωση ενός αθροίσματος Χουίτνεϋ από γραμμικές δέσμες, μέσω μιας γενικής συσκευής της θεωρίας χαρακτηριστικών κλάσεων, τη χρήση των ριζών Τσερν (ή αλλιώς, την αρχή της διάσπασης). Για τον ορισμό, έστω

$Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}=1+{\dfrac {x}{2}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}x^{2i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{12}}-{\dfrac {x^{4}}{720}}+\cdots$

να είναι η τυπική δυναμοσειρά με την ιδιότητα ότι ο συντελεστής του $x^{n}$ στο $Q(x)^{n+1}$ είναι 1, όπου $B_{i}$ συμβολίζει τον $i$-th αριθμό Μπερνούλι. Ας θεωρήσουμε τον συντελεστή του $x^{j}$ στο γινόμενο

$\prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}x)\$

να είναι η τυπική δυναμοσειρά με την ιδιότητα ότι ο συντελεστής του $x^{n}$ στο $Q(x)^{n+1}$ είναι 1, όπου $B_{i}$ συμβολίζει τον $i$-th αριθμό Μπερνούλι. Ας θεωρήσουμε τον συντελεστή του $x^{j}$ στο γινόμενο

Αν η $E$ έχει τις $\alpha _{i}$ ως ρίζες Τσερν, τότε η κλάση Τοντ

$\operatorname {td} (E)=\prod Q(\alpha _{i})$

η οποία πρέπει να υπολογιστεί στον δακτύλιο συνομολογίας του $X$ (ή στην ολοκλήρωσή του, αν θέλουμε να εξετάσουμε απειροδιάστατες πολλαπλότητες).

Η κλάση Τοντ μπορεί να δοθεί ρητά ως μια τυπική δυναμοσειρά στις κλάσεις Τσερν ως εξής:

$\operatorname {td} (E)=1+{\frac {c_{1}}{2}}+{\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}+{\frac {c_{1}c_{2}}{24}}+{\frac {-c_{1}^{4}+4c_{1}^{2}c_{2}+c_{1}c_{3}+3c_{2}^{2}-c_{4}}{720}}+\cdots$

όπου οι κλάσεις συνομολογίας $c_{i}$ είναι οι κλάσεις Τσερν του $E$ και βρίσκονται στην ομάδα συνομολογίας $H^{2i}(X)$. Αν το $X$ είναι πεπερασμένης διάστασης τότε οι περισσότεροι όροι εξαφανίζονται και το $\operatorname {td} (E)$ είναι ένα πολυώνυμο στις κλάσεις Τσερν.

Ιδιότητες της κλάσης Τοντ

Η κλάση Τοντ είναι πολλαπλασιαστική:

$\operatorname {td} (E\oplus F)=\operatorname {td} (E)\cdot \operatorname {td} (F).$

Έστω $\xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})$ η θεμελιώδης κλάση της τομής του υπερεπιπέδου.

Από την πολλαπλασιαστικότητα και την ακριβή ακολουθία Όιλερ για την εφαπτομενική δέσμη του ${\mathbb {C} }P^{n}$

$0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{n+1}\to T{\mathbb {C} }P^{n}\to 0,$

προκύπτει

$\operatorname {td} (T{\mathbb {C} }P^{n})=\left({\dfrac {\xi }{1-e^{-\xi }}}\right)^{n+1}.$

Υπολογισμοί της κλάσης Τοντ

Για οποιαδήποτε αλγεβρική καμπύλη $C$ η κλάση Τοντ είναι απλά $\operatorname {td} (C)=1+c_{1}(T_{C})$. Εφόσον η $C$ είναι προβολική, μπορεί να ενσωματωθεί σε κάποια $\mathbb {P} ^{n}$ και μπορούμε να βρούμε την $c_{1}(T_{C})$ χρησιμοποιώντας την κανονική ακολουθία

$0\to T_{C}\to T_{\mathbb {P} }^{n}|_{C}\to N_{C/\mathbb {P} ^{n}}\to 0$

και ιδιότητες των κλάσεων Τσερν. Παραδείγματος χάριν, αν έχουμε μια επίπεδη καμπύλη βαθμού $d$ στην $\mathbb {P} ^{2}$, βρίσκουμε ότι η συνολική κλάση Τσερν είναι

${\begin{aligned}c(T_{C})&={\frac {c(T_{\mathbb {P} ^{2}}|_{C})}{c(N_{C/\mathbb {P} ^{2}})}}\\&={\frac {1+3[H]}{1+d[H]}}\\&=(1+3[H])(1-d[H])\\&=1+(3-d)[H]\end{aligned}}$

όπου $[H]$ είναι η κλάση υπερεπιπέδου στο $\mathbb {P} ^{2}$ που περιορίζεται στο $C$.

Τύπος Χίρζεμπρουκ-Ρίμαν-Ροχ

Για κάθε συνεκτική δέσμη F σε ένα λείο

συμπαγή μιγαδική πολλαπλότητα Μ, έχουμε

$\chi (F)=\int _{M}\operatorname {ch} (F)\wedge \operatorname {td} (TM),$

όπου $\chi (F)$ είναι η ολόμορφη χαρακτηριστική του Όιλερ,

$\chi (F):=\sum _{i=0}^{{\text{dim}}_{\mathbb {C} }M}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\mathbb {C} }H^{i}(M,F),$

και $\operatorname {ch} (F)$ο χαρακτήρας του Τσερν.

Δημοσιεύσεις

• Multiplicities and Chern Classes in Local Algebra
• Invariance Theory: The Heat Equation and the Atiyah-Singer Index Theorem

Δείτε επίσης

• Encyclopaedia of Mathematics: Orbit - Rayleigh Equation

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Todd, J. A. (1937), «The Arithmetical Invariants of Algebraic Loci», Proceedings of the London Mathematical Society 43 (1): 190–225, doi:10.1112/plms/s2-43.3.190, Zbl 0017.18504 
• Friedrich Hirzebruch, Topological methods in algebraic geometry, Springer (1978)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), «Todd class», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=T/t092930